小議試題講評(píng)多解性的重要性

■江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)　何竹峰

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小議試題講評(píng)多解性的重要性

■江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)何竹峰

眾所周知，數(shù)學(xué)解題教學(xué)立足于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)在具體問(wèn)題中的使用熟練度，這與解題訓(xùn)練密不可分．對(duì)于解題效果最直接的體現(xiàn)，是試卷中學(xué)生對(duì)于解決的問(wèn)題所產(chǎn)生的一些誤區(qū)，這些錯(cuò)誤往往千奇百怪、思維發(fā)散，因此筆者以為對(duì)于試卷中重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題要給出多樣性的回應(yīng)，這正如解題教學(xué)泰斗羅增儒先生所說(shuō)：解題教學(xué)要有效需要兩個(gè)方面，其一是給出較好的方法，引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題中用較好的方式處理，但這還只是第一層境界；學(xué)生解題的方式比較多、思維比較開闊，恰是這種開闊性才能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，將不同的問(wèn)題解決思路多種展示，是第二重境界．

從試題講評(píng)的多解性來(lái)看，筆者以為至少有下列兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

（1）思維發(fā)散性：思維培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的作用，試題講評(píng)多解性的滲透恰恰是培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，如代數(shù)問(wèn)題既能給出一般性的代數(shù)解法，又能給出巧妙的幾何方式，自然對(duì)于學(xué)生思維啟發(fā)有著較大的作用.

（2）熟練整合度：多解性的使用，自然會(huì)使用到各種不同的知識(shí)，講評(píng)中多次使用不同知識(shí)既提高了知識(shí)的熟練度，也提高了知識(shí)的整合度．

下文筆者以兩大幾何問(wèn)題為例，小議在幾何問(wèn)題講評(píng)中多解性的分析．

一、立體幾何中的多解性滲透

案例1如圖1，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD= 120°，PA=AD=1，AB=2．M、N分別是PD、CD的中點(diǎn)，求二面角AMN-C的余弦值．

圖1

分析：二面角問(wèn)題始終是我們學(xué)生的一大弱點(diǎn)，所以此題大部分學(xué)生都沒能用傳統(tǒng)方法找出二面角的平面角，而用空間直角坐標(biāo)系的也有很多的問(wèn)題：有建錯(cuò)系的，有寫錯(cuò)點(diǎn)坐標(biāo)的，有計(jì)算錯(cuò)誤的，還有最后不會(huì)判斷銳角鈍角的.最后在和同學(xué)們的共同探討中，主要形成了以下三種方法：

方法一：如圖1所示，在等邊△AND中取DN中點(diǎn)E，連AE，PE，在直角△PAE中作AH⊥PE于點(diǎn)H，則AE⊥CD，PA⊥CD，所以CD⊥平面PAE.于是CD⊥AH，又AH⊥PE，所以AH⊥平面CMN.在△AMN中，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥MN于點(diǎn)F.因?yàn)锳H⊥平面CMN，所以AH⊥MN.故MN⊥平面AFH，于是有FH⊥MN，結(jié)合AH⊥MN，所以∠AFH為二面角A-MN-C的平面角.

方法二：直接找二面角有點(diǎn)困難，所以可以轉(zhuǎn)化為先求二面角A-MN-D，易知AN=MN=ND=1，AM=MD=，所以△AMN和△DMN全等，則只要作DO⊥MN，交MN于O，連接AO，則AO⊥MN，則∠AOD即為所求二面角的平面角.易求得，則二面角A-MN-C平面角的余弦值為

方法三：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、AD、AP所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)n=（x1，y1，z1）是平面AMN的法向量，可得

圖2

說(shuō)明：空間幾何問(wèn)題筆者以為要教會(huì)學(xué)生“兩條腿”走路，其一是傳統(tǒng)法，即如何求解二面角，這里往往涉及到定義法等，這些方法的使用較好地厘清了學(xué)生的立體幾何公理化體系，尤其對(duì)于立體幾何小題中的稍難問(wèn)題更有獨(dú)到的作用；其二是空間向量法的使用，吳文俊大師提出了數(shù)學(xué)問(wèn)題“代數(shù)化”的方式，這種機(jī)械化的方式被認(rèn)為是解決空間幾何最為一般化的方式.教學(xué)中對(duì)兩種不同方法的引導(dǎo)，有助于學(xué)生在問(wèn)題解決中合理地使用方法.

二、解析幾何中的多解性簡(jiǎn)化

案例2已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是2，一條拋物線恰好經(jīng)過(guò)該六邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是____________.

