走進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)心世界——一道高三數(shù)學(xué)?？荚囶}的教學(xué)思考

■云南省大理第一中學(xué)　王永生

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走進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)心世界——一道高三數(shù)學(xué)?？荚囶}的教學(xué)思考

■云南省大理第一中學(xué)王永生

題目（2014年云南省第二次高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測理科第20題）已知拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點M，E（x0，0）是x軸上的點，直線l經(jīng)過點M且與拋物線C交于A、B兩點.

（Ⅱ）設(shè)A、B都在以點E為圓心的圓上，求x0的取值范圍.

此題以具體的拋物線為背景，考查點與圓、直線與拋物線位置關(guān)系相關(guān)的證明問題和范圍問題.

應(yīng)當(dāng)說，這只是解析幾何的常規(guī)問題.可筆者所教班級的平均得分只有2.05分（滿分為12分）.作為已完成第一輪全面復(fù)習(xí)，學(xué)生已掌握基本知識，初步具備一定能力的情況下，這樣的得分確實有些低.為此，筆者通過訪談和對學(xué)生的卷面答題情況進(jìn)行具體分析后歸納出以下幾種原因：

（1）一直都不敢做解析幾何題，認(rèn)為它太難，沒分配好時間，等開始做該題時，時間已所剩無幾；

（2）求錯點M的坐標(biāo)；

（3）不能理解點E在以線段AB為直徑的圓上；

（4）難以準(zhǔn)確表達(dá)A、B都在以點E為圓心的圓上；

（5）不能明確條件A、B都在以點E為圓心的圓上對求x0的取值范圍有何作用.

以上原因中，除（1）屬非智力因素外，其他四點都與學(xué)生的數(shù)學(xué)問題表征能力有很大關(guān)聯(lián).

問題表征是指根據(jù)問題所提供的信息和自身已有的知識經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)部心理符號的過程.［1］

數(shù)學(xué)問題表征能力是指準(zhǔn)確表征數(shù)學(xué)問題的程度.這種能力的高低決定著學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解程度，也決定著學(xué)生解題能力的發(fā)展水平.［2］

數(shù)學(xué)問題的解決過程就是解題者在自己的長時記憶中提取解題圖式用于新的問題情境的過程.其認(rèn)知過程分別為：問題表征、模式識別、解題遷移、解題監(jiān)控.［3］由此可見，問題表征的正確性是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的基本前提.

數(shù)學(xué)問題的有效解決常常依賴于對問題的適宜表征，不同的表征產(chǎn)生不同的解題方法，也就有不同的要求和難度，適宜的表征可以減少運算量，縮短思維過程.因此，準(zhǔn)確、適宜的問題表征成為數(shù)學(xué)問題解決的關(guān)鍵.［4］

可見，導(dǎo)致該題學(xué)生得分較低的主要原因還是數(shù)學(xué)問題表征能力的低下.借對此題進(jìn)行試卷講評的契機(jī)，筆者就對高三學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)問題表征能力的培養(yǎng)進(jìn)行了嘗試.

一、表征表達(dá)，嘗試多元，力求準(zhǔn)確

“有研究表明，正確的表征是解決問題的必要前提，在錯誤的或者不完整的問題空間中進(jìn)行搜索，不可能求得問題的正確解.”［5］要使表征準(zhǔn)確，就得先弄明白問題的表征形式.問題表征從形式上可分為“內(nèi)在表征”和“外在表征”兩種.內(nèi)在表征是指學(xué)習(xí)者將外在的問題信息轉(zhuǎn)化為頭腦中內(nèi)在的命題形式，其外在的表現(xiàn)就是學(xué)習(xí)者能用自己的語言陳述問題的條件和目標(biāo)；外在表征是指將問題以文字、符號、圖形、圖表、模型等具體形式表示出來.其外在表現(xiàn)常見形式為語言表征、符號表征、圖形表征和情境表征等.結(jié)合解析幾何問題的特點，在課堂教學(xué)中應(yīng)多注重引導(dǎo)學(xué)生把握表征取向，加強(qiáng)問題表征的多元表達(dá)訓(xùn)練，從而提高問題表征的準(zhǔn)確性.

講評時，為能引導(dǎo)學(xué)生正確理解題意，對第（Ⅰ）問，筆者從條件出發(fā)，以三種形式進(jìn)行了表征表達(dá)，具體內(nèi)容見表1所示.

