著眼空間觀念培養(yǎng) 提升解決問題能力
——“長方體和正方體”教學思考

□ 俞秉鈞 王紅妙

著眼空間觀念培養(yǎng) 提升解決問題能力
——“長方體和正方體”教學思考

□ 俞秉鈞 王紅妙

立體圖形的學習是小學階段“圖形與幾何”知識的重要組成部分。學生能否熟練靈活運用相關知識解決實際問題，較大程度上取決于空間觀念的積累。以“長方體和正方體”的教學為例，要有效培養(yǎng)學生的空間意識，可以通過以下策略展開：在“豐富感知”中，喚醒空間意識；在“虛實相生”中，發(fā)展空間想象力；在“縱橫思辨”中，深化空間觀念。只要教師堅持沿著“形象→表象→抽象→形象”的軌跡不斷循環(huán)往復，空間觀念就會不斷走向清晰，學生的想象力也會由單一走向復雜，得以不斷提升。

長方體 正方體 立體圖形 空間觀念

小學階段“圖形與幾何”知識的教學主要包括“空間和平面圖形的知識和計算”“圖形的位置與變換”等，立體圖形的學習是其重要內容，作為這一內容的重要部分“長方體和正方體”，它是建立在學生認識了平面圖形的特征和相關計算的基礎上進行教學的。這是學生學習幾何知識由平面擴展到立體的開始，更是學生空間觀念發(fā)展中的一次飛躍，對培養(yǎng)和發(fā)展學生初步的空間想象能力和后續(xù)學習有很大的影響。

在實際教學中，教師往往存在“重結果，輕過程；重形式，輕思維”的教學意識，導致學生“知其然，卻不知其所以然”。以下是筆者在教學中由若干問題引發(fā)的一系列思考與實踐，及找尋到的一些耐人尋味的知識共性。

【思考一】“體”變“形”，僅僅是口誤嗎？

教學中發(fā)現(xiàn)學生總將“長方體”“正方體”說成“長方形”“正方形”，糾正多次還是改不了，這僅是口誤嗎？深入思考，不難發(fā)現(xiàn)這是學生受到之前所學的平面圖形的影響，對于初步接觸的立體圖形又沒有真正建構起清晰的表象而產生的“口誤”。

【對策一】在“豐富感知”中，喚醒空間意識

小學生的思維以形象為主，逐步向抽象過渡。表象是由感知到概念間的“階梯”，具有直覺性和概括性。筆者認為教師應以直觀形象的教學手段為基點，在點、線、面、體間的溝通聯(lián)系中，在形態(tài)萬千的現(xiàn)實世界里，通過多種途徑豐富學生的感知，幫助學生建立清晰、深刻的“體”的表象，喚醒、激活學生的空間意識，從而成功實現(xiàn)由一維空間到二維空間再到三維空間的飛躍，助其順利過渡。

（一）關注“體”的飛躍

立體圖形的學習側重于幫助學生建立三維空間觀念，而空間觀念的形成需要經歷一個不斷補充、延伸、完善的學習過程。教師不僅要注重學生對立體圖形的觀察研究，還要關注從面到體的過渡，體會面與體的差異，理清它的縱向發(fā)展脈絡。如教學“長方體的認識”課始，筆者利用多媒體設計了一個運動情境導入新課。屏幕上先出現(xiàn)一個點，有很多的點從左往右整齊而緊密地排列，運動的軌跡形成了線段；很多條相同的線段從下往上整齊而緊密地排列，運動的軌跡形成了長方形；很多個相同的長方形從前往后整齊而緊密地排列，運動的軌跡形成長方體，從而引出“長方體”。

伴隨著“點→線→面→體”的形成，讓學生不斷展開想象，并在現(xiàn)實中得到驗證，形象地感受到點、線、面、體的聯(lián)系與區(qū)別，巧妙地實現(xiàn)“長方形”向“長方體”的過渡，幫助學生實現(xiàn)從一維空間、二維空間向三維空間的轉化。一個富有匠心的細小環(huán)節(jié)，讓學生印象深刻，“體”與“形”雖是一字之差，卻是截然不同的兩種表象，就不會輕易地將“長方體”說成“長方形”了。同樣，立體圖形很多都可以看成由平面圖形經過疊加或旋轉運動形成的，教師始終要重視這方面的聯(lián)系。

