淺析“復變函數(shù)”課程教學改革

彭卓華1，張更容2

（1.湖南科技大學數(shù)學與計算科學學院，湖南湘潭 411201；2.廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西南寧 530004）

淺析“復變函數(shù)”課程教學改革

彭卓華1，張更容2

（1.湖南科技大學數(shù)學與計算科學學院，湖南湘潭 411201；2.廣西大學數(shù)學與信息科學學院，廣西南寧 530004）

當前高?！皬妥兒瘮?shù)”課程教學存在學生對該課程的認知方向模糊，學習興趣不高；教學重點不突出，教學方法單一；講授章節(jié)知識安排不合理等問題。針對存在的問題，提出了“復變函數(shù)”課程教學中“兩改革四重視”六點改革構想。

“復變函數(shù)”課程；教學改革；多媒體

復變函數(shù)是數(shù)學的一個重要分支，是數(shù)學分析或高等數(shù)學的一個重要延伸［1］。復變函數(shù)的理論與方法現(xiàn)已成為解決很多學科有關問題至關重要的一種工具，在工程實際許多領域如振動與控制理論、彈簧理論、信號圖像處理等有不可估量的應用前景?！皬妥兒瘮?shù)”課程現(xiàn)已成為許多專業(yè)如數(shù)學、電子工程及電氣等專業(yè)必設的一門課程。目前，“復變函數(shù)”課程的教學大多以教師、課堂及課本為中心，在教學中沿襲著講、聽、考這種傳統(tǒng)的教學模式。在這種傳統(tǒng)的教學模式下，有些學生在復變函數(shù)的學習中往往采用了封閉和記憶型的學習方法，無法體會復變函數(shù)的用途，不能適應新世紀對人才培養(yǎng)模式的要求。本文通過剖析當前“復變函數(shù)”課程教學現(xiàn)狀，找出了“復變函數(shù)”課程教學中根深蒂固的毛病，提出“復變函數(shù)”課程教學改革的“兩改革四重視”六點改革構想。實踐表明，這種“復變函數(shù)”課程的教學模式有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識及創(chuàng)新能力，可以顯著提高復變函數(shù)的教學效果。

一、當前“復變函數(shù)”課程教學中存在的問題

（一）部分學生對“復變函數(shù)”課程的認知方向模糊，學習興趣不高

眾所周知，學生對復變函數(shù)掌握的好與差，與他們的數(shù)學分析或高等數(shù)學知識功底有很大的聯(lián)系。雖然復變函數(shù)的許多知識點與數(shù)學分析或高等數(shù)學的知識點在表現(xiàn)形式上看起來一樣，但是，它的邏輯性和抽象性卻大大超過了數(shù)學分析或高等數(shù)學，兩者之間的實際意義很不一樣。很多學生對此體會不夠。他們簡單地認為，學習復變函數(shù)知識是重復學習數(shù)學分析或高等數(shù)學知識，因而產(chǎn)生了錯誤的想法，模糊了知識點，學習興趣不高，以至于不能全面地掌握復變函數(shù)知識。

（二）講授章節(jié)知識安排不合理

當前有些高校教師在講授“復變函數(shù)”課程時，對章節(jié)知識的安排存在不合理現(xiàn)象。主要問題是：知識結構體系安排不科學，缺乏改革創(chuàng)新，內(nèi)容剪裁不合適。例如：在講授復變函數(shù)積分這一章時，內(nèi)容有：復變函數(shù)積分的定義和性質(zhì)；復變函數(shù)積分的各種計算方法；Cauchy積分定理；Cauchy積分公式；解析函數(shù)的高階導數(shù)公式；Cauchy不等式與Liouville定理等。有些教師在上課時，就是把這些內(nèi)容平鋪直敘地講解一遍，在知識內(nèi)容的選擇上缺乏改革創(chuàng)新。哪些知識必須重點講授，學生必須掌握，哪些知識可以讓學生自主學習，一些教師心中沒有全盤掌控，直接影響學生的學習。

（三）教學重點不突出，教學方法單一

有些高校教師在上“復變函數(shù)”課程時，著重講解如何推導公式、怎樣證明定理、證明方法如何巧妙等，沒有考慮復變函數(shù)自身的特征，沒有把復變函數(shù)方法與要解決的實際問題完美地結合起來。因而在教學中，由于教學重點不突出，使得很多學生高分低能，面對實際問題能力低下。有些教師在“復變函數(shù)”課程教學中，常常是平鋪直敘，照本宣科，講授方法死板單一。當前“復變函數(shù)”課程的授課方式主要有兩種：一是黑板板書，二是使用多媒體課件。但是有些教學課件比較簡略，不能形象地演示出“復變函數(shù)”課程中的有關知識。