表1：第（Ⅰ）問條件的語言表征與符號表征對照表

據(jù)此可得題目的圖形表征，如圖1所示.

圖1

通過讀題，將問題所給文字進(jìn)行重新組合，形成準(zhǔn)確的語言表征，進(jìn)而為正確實現(xiàn)將語言符號化打下了堅實的基礎(chǔ)，同時對整體完成圖形表征創(chuàng)造了必不可少的條件.

學(xué)生之所以害怕解析幾何題，其根本原因還是在于缺乏對問題表征的表達(dá)能力，不會進(jìn)行多元表征，從而不能實現(xiàn)對問題進(jìn)行準(zhǔn)確表征.當(dāng)然，也就不可能求得問題的正確解.可見，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多元表征，加強(qiáng)問題表征的表達(dá)訓(xùn)練，進(jìn)而提高問題表征的準(zhǔn)確性.

二、展示表征，通過探討，尋求適宜

通過對前面的表征表達(dá)，實現(xiàn)了對條件的正確理解.當(dāng)面對要證明的結(jié)論時，由于思維能力不同，學(xué)生仍會形成多種不同的表征，有些表征正確，但對問題的求解不夠適宜，而有些表征本來就不正確，當(dāng)然也就必然會導(dǎo)致解題失敗.為此，有必要在講評時展示學(xué)生問題表征的思維過程，和學(xué)生一道共同探討問題表征的適宜性.

對第（Ⅰ）問的結(jié)論，要證明“點E在以線段AB為直徑的圓上”.筆者在閱卷過程中收集整理了幾種學(xué)生在考試時所采用的表征.如圖2所示，設(shè)以線段AB為直徑的圓的圓心為C.幾種不同的表征形式可列表，如表2所示.

圖2

表2：第（Ⅰ）問結(jié)論的幾種不同表征形式

表征1是多數(shù)學(xué)生最先想到的表征形式，可是在問題解決過程中需要先求圓的方程.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入方程組可求出A、B兩點的坐標(biāo)，也可以不求而采用韋達(dá)定理求解.當(dāng)然，還可直接由人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（必修2）第124頁習(xí)題4.1A組第5題的結(jié)論可得此圓的方程是（xx1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，對后面判斷點E是否在這個圓上，此教材第119頁的例1作了示范.應(yīng)當(dāng)說學(xué)生還是比較熟悉和認(rèn)可這種表征形式下的問題解決.

表征2由中點坐標(biāo)公式可求出點C的坐標(biāo)，然后可由兩點間距離公式求出|EC|，再由弦長公式求得|AB|，從而完成證明.雖然思維量小，可計算量相對較大，而且還依賴于要記準(zhǔn)相應(yīng)公式，當(dāng)然這些公式都是要求學(xué)生需要熟練掌握的.

表征3使用學(xué)生相對較少.可事實上，對方程（*）由韋達(dá)定理，得x1+x2=6，x1·x2=1，于是所以

應(yīng)當(dāng)說“在圓中，直徑所對的圓周角是直角”這一結(jié)論學(xué)生并不陌生，而利用向量這一工具來解決解析幾何問題學(xué)生還是不適應(yīng)的.

以上三種表征形式下問題的解決，很難說哪種對學(xué)生相對適宜，這得由學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)能力來決定.通過展示和分析表征的思維過程，可以在一定程度上提升學(xué)生運用所掌握的知識解決問題的能力.當(dāng)然，對一些錯誤的表征，應(yīng)和學(xué)生一道共同進(jìn)行辨析、討論，甚至在爭論中進(jìn)行調(diào)整、修改和完善，使其逐步形成合理的表征.

不同學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和表征能力都會有所不同.在課堂教學(xué)中，教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)展示和交流的平臺，使學(xué)生能夠充分暴露表征的思維過程，通過探討使學(xué)生自覺調(diào)整、修正和完善思維過程，并通過借鑒同學(xué)的思考，從而最終尋求到適宜的表征.