（二）重視“體”的建構

“體積”首次亮相于本單元中，因此對這個新概念的建構尤顯重要。在體積教學中，教師應充分借助實物讓學生充分理解“空間”“空間大小”的實際意義，進而理解體積。如讓學生觀察在一塊空地上放置的由一個個面圍成的紙箱，發(fā)現(xiàn)箱子占據了一定位置，它所占的位置就是空間。再在箱子的旁邊放一個大的長方形紙片，讓學生走一走。使學生知道由于箱子占據空間，需繞道，而長方形紙片不占據空間，無須繞道，讓他們從對比中獲得空間知覺。再選擇不同的物體放在空地上，觀察比較這些物體也會占據一定的空間，不同的物體占據的空間有大有小，從而建立體積概念。

同樣，體積的計算教學也需精心設計，讓學生經歷動手、動腦、表述等多種感官體驗，有助于體積概念的進一步深化。如在教學“長方體的體積”時，首先讓學生在擺放物體中感悟體積，懂得“長方體所含體積單位的數(shù)量，就是長方體的體積”；再通過引導學生“有序數(shù)”理解“一行→一層→幾層”與長、寬、高的內在聯(lián)系，從而充分理解“長方體的體積=長×寬×高或長方體的體積=底面積×高”。

（三）充盈“體”的經驗

學生的空間觀念來自豐富的生活原型，但學生對立體圖形的生活原型顯然了解不夠。如在表面積教學中，學生在解決占地面積、側面積等問題時往往找不到對應的數(shù)據。細觀教材，它是通過研究長方體的展開圖幫助學生理解的，但立體圖形與它的展開圖表象又需要一定的轉化，學生需要想象出每個面的長、寬與長方體的長、寬、高的對應關系。因而需要教師利用生活原型架設橋梁，助其學習，如可利用學生身處其中的熟悉場所教室，借助真實直觀的長方體參照物，讓長方體表象在頭腦中扎根，幫助學生清晰地建立起對應關系。

又如在解決表面積問題時，教師可以讓學生通過搜集發(fā)現(xiàn)、歸納整理、自編習題等形式去解決生活中哪些情況只需要求側面積的實例：落水管、通風管、煙囪……哪些需要求4個面……也可以借助多媒體呈現(xiàn)生活情境，如讓學生觀察等積變形的實例：求不規(guī)則物體的體積過程、一堆圓錐形沙子鋪路…… 通過教師長期有意識的引導，學生才能學會用數(shù)學眼光去觀察生活，發(fā)現(xiàn)與之相關的生活素材，積累經驗，豐富表象，有效地培養(yǎng)學生初步的空間觀念。

【思考二】解決問題一定需要動手操作嗎？

教材第36頁題2（見下圖），至少50%的學生只是胡亂猜測，不能正確分析。通常教師會向學生傳授“秘訣”:“動手折，一切迎刃而解?！贝挚催@個“秘訣”簡單有效，學生動手操作，符合數(shù)學課程標準；再細思，解決問題一定需要動手操作嗎？動手操作是培養(yǎng)空間觀念的最佳手段？解讀課標和教材，筆者認為動手操作是必要的，它是學生發(fā)展空間觀念的一座橋梁，學生借助它可以建立初步的表象。但如果過多或一味地讓學生動手操作，在某種意義上會折斷學生想象的翅膀，弱化學生的想象能力。

下面的平面圖哪些可以折成正方體？

【對策二】在“虛實相生”中，發(fā)展空間想象力

初步的空間觀念培養(yǎng)需要以動手操作為基礎，但當學生通過大量的觀察、操作，積累了一定的感性經驗后，教師就要學會逐步放手，引導學生充分發(fā)揮想象，開展想著畫、想著折、想完整等空間思維活動，并不斷輔助實踐檢驗，增加其思維的準確性，豐富“體”的表象。這樣學生在“虛實相生”“循環(huán)往復”的過程中，加深了對立體圖形的本質理解，培養(yǎng)了抽象思維，發(fā)展了空間觀念，空間想象能力也在這樣的一次次想象中得到發(fā)展！

（一）想著畫，搭建立體框架

《六年級學生空間想象能力測試及問卷調查的分析與對策》（游瓊英，《小學教學》2010.2）一文中指出：在空間想象能力測試中，有55%的學生不會畫立體圖，只有38%的學生能從文字聯(lián)想到平面圖形或立體圖形。說明我們的教學更需要對這方面進行關注。