二、改革構想

（一）改革教學方式

教師應該將黑板板書與多媒體課件用科學的方法有機地結合起來。以往的教學方法是黑板板書。黑板板書對于數(shù)學題目的求解，能使步驟十分清晰，看起來令人非常爽目。但是黑板板書存在缺點。比如單一使用黑板板書，教師講解的知識量勢必較小，有些書寫過程太費時，而且效果不好。多媒體課件絲毫不存在這些毛病。教師應該將多媒體課件和黑板板書結合使用，這樣才能優(yōu)勢互補，取得較好的教學效果。另外，課件的質(zhì)量優(yōu)劣對學生的學習熱情有著莫大的影響。因此，教師在制作“復變函數(shù)”課程課件時，要特別注意這些問題，做出高質(zhì)量的教學課件。例如，對一些知識，應盡量形象化、動態(tài)化，使得演示過程形象生動，給學生一種愉悅的感覺，使學生學得輕松。

（二）改革章節(jié)知識的安排

高校教師在講授“復變函數(shù)”課程時，必須合理安排章節(jié)知識。例如在講授復變函數(shù)積分時，重點講解復變函數(shù)定義、性質(zhì)及各種計算，Cauchy積分定理，Cauchy積分公式，解析函數(shù)的高階導數(shù)公式，Cauchy不等式與Liouville定理，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系。對于Cauchy積分定理的推廣形式、摩勒拉定理等內(nèi)容，讓學生自主學習。

（三）重視學習興趣

“復變函數(shù)”課程是一門理論性較深奧、內(nèi)容較抽象的課程。學生在學習時，主要感到乏味、不易學，甚至會反問：為什么要學習這門課程？因此，教師上課時，針對不同專業(yè)的學生，突出知識點的實際應用背景，強調(diào)知識點的應用性，激發(fā)學生學習興趣。比如，在講授復數(shù)的輻角時，可用出自不同相機的照片來講述：出自一般的照相機的照片無立體感，而出自數(shù)碼相機的照片立體感很強。理由是：一般照相機僅僅反映復數(shù)模，而數(shù)碼相機不但反映模，而且反映多個點的方位，也就是輻角，因此，也就有了立體感。再比如：在講授柯西積分公式這個知識點時，可提問：怎么測量地球地心的溫度？在已知地球表面各點溫度的情況下，用什么方法可以測量地球地心的溫度？還比如：在講授解析函數(shù)時，可提問：解析函數(shù)在電場中的作用是什么？在講授映射時，設置問題：地質(zhì)測量技術人員用什么原理處理圖像問題？這樣，學生的學習興趣不知不覺地被調(diào)動起來。還可以設置一些課外任務，讓學生在課堂外獨立地用復變函數(shù)知識處理問題，達到培養(yǎng)學生學習復變函數(shù)興趣的目的。

（四）重視類比教學法

類比就是用參照的方法把事物之間存在的異同找出來的一種方法。類比教學法就是在參照的基礎上，找出不同知識點之間存在的異同，再將知識點潛移默化到另一知識點上。換一句說，類比教學法就是將一些既存在差異又存在聯(lián)系的知識點放在一起進行對照，挖掘知識點之間存在的異同，使學生在學習一個知識點之后，毫不吃力地掌握另一個知識點。復變函數(shù)的許多概念、性質(zhì)與定理都與數(shù)學分析相應的概念、性質(zhì)和定理相似。因此，在學習復變函數(shù)的時候，回顧數(shù)學分析相關的知識，采用類比教學法，引導學生思考，得出相應的新知識。例如，在講授復變函數(shù)的導數(shù)定義時，可采用類比教學法。讓學生觀察發(fā)現(xiàn)，復變函數(shù)中導數(shù)定義在形式上與數(shù)學分析單元函數(shù)的導數(shù)定義完全一樣。數(shù)學分析中幾乎所有的求導公式都可以推廣到復變函數(shù)中來。但是復變函數(shù)的導數(shù)含義比數(shù)學分析中單元函數(shù)的導數(shù)含義嚴格得多。這是因為，在討論數(shù)學分析單元函數(shù)的導數(shù)定義時，由于x0是實數(shù)，當x僅沿著實數(shù)軸從x0的左右兩個方向趨向x0時，只要比值的極限存在且相等即可得出單元函數(shù)f(x)在x0可導。但是，在講授復變函數(shù)的導數(shù)定義時，不僅要求變量z從z0的左右兩個方向趨向z0，而且要求z在復平面上沿任何方向趨向 z0時，比值的極限都要存在且相等，這就是復變函數(shù)的導數(shù)定義與數(shù)學分析導數(shù)定義之間的區(qū)別。又如，在復變函數(shù)中講授復數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)時，可采用類比教學法。將數(shù)學分析中級數(shù)的有關性質(zhì)平移過來，可以得出復變函數(shù)中復數(shù)項級數(shù)收斂和發(fā)散的必要條件以及復數(shù)項級數(shù)同樣具有連續(xù)性和可積性等性質(zhì)。因此，從實例可知，類比教學法不僅有助于激發(fā)學生學習復變函數(shù)的興趣，而且有助于培養(yǎng)學生獨立思維的能力以及有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和探索精神［2］。因此，類比教學法在復變函數(shù)教學中是一種行之有效的方法。

