探究特殊與一般思想在高考中的應(yīng)用

■甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué)　王新宏

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探究特殊與一般思想在高考中的應(yīng)用

■甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué)王新宏

*本文為甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度課題《新課改理念下高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高效策略研究》（課題批準(zhǔn)號(hào)GS【2013】GHB0771）的成果.

綜觀近幾年的全國(guó)卷Ⅰ、全國(guó)卷Ⅱ、北京卷、浙江卷、湖北卷、福建卷等的最后一道（或幾道）選擇題或最后一道填空題，不難發(fā)現(xiàn)，這些把關(guān)題體現(xiàn)特殊與一般數(shù)學(xué)思想，這些試題集中考查了考生獨(dú)立思考、自主探究的能力，很好地區(qū)分了考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維品質(zhì)，以及今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛質(zhì)，既充分體現(xiàn)了考生的知識(shí)技能和思維方法，也給靈活多變的思維，收放自如的想象留下了更大的發(fā)揮空間.所以無(wú)論是教者還是學(xué)者，都應(yīng)重視這些問(wèn)題中蘊(yùn)含的解題思想，在日常的教與學(xué)中注意訓(xùn)練、培養(yǎng)相應(yīng)的能力.

數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)考生的數(shù)學(xué)知識(shí)更高層次上的考查，特殊與一般思想是課標(biāo)課程高考課程的七大數(shù)學(xué)思想之一，考查時(shí)必然以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，來(lái)反映考生的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.具體來(lái)說(shuō)，高考數(shù)學(xué)中對(duì)它的考查方式主要有：通過(guò)尋求特殊值、特殊點(diǎn)、特殊數(shù)列、特殊的位置關(guān)系等來(lái)研究解決不確定問(wèn)題、運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題、抽象問(wèn)題等.

辯證法告訴我們：矛盾的特殊性寓于一般性之中.相對(duì)于一般情形而言，特殊的事物往往顯得簡(jiǎn)單、直觀、具體、形象，并被人們所熟知.解題時(shí)若能注意到問(wèn)題的特殊性，進(jìn)而分析考慮有無(wú)可能把待解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題或極端情形，不僅是可行的，而且會(huì)事半功倍.

一、特殊化思想PK一般化思想

在一些高考的把關(guān)小題上，既能用一般化的數(shù)學(xué)思想方法解決，又能用特殊化的數(shù)學(xué)思想方法解決，但一般性解決時(shí)，要么思維上難，要么運(yùn)算上繁，考生較難找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間，效率低下，反之若用特殊化數(shù)學(xué)思想解題，則有效地降低了思維的難度和運(yùn)算量，效率又高，下面請(qǐng)讀者自己辨別、思考、領(lǐng)悟.

1.在函數(shù)問(wèn)題中PK

在求參數(shù)范圍、函數(shù)圖像等函數(shù)問(wèn)題中，命題者精心策劃，刻意安排考查特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，看你能否想到通過(guò)構(gòu)造特殊函數(shù)、尋找特殊點(diǎn)、特殊值來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題.

例1（2015年全國(guó)Ⅰ卷理科第12題）設(shè)函數(shù)f（x）= ex（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）.

解析1（一般化思想）：設(shè)g（x）=ex（2x-1），h（x）=ax-a.由題意知，存在唯一的整數(shù)x0，使得g（x0）在直線y=ax-a的下方.因?yàn)間′（x）=ex（2x+1），所以當(dāng)時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)時(shí)，g′（x）＞0，所以當(dāng)時(shí)，［g（x）］min=作出g（x）與h（x）的大致圖像如圖1所示，故即a＜1，故選D.

圖1

點(diǎn)評(píng)：考生能由f（x0）＜0能恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)的有多少？能畫(huà)出函數(shù)草圖的又有多少？

解析2（特殊點(diǎn)）：仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)f（0）=a-1＜0，所以由題意知，x0=0，則得，結(jié)合已知得≤a＜1.故選D.

點(diǎn)評(píng)：只要分析出x0=0，問(wèn)題也就隨之破解；數(shù)學(xué)不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的智慧.

解析3（特殊值）：根據(jù)選項(xiàng)，可以采取特殊值代入驗(yàn)證，從而甄別出正確答案.當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=ex（2x-1），f′（x） =ex（2x+1），則f（x）在）遞減，在遞增，又f（0）=-1＜0，f（-1）=-3e-1＜0，不符合題意，故a=0不成立，排除答案A，B；當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且所以存在t∈（-1，0），使得f′（t）=0，則f（x）在（-∞，t）遞減，在（t，+∞）遞增，又故存在唯一的整數(shù)0，使得f（0）＜0，即滿足題意，排除答案C，選D.