小學階段對學生畫圖的要求不高，一些較簡單的圖形，可以讓學生在觀察實物后，根據圖形的相關知識嘗試著畫，這是一個由實物到圖形的順向思維過程。如在畫長方體三維圖時，可根據“從不同角度觀察一個長方體，最多能同時看到3個面”去畫。三個面用實線表示，其余三個面由于看不見，用虛線表示，相對的面大小相等，畫出相對面。方法有二。

（二）想完整，增添思維含量

教師還可以利用圖形的一些基本元素讓學生將前后知識融會貫通，想象加工、拼擺、組合，讓虛擬圖形的完整框架或豐富的組合圖形表象在學生的頭腦中清晰顯示，增加思維含量。如在該單元教學時，筆者一直都非常關注這樣的訓練，如根據長方體的長、寬、高想象出它的三維圖（見下圖），根據想象的三維圖解決問題：如后面的面積，左右兩個面的面積之和，棱長之和，哪個面的面積是15平方厘米，猜測這個長方體可能是什么盒子等。 讓學生應用所學的知識及積累的想象力進行解決，在解決的過程中進一步發(fā)展空間觀念。或者出示一個長方體的左面和前面（見下圖），分別計算底面積和體積。

這種教學方式將前后知識融會貫通，通過想完整，脫離實物，自覺搭建虛擬的立體圖形模型，并借助這個立體圖形，解決實際問題，這樣既培養(yǎng)了空間想象能力，又學以致用。

（三）想著折，突破教學難點

能進行立體圖形與其展開圖之間的轉化，不僅有助于學生認識圖形的特征，同時還是解決實際問題的關鍵，是建立空間觀念的要點之一。但平時學生建構的往往是立體圖形表象，展開圖及動態(tài)的轉化對學生而言比較困難。因而教師應讓學生充分借助已有的動手操作經驗，想著折，突破學習難點。學會想著折，就是引導學生在頭腦中折疊操作，由于脫離了具體的操作，起初會有些困難，但只有在持續(xù)的想象活動中，才能培養(yǎng)他們的空間想象力。

諸如上題，在學習了正方體的認識，了解了它的展開圖后，可引導學生通過“想象折、標注”來完成。如讓學生先確定一個面作為下底面，寫上“下”，然后想象折疊的過程，每折疊一面就確定它是哪面，在此面標上相應的文字，最后若能不重復、不遺漏地在六個面上分別標上“上”“下”“前”“后”“左”“右”（見下圖），那么這個展開圖就能折成正方體，反之，則不能折成正方體。

教師還可以通過電腦操作驗證學生的想象，不斷完善學生的想象。同時教師還應引導學生探尋展開圖的分布規(guī)律，獲得解題方法與策略。

【思考三】錯誤百出，僅僅是“看錯了”嗎？

在本單元教學中，由于概念較多，作業(yè)錯誤百出。究其原因，學生往往是一拍腦袋，恍然大悟地說聲“看錯了”。僅僅是看錯嗎？細細分析，不難發(fā)現(xiàn)當知識回歸生活時，更具有現(xiàn)實性和綜合性，現(xiàn)實問題的解決無疑對學生是一種挑戰(zhàn)。

【對策三】在“縱橫思辨”中，深化空間觀念

學生的空間觀念，需要以生活經驗積累為基點，用想象來豐盈，更需要回歸生活。因此，教師一定要注重習題的設計，以學生熟悉的具體情境為載體，恰當改變題目，把握習題的寬度、深度、靈活度和對比度；同時數(shù)學知識又具有一定的邏輯性、抽象性、概括性和層次性，教師還需要將各種知識和思想方法連串成網，形成網絡結構。讓學生在縱橫思辨中同中求異，異中存同，觸類旁通，尋找共性，深化學生的空間觀念，提高解決問題的能力。而學生良好的空間觀念有助于發(fā)展他們的幾何直觀思想，可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于學生進一步的學習和運用。

（一）橫向梳理，明晰概念

如“長方體和正方體的整理與復習”中的練習設計。

此金魚缸長1.2米，寬0.4米，高0.6米，用玻璃制成，每1平方米玻璃售價是80元，并用鋁條包邊。請你利用相關信息提出實際問題并解答問題 問題角度占地面積棱長總和表面積體積容積綜合應用

這種練習題以一個開放性的情境為載體，讓學生利用相關信息提出問題，把看似不同的知識聯(lián)系起來。不僅幫助學生系統(tǒng)梳理知識，同時通過分析比較，理清知識的聯(lián)系與區(qū)別，提高概念的清晰度與區(qū)分度，構建知識的網絡結構，提升思維的廣度和靈活度。