（五）重視集中討論，共同學習

根據(jù)每一階段學生學習的實際情況，在學生中進行有針對性地討論，讓學生各抒己見，解決傳統(tǒng)教學中單向灌輸?shù)谋锥恕Ｔ谟懻撨^程中，學生能夠積極主動地學習、思考、辨析和醒悟，學生的潛能得以開發(fā)，學生的個性品質(zhì)也得到了提升。同時，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，這對學生發(fā)散性思維、求異思維、探索性思維、創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)大有益處。在集中討論的同時，要注重共同學習。所謂的共同學習是指教師與學生共同學習，學生與學生共同學習。例如：在講授多值函數(shù)（根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)）的有關理論時，學生不能找到實函數(shù)理論中相應的理論進行類比學習，這時必須由教師對學生進行有效的啟發(fā)和誘導，使學生找到多值函數(shù)（根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)）與單值函數(shù)（整冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)）之間的反函數(shù)關系，通過整冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)，使學生分析得到根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)，加深學生對多值函數(shù)（根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)）理論的理解。在此過程中，教師對新知識通過合適的手段進行講授，全面提升學生對知識的掌握。

（六）重視電腦輔助教學

隨著社會的不斷進步，電腦的飛速發(fā)展，電腦與復變函數(shù)的應用前景息息相關，電腦為復變函數(shù)的發(fā)展開辟了前所未有的新天地。在“復變函數(shù)”課程課堂教學中，使用電腦輔助教學，促進理論知識體系的更新，不僅具有重大的理論意義，而且具有無可替代的實際應用價值。對“復變函數(shù)”課程開發(fā)輔助教學系統(tǒng)，能使課堂教學內(nèi)容栩栩如生，教與學達到空前統(tǒng)一，取得意想不到的教學效果。為了學生能夠使用電腦解決相關的問題，在課堂教學中，應該重視學生編寫代碼能力的培養(yǎng)。向?qū)W生介紹Matlab、 Mathematica數(shù)學軟件［3］。利用數(shù)學軟件，可以快速地進行數(shù)值計算。例如在計算函數(shù)值的實部、虛部和乘冪時，采用Matlab軟件計算，就能使繁瑣的問題簡單化。也可以利用Matlab軟件，繪制復變函數(shù)中有關函數(shù)的圖像，清晰的圖像可以使學生更直觀地理解復變函數(shù)的有關知識。例如在講授復變函數(shù)中三角函數(shù)時，復正弦和復余弦雖然與學生中學學過的正弦和余弦形式相同，都具有奇偶性、周期性以及可微性，但是在復數(shù)域內(nèi)，正弦和余弦不再有界。如果利用Matlab軟件做出正弦和余弦的圖像，從圖像上就可以直觀地觀察函數(shù)的變化趨勢，從而讓學生更好地理解正弦和余弦的關系。這樣，學生在實際操作中不知不覺地鞏固了已學的復變函數(shù)知識，能夠達到潛移默化的效果。

［1］劉顯全.復變函數(shù)教學法探討［J］.大學數(shù)學，2012（2）：155-158.

［2］楊棋，曹月波，王娜.對比教學法在復變函數(shù)教學中的應用［J］.蘭州文理學報，2014（1）：106-110.

［3］郭秀鳳，復變函數(shù)課程教學改革探討［J］.科技信息，2012（3）：21-22.

An Analysis of Teaching Reform on Complex Function

PENG Zhuohua1,ZHANG Gengrong2

（1.School of Mathematics and Computing Science,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan,411201 China;2.School of Mathematics and Information Science,Guangxi University,Nanning,Guangxi,530004 China）

At present,college students are usually unclear about“complex variable function”course during teaching of“complex function”in most colleges or universities.So there are problems as students being uninterested in this course;teaching focus being uncer?tain;single teaching method;unreasonable teaching arrangement and so on.Upon this questions this paper presents six ideas of teaching reform in the complex function.

complex function subject;teaching reform;multimedia

G642

： A

： 2096-2126（2016）06-0136-03

（責任編輯：雷凱）

2016-10-21

新世紀廣西高等教育教學改革工程項目“地方院校數(shù)學類專業(yè)創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式的研究與實踐”研究成果。

彭卓華（1967—），男，湖南邵東人，博士研究生，研究方向：數(shù)值代數(shù)。