“數(shù)與形”例2的解讀與思考

□ 徐英飛 李新根

“數(shù)與形”例2的解讀與思考

□ 徐英飛 李新根

對于人教版六年級上冊數(shù)學廣角“數(shù)與形”例2，教材編者認為學生能發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律，也能發(fā)現(xiàn)“和的分子總是比分母小1”的結(jié)論，并推理出“隨著加數(shù)越來越多，和越來越接近于1”，而且通過畫圖，也能得出總和等于1。但事實上，學生很少認可總和等于1，究其原因是因為他們把無限加數(shù)當作有限個數(shù)來思考了，畫圖也一樣，而這一點，正是教學的真正突破口。

數(shù)與形 有限 無限 極限

“數(shù)與形”是人教版六年級上冊數(shù)學廣角中（第107頁）的內(nèi)容。由于是新增內(nèi)容，所以一線教師對它的研究比較少，其中例2是這樣的：計算。

一、教材解讀

（一）教材的編寫意圖

根據(jù)書本第107頁上的編寫意圖，是要讓學生通過觀察與計算，發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律與和的規(guī)律（即后一個加數(shù)是前一個加數(shù)的，和的分子總是比分母小1，隨著加數(shù)越來越多，和就越來越接近于1），從而感受到什么叫“無限接近”。對于結(jié)果，教材編者認為無法一一窮舉，但可以通過觀察到的規(guī)律進行“無窮無盡”的類推，讓學生在這一過程中體會推理和極限思想。

教材第108頁上的小精靈說：“可以畫個圖來幫助思考，用一個圓或一條線段表示‘1’?！绷硪晃荒猩f：“從圖上可以看出這些分數(shù)不斷加下去，總和就是1?！睆倪@頁的編寫意圖看，就是要通過數(shù)形結(jié)合的方式，讓學生知道最終的結(jié)果是1。即在圓形上分別有規(guī)律地表示出這些加數(shù)，當這個過程無止境地持續(xù)下去時，所有的扇形就會把整個圓占滿（線段也是同樣道理），這時，這些數(shù)相加之和就為1了。

（二）《教師教學用書》中的說明

教師教學用書中說道：可利用分數(shù)意義的直觀模型，使學生直觀地理解“無限”的抽象概念；讓學生通過計算，發(fā)現(xiàn)和越來越趨向于1，感受什么叫“無限接近”；利用觀察到的規(guī)律進行“無窮無盡”的類推，使學生在這一過程中體會推理和極限思想；“無限”的概念非常抽象，學生不易理解，例如，學生會說最終的結(jié)果接近于1，但永遠不可能為1。事實上，對于任一有限和，都可以通過再加一項來得到更小的和，這就是“極限”的核心思想。這里有幾個關(guān)鍵詞：無限、無限接近、極限。

二、教學困惑

對于例2，筆者曾進行過教學嘗試，先出示例2讓學生進行觀察，然后再計算，一切正如書本第107頁所料，學生不僅觀察出了加數(shù)的規(guī)律，還發(fā)現(xiàn)“和的分子總是比分母小1”，并推理出“隨著加數(shù)越來越多，和越來越接近于1”，這著實讓他們體驗了一回什么是“無限接近”。

但當問起“和可不可能等于1”時，沒有一個人認可，因為他們覺得無論怎么加下去，和的分子總是比分母小1。于是讓學生根據(jù)分數(shù)的意義畫一畫圖，教師再配以課件演示，結(jié)果還是不行。因為他們始終認為不論怎么畫，整個圖形還是缺一塊，所以永遠到不了1。至此，教學陷入了僵局，所有的推理、畫圖都顯得蒼白無力。