點(diǎn)評(píng)：特例排除法是解決一般化思想做不出來(lái)或不好做而常用的行之有效的一種解題方法，但相當(dāng)一部分學(xué)生缺乏利用它來(lái)解題的意識(shí)，不是他做不到，主要是他想不到.

例2（2015年全國(guó)卷Ⅱ理科第10題）如圖2，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB= 2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x.將動(dòng)P 到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）的圖像大致為（）.

解析1（一般化思想）：由已知得，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)當(dāng)點(diǎn)P在 CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，PA+PB=當(dāng)時(shí)，PA+PB=當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，PA+從點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看出，軌跡關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且，且由解析式可知，軌跡為非線性.故選B.

點(diǎn)評(píng)：煩瑣，小題大做，浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間.

點(diǎn)評(píng)：小題要巧做，贏得時(shí)間就是你贏得高分的保證.

2.在三角函數(shù)問(wèn)題中PK

一些四邊形中的三角函數(shù)問(wèn)題或是涉及到三角函數(shù)的圖像問(wèn)題，難以找到解決問(wèn)題的切入口，可通過(guò)構(gòu)造滿足題意的特殊三角形，讓問(wèn)題的實(shí)質(zhì)原型暴露出來(lái)，或是繪出滿足題意的一個(gè)特殊的三角函數(shù)圖像，借助圖像的直觀性，快速準(zhǔn)確地解決此類(lèi)問(wèn)題.

例3（2015年全國(guó)卷Ⅰ理科第16題）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是_________.

解析1（一般化思想）：如圖3所示，連接AC，設(shè)∠BAC=α，則∠ACB=105°-α.在△ABC中，

圖3

點(diǎn)評(píng)：填空題末題，切入難，運(yùn)算繁，區(qū)分度強(qiáng).

解析2（特殊圖形）：如圖4所示，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得；平移AD，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，即，解得.所以AB的取值范圍是

圖2

圖4

點(diǎn)評(píng)：不怕你做不到，就怕你想不到；善于通過(guò)聯(lián)想，把所求知識(shí)與自己所掌握知識(shí)恰當(dāng)融合，是一種數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn).

例4（2014年北京卷理科第14題）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則f（x）的最小正周期為_(kāi)_______.

解析2（特殊圖形）：畫(huà)出滿足題意的一個(gè)草圖如圖5所示，設(shè)f（x）的最小正周期為T(mén)，則，即T≥，所以，即T=π.

圖5

點(diǎn)評(píng)：此題大部分學(xué)生缺乏找“特殊圖形”的意識(shí)，所以很難優(yōu)質(zhì)高效地解決此題；通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的教育教學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生與普通學(xué)生相比，差別主要有兩點(diǎn)，第一，會(huì)不會(huì)合理地將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解決；第二，會(huì)不會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題.

3.在數(shù)列問(wèn)題中PK

一些高考數(shù)列問(wèn)題，表面看起來(lái)比較抽象、復(fù)雜，很難下手，如果使問(wèn)題退化到最為簡(jiǎn)單的“原始”特殊數(shù)列就可化抽象為具體，變復(fù)雜為簡(jiǎn)單，問(wèn)題也就迎刃而解了，總之，以退為進(jìn)，退到一個(gè)能夠下手處理的位置，從而達(dá)到解決一般問(wèn)題的目的，可謂“退一步海闊天空”.

例5（2015年湖北卷理科第5題）設(shè)a1，a2，a3，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，a3，…，an成等比數(shù)列；q：，則（）.

A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C.p是q的充分必要條件

D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

解析1（一般化思想）：對(duì)命題p：a1，a2，…，an成等比數(shù)列，則公比a且an≠0.

對(duì)命題q，①當(dāng)an=0時(shí)成立；

②當(dāng)an≠0時(shí)，根據(jù)柯西不等式，等式成立，則所以成等比數(shù)列.

所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件.

點(diǎn)評(píng)：考生能聯(lián)想到柯西不等式的有多少？能想到柯西不等式取“=”的條件的又有多少？

解析2（特殊數(shù)列）：取大家最熟悉的等比數(shù)列an=2n，代入q命題（不妨讓n=3）滿足，再取an=3n代入q命題（不妨讓n=3）也滿足，反之取a1=a2=a3=…=an=0，滿足q命題，但不滿足p命題，故是的充分條件，但不是的必要條件.