三、重新表征，通過遷移，實現(xiàn)靈活

問題表征的方式具有多樣性.“一般情況下，人們總是用給定的表征形式解決問題，如問題以文字形式出現(xiàn)，解題者往往也傾向于用言語方式解決問題.”［6］但當(dāng)給定的表征方式不利于問題解決時，解題者就需要尋求新的、更有效的表征方式.新的表征方式主要是通過選擇與轉(zhuǎn)換來實現(xiàn).表征選擇是一個信息分析、關(guān)系提煉的認(rèn)知過程；而表征轉(zhuǎn)換則是對已有的信息數(shù)據(jù)的再加工、精加工的認(rèn)知加工過程.［6］

可見，在問題解決過程中，如果最初的表征形式不利于或難以解決問題時，應(yīng)及時進(jìn)行表征選擇或轉(zhuǎn)換，從而能夠達(dá)到快速準(zhǔn)確地解決問題.這在一定程度上體現(xiàn)了問題表征的靈活性.

第（Ⅱ）問要求x0的取值范圍.由題意可知直線l的斜率存在，不妨設(shè)為k，則k≠0.由方程組得k2x2+ 2（k-2）x+k2=0.因為直線l與拋物線C交于A、B兩點，所以Δ＞0?4（k2-2）2-4k4＞0?k2＜1，所以0＜k2＜1.

由此可知，只要找到x0與k2之間的函數(shù)關(guān)系式即可.這就只能由唯一的條件“A、B都在以點E為圓心的圓上”獲得.此時，對其表征形式的選擇就顯得尤為重要.容易想到，由此可得|EA|=|EB|，但其運算相對較繁，為此應(yīng)尋求表征轉(zhuǎn)換，從而盡可能使運算量減小.

第（Ⅱ）問作答的學(xué)生相對較少，更是鮮有學(xué)生能最終完成作答.這其中的原因較多，但與學(xué)生問題表征的選擇與轉(zhuǎn)換能力有很大的關(guān)聯(lián).當(dāng)筆者與學(xué)生一起完成上面的解答時，學(xué)生感觸頗多，一致認(rèn)為，不是不會做，而是根本就沒想到.而沒想到的根本原因還是數(shù)學(xué)問題表征的靈活性缺失，特別是難以甚至不能根據(jù)問題解決的需要進(jìn)行表征的合理選擇和轉(zhuǎn)換.而這正是數(shù)學(xué)問題表征能力的集體體現(xiàn).

通過對這道?？碱}的具體分析，不難看出，數(shù)學(xué)問題表征能力是學(xué)生數(shù)學(xué)的核心能力之一.學(xué)生對題目的表征錯誤或缺失都會在極大程度上影響解題的整個過程.因此，在平時的解題教學(xué)中，應(yīng)充分重視學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力的培養(yǎng).為此，要走進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的內(nèi)心世界，可在教學(xué)中嘗試做好以下三個方面的工作：［7］

一是引導(dǎo)學(xué)生多積累知識，形成一定的知識結(jié)構(gòu)，為實現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的正確理解和表征奠定堅實的基礎(chǔ).

二是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)交流與展示的平臺，通過暴露學(xué)生問題表征的思維過程，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行思維的交鋒，使學(xué)生學(xué)會結(jié)合自身知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整、修改和逐步完善數(shù)學(xué)問題的表征形式，從而最終實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題表征的適宜性，而這恰恰是數(shù)學(xué)問題解決的關(guān)鍵.

三是注重學(xué)生元認(rèn)知能力的開發(fā)，指導(dǎo)學(xué)生在解題過程中有效監(jiān)控解題過程，當(dāng)發(fā)現(xiàn)先前的表征方式效率不高時，應(yīng)及時重新進(jìn)行表征的選擇與轉(zhuǎn)換，并最終實現(xiàn)快速準(zhǔn)確解決問題.

以上三個方面相互關(guān)聯(lián)，層層遞進(jìn).在教學(xué)過程中，應(yīng)有目的、有計劃地加以實施，并有針對性地加強(qiáng)學(xué)生掌握有效問題表征的訓(xùn)練，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題表征能力.

參考文獻(xiàn)：

1.胥興春，劉電芝.問題表征方式與數(shù)學(xué)問題解決的研究［J］.心理科學(xué)進(jìn)展，2002（3）.

2.張玫.降低解題的門檻，提高得分的能力——談高中生數(shù)學(xué)問題表征能力的培養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)之友，2014（8）.

3.喻平.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

4.王林全，吳有昌.中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.

5.傅小蘭，何海東.問題表征過程的一項研究［J］.心理學(xué)報，1995（2）.

6.楊小冬，方格，畢鴻燕，等.非空間問題中運用空間表征策略的研究綜述［J］.心理科學(xué)，2001（1）.

7.殷偉康.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力“三部曲”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（7）.F