（二）縱向深入，融會貫通

教材第48頁安排了這樣一道習題（見下圖）：

一個包裝盒，如果從里面量長28厘米，寬20厘米，容積為11.76立方分米。爸爸想用它包裝一件長25厘米，寬16厘米，高18厘米的玻璃器皿，是否裝得下？

（問題情境：體積小于容積，對應的長、寬、高也小，裝得下）教師在充分解讀教材的前提下，進一步挖掘習題的思維含量，二度開發(fā)教材，讓看似簡單的習題發(fā)揮更大的價值。調整如右上表 。

此練習題同樣是利用一個情境，把相似的知識放在一起，讓學生經歷觀察、比較、歸納、概括的過程，打破思維定勢，學會從多角度思考問題，并獲得一些解決問題的策略。習題的教學價值在引領和重組下，獲得了豐富和拓展，提升了學生的空間觀念。

習題 思考角度①一個長方體包裝盒的容積如果從里面量長28厘米，寬20厘米，容積為11.76立方分米，爸爸想用它包裝一個體積是12.2立方分米的長方體玻璃器皿，是否能裝進？體積大于容積，一定裝不下②一個包裝盒，如果從里面量長28厘米，寬20厘米，容積為11.76立方分米。爸爸想用它包裝一件長25厘米、寬16.37厘米、高23厘米的玻璃器皿，是否能裝下？體積小于容積，也不一定能裝得下，還要考慮它們的長、寬、高③一個包裝盒，如果從里面量長28厘米，寬20厘米，容積為9.52立方分米。爸爸想用它包裝一件長25厘米、寬16厘米、高18厘米的玻璃器皿，是否能裝下？可以改變物體的擺放位置，使長、寬、高對應數(shù)據發(fā)生改變，裝下物體

（三）凸顯思想，連串成網

數(shù)學思想方法是數(shù)學知識不可分割的有機組成部分。立體圖形的教學不僅要培養(yǎng)學生的空間觀念，更要讓學生在學習的過程中，看到知識背后負載的方法、蘊含的數(shù)學思想才能對所學知識的理解更深刻，數(shù)學素養(yǎng)才能得到提升。其主要數(shù)學思想包含數(shù)形結合、轉化、有序、類比、分類等，當然我們所強調的是“凸顯”，著重在“滲透”，是讓學生能夠在初步體驗、感悟基礎上有所理解，用無痕的、潤物細無聲的方式讓學生認識或理解某種具體的數(shù)學思想方法。

如從學生開始接觸空間與圖形板塊，“比較”就以不同的形式出現(xiàn)，從線段的長短到面積的大小再到體積的比較。列舉比較的數(shù)學思想方法，其實長度、面積和體積在比較的思想方法上它們表現(xiàn)出共同的特征?！氨容^”有兩法，即觀察法和重疊法，而重疊法是較為精確的比法。一維空間的比較：點對齊，重疊一條邊；二維空間：重疊兩個方向的邊；三維：重疊三個方向的邊。如果教師在每個學段都能適當?shù)剡M行回顧與發(fā)展，那么我們的學生不再是舉步維艱，他們更多是利用一些數(shù)學思想和方法進行舉一反三的學習，教學也就成功。又如，“在數(shù)長方體的頂點、棱、面的數(shù)量”時，滲透有序的思想方法；再如，“用排水法求不規(guī)則物體的體積”“把正方體鋼坯鍛造成鋼條”等，都是利用等積變形的數(shù)學思想，包括在后續(xù)學習將圓柱轉化成圓錐等問題時都可利用這種思想方法。

學生的空間觀念是以豐富的空間經驗為起點，在活動體驗的過程中逐步建立、形成、強化和發(fā)展起來的，而非一朝一夕之事。只要教師堅持沿著“形象→表象→抽象→形象”的軌跡不斷循環(huán)往復，空間觀念就會由無到有，由少增多，由模糊走向清晰，學生的想象力也會由弱到強，由低到高，由單一到復雜不斷提升。

[1]馬云鵬.小學數(shù)學教學論[M].北京：人民教育出版社.2013（6）.

[2]孔新偉 .數(shù)學教學中培養(yǎng)學生空間觀念三步曲[J].湖北教育（教育教學），2011（9）.

（浙江省新昌縣七星小學 312500）