點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)題，一般的方法很難解決，但特殊數(shù)列法思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算直接明了，簡(jiǎn)單就是數(shù)學(xué)的一種美.能得分的方法都是好方法，取特例時(shí)，越簡(jiǎn)單越熟悉越好.

4.在立體幾何問(wèn)題中PK

立體幾何中有關(guān)運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)（或圖形）的問(wèn)題，?？紤]極限位置，特殊化處理，往往收到意想不到的效果，真叫人拍案叫絕，連聲叫好.

例6（2015年浙江卷理科第8題）如圖6，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（）.

圖6

圖7

解析1（一般化思想）：如圖7所示，設(shè)∠ADC=θ，AB=2，則有題意知，AD=BD=A′D=1.在空間圖形中，連接A′B，設(shè)A′B=t，在△A′DB中，過(guò)A′作A′N(xiāo)⊥DC，過(guò)B作BM⊥DC，垂足分別為N、M，過(guò)N作NP∥=MB，使四邊形BPNM為矩形，則NP⊥DC，連接A′P，BP，則∠A′N(xiāo)P就是二面角A′－CD－B的平面角.所以∠A′N(xiāo)P=α，在Rt△A′N(xiāo)D中，DN=A′Dcos∠A′DC=cosθ，A′N(xiāo)=A′Dsin∠A′DC=sinθ.同理，BM=PN=sinθ，DM=cosθ，故BP=MN=2cosθ，顯然BP⊥平面A′N(xiāo)P，故BP⊥A′P.

在Rt△A′BP中，A′P2=A′B2－BP2=t2－（2cosθ）2=t2－4cosθ2，

點(diǎn)評(píng)：太煩瑣了，這絕不是命題者的初衷，更不是數(shù)學(xué)的追求，根本無(wú)法體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美與精神.

解析2（極限位置）：若CA≠CB，則當(dāng)α=π時(shí)，∠A′CB＜π，排除D；當(dāng)α=0時(shí)，∠A′CB＞0，∠A′DB＞0，可排除A、C，故選B.

點(diǎn)評(píng)：大浪淘沙始見(jiàn)金，想得越深刻，思考得越開(kāi)放，方法就越簡(jiǎn)單，越能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美與精神.

5.在圓或圓錐曲線問(wèn)題中PK

一些有關(guān)圓與直線或圓錐曲線與直線的問(wèn)題中，總讓人有蒙著一層神秘的面紗，或是霧里看花的感覺(jué)，題目中點(diǎn)多，未知的量較多，運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)也較多，如何透過(guò)層層迷霧，摘掉它的神秘面紗，這就需要用特殊化思想找到特殊的點(diǎn)（或線、曲線），從而迅速破解問(wèn)題.

例7（2014年湖北卷文科第17題）已知圓O：x2+y2=1和點(diǎn)，若定點(diǎn)B（b，0）（b≠－2）和常數(shù)λ滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)，都有|MB|=λ|MA|，則：

（Ⅰ）b=_________；（Ⅱ）λ=_________.

解析1（一般化思想）：設(shè)M（x，y），則x2+y2=1，y2=1－x2，因?yàn)棣藶槌?shù)，所以，解得或b=－2（舍），所以，解得或（舍）.故

解析2（三角換元）：在圓O上任意取一點(diǎn)M（cosθ，sinθ），則由|MB|=λ|MA|可得整理得1+b2－5λ2－（2b+4λ2）cosθ=0，即解得

解析3（特殊點(diǎn)）：既然對(duì)圓O上任意一點(diǎn)，都有|MB|= λ|MA|，使得λ與b為常數(shù)，那么我們何不把點(diǎn)取為特殊點(diǎn)呢？取M（1，0）與M（0，1）代入|MB|=λ|MA|得：解得

點(diǎn)評(píng)：大部分考生想不到特例法，主要原因是他們對(duì)特殊與一般的數(shù)學(xué)思想理解得不夠深刻，不夠到位，再加上平時(shí)訓(xùn)練的又較少甚至沒(méi)有，故想不到簡(jiǎn)便的解題策略.

6.在抽象函數(shù)問(wèn)題中PK

在抽象函數(shù)中，只有根據(jù)具體情況巧妙賦值，方可化“腐朽”為“神奇”.

例8（2015年福建卷理科第10題）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）.