三、重新認識

為了解決教學中的困惑，筆者查閱了相關(guān)資料，特別是在王永春老師所著的《小學數(shù)學與數(shù)學思想方法》一書中找到了答案。

（一）對極限思想的認識

書中關(guān)于“極限思想”，有這樣幾段文字：①極限思想是用無限逼近的方式來研究數(shù)量變化趨勢的思想，這里要抓住兩個關(guān)鍵語句：一個是變化的量是無窮多個，另一個是無限變化的量趨向于一個確定的常數(shù)，兩者缺一不可。如自然數(shù)列是無限的，但是它趨向于無窮大，不趨向于一個確定的常數(shù)，因而自然數(shù)列沒有極限。②當我們面對無限的問題時，就不要再用有限的觀點來思考，要進入無限的狀態(tài)。比如0.999…=1，有的教師認為：無限循環(huán)小數(shù)的位數(shù)是無限的，和永遠達不到1，永遠小于1。這是一種片面的觀念，是因為用有限的觀點來看待無限造成的，這樣的問題在數(shù)學上應該用極限的方法來解決。③極限方法只關(guān)注一個無限的變化過程的確定趨勢是什么，只要趨勢確定并且符合極限的定義，那么這個無限變化的過程的結(jié)果就用極限來表示，它就是一個解決問題的方法而已，只要符合極限的規(guī)則和邏輯，就可以用極限來表示無限變化的過程的結(jié)果，它并不關(guān)心這個無限變化的過程何時能到達極限，它在本質(zhì)上不同于有限個數(shù)的和。

也就是說，如果某個變化的量“無限逼近”于一個確定的數(shù)值，那么這個定值就叫作變量的極限。教材編寫意圖就是為了讓學生獲得這樣的感悟：隨著加數(shù)越來越多，和就越來越接近于確定數(shù)1，當加數(shù)個數(shù)無限多時，和就是1。

（二）對學生困惑的認識

其實想了1萬個就才1萬個，想了1億個就才1億個。但例題中的加數(shù)個數(shù)是無限的，無論到什么時候都不能斷開，所以“整個數(shù)列的和”必然是另外一種狀況。

畫圖也一樣，是不能停的，一旦停了，就會有空缺，而現(xiàn)在是無限地畫下去，所以肯定看不到空缺。

四、新的思考

分析了學生的困惑之后，筆者對這個內(nèi)容的教學有了新認識。前面的環(huán)節(jié)，可以像教材編寫的那樣，讓學生經(jīng)歷一個觀察、計算、畫圖的過程。接下來，必須讓學生清楚“無限個加數(shù)相加，和可能是無窮大，也可能是逼近于某個確定的常數(shù)”。比如1+2+3+4+…的和就是無窮大，而的和就是逼近于1。接下來讓學生思考：當這個和無限地逼近這個常數(shù)時，會不會就等于這個常數(shù)呢？此時可借助于“劉徽的割圓術(shù)”和“求圓面積的方法”，書本第68頁上有這樣的描述：“劉徽從圓內(nèi)接六邊形開始，將邊數(shù)逐次加倍，得到的圓內(nèi)接正多邊形就逐步逼近圓，割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！边@是什么意思呢？就是說當正六邊形的邊數(shù)無限倍增的時候，它就會無限地逼近圓，最后就變成了圓。另外，從圓面積的探究過程中也可以發(fā)現(xiàn)，當把圓等分成若干個小扇形，然后拼成一個近似的長方形，當分的份數(shù)越多，拼出的圖形就越接近長方形，最后就變成了長方形。這些知識的回顧都有利于學生對極限的認識，從而認可例2的結(jié)果等于1。

再接著，通過動畫演示來讓學生明白例2等于1的原因，（如下頁圖）把整條線段看作“1”，然后用，…分割下去，這樣就有無數(shù)條小線段。然后再反過來，把這無數(shù)條小線段重新拼接起來，結(jié)果就是原來的“1”。

最后再來討論“先前認為和不可能等于1的原因”，那是因為我們都把它當作有限個數(shù)來思考了。比如，畫圖時，總覺得畫不滿，那是因為我們不畫下去了，如果畫個不停，就看不到空缺。

如果還有時間，可再作些補充，比如0.999…的小數(shù)點后面有無限多個9，那么它等不等于1呢？因為 0.333…×3＝0.999…，，所以0.999…=1；還可以假設(shè)1除以1不夠除，那么只能商0，于是就有了右邊的算式。

總之，這個內(nèi)容的教學，既要順著學生的思維，又要讓他們有新的突破。通過經(jīng)驗回顧（割圓術(shù)、求圓面積方法）和數(shù)形結(jié)合，可以讓學生明白例2等于1的原因，還可以感悟極限思想，有了這種思想，不僅可以降低解決問題的難度、優(yōu)化解題過程，還能對初、高中的數(shù)學學習有幫助。所以學好這節(jié)課，意義深遠。

[1]王永春.小學數(shù)學與數(shù)學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014（7）.

（浙江省桐鄉(xiāng)市崇德小學 314511浙江省桐鄉(xiāng)市教育局教研室 314500）