分析：首先本題部分學(xué)生不會(huì)做的原因是覺得這個(gè)六邊形怎么放置有疑問(wèn)，從而覺得此題因存在不確定因素而難以下手.而靈活的同學(xué)則發(fā)現(xiàn)不管正六邊形怎么放置，只要是拋物線過(guò)四個(gè)頂點(diǎn)，則拋物線的形狀是不變的，那么p的值也是不變的，因此在優(yōu)秀學(xué)生中主要有以下解法：

方法一：學(xué)生發(fā)現(xiàn)本質(zhì)是待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，屬初中內(nèi)容，所以設(shè)二次函數(shù)y=ax2+b，如圖3，建立直角坐標(biāo)系代入易求得a=，所以

圖3

方法二：如圖4，設(shè)x2=2py，設(shè)A（1，h），，則計(jì)算得

圖4

通過(guò)本題的講評(píng)，筆者還讓同學(xué)們嘗試編了同類型試題如下：

（1）已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是2，一個(gè)橢圓恰好經(jīng)過(guò)該六邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，并且另外兩個(gè)頂點(diǎn)為該橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為_______________.

（2）已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是2，某雙曲線恰好經(jīng)過(guò)該六邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，并且另外兩個(gè)頂點(diǎn)為該雙曲線的焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_______________.

（Ⅰ）設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，直線l1過(guò)點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l2垂直于l1，垂足為點(diǎn)P，線段PF2的垂直平分線交l2于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；

（Ⅱ）若AC，BD是經(jīng)過(guò)橢圓C1右焦點(diǎn)F2的兩條互相垂直的弦，求四邊形ABCD面積的最小值.

分析：（Ⅰ）考查求軌跡方程的問(wèn)題.求軌跡方程的方法有很多：直接法、轉(zhuǎn)移代入法（相關(guān)點(diǎn)法）、參數(shù)法、定義法等.在講評(píng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生是采用參數(shù)法求得的，但是運(yùn)算上正確率較低.

方法一：設(shè)直線l2：y=y0，則線段PF0的垂直平分線為，與y=y0的交點(diǎn)M設(shè)為（x，y），得消參即可得到y(tǒng)2=4x，即為所求點(diǎn)的軌跡方程.

方法二（定義法）：發(fā)現(xiàn)符合定義的同學(xué)較少，說(shuō)明對(duì)此類問(wèn)題學(xué)生在綜合分析能力及化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用上有所欠缺.解法如下：由題意得|MP|=|MF2|，故動(dòng)點(diǎn)M到定直線l1：x=-1的距離等于它到定點(diǎn)F2（1，0）的距離，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C2是以l1為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線.因此所求點(diǎn)M的軌跡方程C2為y2=4x，抓住問(wèn)題的本質(zhì)后，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.

（Ⅱ）在講評(píng)過(guò)程中，學(xué)生反映出的問(wèn)題主要有兩個(gè)：計(jì)算問(wèn)題和求函數(shù)最值方法問(wèn)題.通過(guò)和同學(xué)們的一起探討，最后筆者主要用了三種方法求最值：易知，當(dāng)直線AC的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形ABCD的面積S=4，其他情況四邊形ABCD的面積為

方法一：基本不等式求最值，由于（2k2+3）（2+3k2）≤，所以，當(dāng)2k2+3=2+ 3k2，即k=±1時(shí)取等號(hào).

方法三（換元法）：本題到最后學(xué)生對(duì)求最值感到困難的一大原因是因?yàn)槭阶訌?fù)雜、次數(shù)又高而產(chǎn)生懼怕心里，從而失去了正常的分析能力，所以筆者對(duì)這樣的問(wèn)題在教學(xué)時(shí)一直是以復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，如何先轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題為重點(diǎn)教學(xué)的，所以本題筆者又通過(guò)設(shè)t= 1+k2，

所以當(dāng)t=1+k2=2，即k=±1時(shí)，S有最小值

說(shuō)明：解析幾何問(wèn)題的處理主要集中在兩個(gè)方面的引導(dǎo)：其一是題中條件轉(zhuǎn)換是否合理？如：我們知道以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)F點(diǎn)之類的條件，最合理、最簡(jiǎn)潔、最高效的方式是利用向量條件而多數(shù)學(xué)生卻在求解圓方程，利用距離求解，令人費(fèi)解；其二是如案例3中所述，解析幾何中的最值如何求解？即函數(shù)模型的處理.筆者以為，這是多解性方法可以優(yōu)化的地方，優(yōu)化合理的函數(shù)模型更有利于學(xué)生感悟函數(shù)最值求解的重要性，也對(duì)解析幾何問(wèn)題不再恐懼.

總之，試題講評(píng)多解性對(duì)于學(xué)生思路的開拓性、知識(shí)的整合性以及錯(cuò)誤的糾正性上都有較為有效的作用，筆者建議在合理的、重要的試題中引入講評(píng)的多解性，有助于解題教學(xué)展開得更為高效、有效.

參考文獻(xiàn)：

1.姚連省.讓學(xué)生自己寫試卷分析［J］.考試周刊，2010（12）.

2.姜興榮.探求解題思路的幾種有效策略［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（7-8）.

3.朱永祥.再談數(shù)學(xué)思想方法的挖掘和應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2008（2）.