解析1（一般化思想）：由已知條件，構(gòu)造函數(shù)g（x）= f（x）－kx，則g′（x）=f′（x）－k＞0，故函數(shù)g（x）=f（x）－kx在R上單調(diào)遞增，且，故所以故結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C；選項(xiàng)D不確定；構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）－x，則h′（x）=f′（x）－1＞0，所以函數(shù)h（x）=f（x）－x在R上單調(diào)遞增，且故所以選項(xiàng)A，B無(wú)法判斷，故選C.

解析2（特殊函數(shù)）：令f（x）=2.1x－1，且k=2，則，所以A正確；令f（x）=6x－1，且k=2，則1，所以B正確，f（1）=5＞2，所以D正確；C錯(cuò)誤.

二、有直接法可用嗎

在用坐標(biāo)法求解的向量問(wèn)題，大多數(shù)抽象函數(shù)問(wèn)題，不確定函數(shù)問(wèn)題，某些數(shù)列性質(zhì)的探究問(wèn)題，不是不想用一般化思想方法解題，而是有一般化思想方法可用嗎？

A.13B.15C.19D.21

解析：建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)滿足題意的一個(gè)草圖，所以所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），所以的最大值為13，故選A.

圖8

點(diǎn)評(píng)：坐標(biāo)化是處理平面向量問(wèn)題最簡(jiǎn)單，最有效的方法.

三、特例探路，結(jié)合演繹推理得出一般結(jié)論

由特殊探路，讓合情推理與演繹推理協(xié)同作戰(zhàn)來(lái)解決一般性問(wèn)題，解題的過(guò)程就會(huì)層次分明，顯得非常優(yōu)美，提高了數(shù)學(xué)思維的流暢性，這也是數(shù)學(xué)中特殊與一般思想的重要體現(xiàn).

例10（2014年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理科第16題）設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是________.

圖9

解析：如圖9，點(diǎn)M（x0，1）在直線y=1上，且y=1與圓O：x2+y2=1相切于點(diǎn)M（0，1），此時(shí)圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N（1，0）或N（-1，0），使得∠OMN= 45°；當(dāng)點(diǎn)M為（-1，1）或（1，1）時(shí)，作圓O的切線，得切點(diǎn)為N（1，0）或N（-1，0），使得∠OMN=45°，滿足題意；故當(dāng)M（x0，1）中的-1＜x0＜1時(shí)，過(guò)點(diǎn)M（x0，1）作圓O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)N′，則∠OMN′＞45°，所以在圓O上存在點(diǎn)N，使得∠OMN= 45°；若x0＜-1或x0＞1時(shí)，過(guò)點(diǎn)M（x0，1）作圓O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)N′，則∠OMN′＜45°，所以在圓O上不存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°.

綜上：-1≤x0≤1.

點(diǎn)評(píng)：本題數(shù)形結(jié)合將一般問(wèn)題特殊化，將不熟悉的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，合理分析，推敲得出答案，設(shè)計(jì)質(zhì)樸，但思維發(fā)散，不容易找到切入點(diǎn)與臨界點(diǎn)，很好的測(cè)試了考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)習(xí)潛能.

四、鞏固練習(xí)

高考中像這樣運(yùn)用特殊化思想解決一般性問(wèn)題的機(jī)遇多嗎？要知道高考命題者出于試卷的“信度”和“效度”的需求，不會(huì)用十分古怪的問(wèn)題來(lái)刁難考生，所以這樣的機(jī)遇還是不少的，關(guān)鍵是你能否敏銳地發(fā)現(xiàn)它，捕捉它，然后利用特殊化思想解決它.

2.（2015年全國(guó)Ⅱ卷文科第12題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+，則使得成立的的取值范圍是（）.

3.（2015年浙江卷文科第6題）有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：m2）分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/m2）分別為a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元）是（）.

A.ax+by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

4.（2015年湖北理科第8題）將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b（a≠b）同時(shí)增加m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則（）.

A.對(duì)任意的a，b，e1＞e2

B.當(dāng)a＞b時(shí)，e1＞e2；當(dāng)a＜b時(shí)，e1＜e2

C.對(duì)任意的a，b，e1＜e2

D.當(dāng)a＞b時(shí)，e1＜e2；當(dāng)a＜b時(shí)，e1＞e2

答案：1.C2.A3.B4.D

參考文獻(xiàn)：

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3.倪富春．特例法在解選擇題中的妙用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（3）.