“數(shù)與形”教學(xué)思考

鐘啟偉

在一次教學(xué)常規(guī)抽查中，幾位教師隨堂抽聽(tīng)了我執(zhí)教的“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”這一課，整節(jié)課我主要借助線段圖，引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握分?jǐn)?shù)除法的算理，緊扣教材與教學(xué)目標(biāo)，分三步設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)：

例題：小明小時(shí)走了2 km，小紅小時(shí)走了 km。誰(shuí)走得快些？

1.教師先引導(dǎo)學(xué)生畫一條線段圖表示1小時(shí)走的路程，再讓學(xué)生思考：如何表示小時(shí)走了2千米這個(gè)條件？（學(xué)生通過(guò)畫圖、觀察，很容易就理解“將線段平均分成3份，其中2份表示的就是小時(shí)走的路程”，如下圖所示。）

小明平均每小時(shí)走：

2.指著圖啟發(fā)：已知小時(shí)走了2千米，要求1小時(shí)走了多少千米，可以先算什么？再算什么？

根據(jù)學(xué)生的思考交流，教師板書(shū)計(jì)算思路：

先求小時(shí)走了多少千米，也就是2千米的。再求3個(gè)小時(shí)走了多少千米。

2÷=2××3=2×

結(jié)合算式，讓學(xué)生思考并說(shuō)說(shuō)每步求的是什么。

3.觀察思考，小結(jié)算法：

觀察：除法轉(zhuǎn)化成了什么運(yùn)算？什么沒(méi)有變化？什么變了？是怎樣變的？

強(qiáng)調(diào)：被除數(shù)沒(méi)有變，除法變成了乘法，除數(shù)變成了它的倒數(shù)。

小結(jié)：整數(shù)除以分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來(lái)計(jì)算。

運(yùn)用方法的遷移，讓學(xué)生小組內(nèi)分析小紅每小時(shí)所走的路程。

……

這只是一節(jié)比較普通的數(shù)學(xué)課，可課后有老師卻對(duì)我說(shuō)，他們教很多年的書(shū)，只知道分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法是用被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)來(lái)計(jì)算，但一直不知道為什么要這樣算，通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，他們終于知道了為什么這樣算了?；蛟S是因?yàn)樗麄兒苌俳佑|小學(xué)高年級(jí)的數(shù)學(xué)教程，可從這個(gè)簡(jiǎn)單的事例中，讓我們進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的重要性。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題，可以使復(fù)雜問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，使抽象問(wèn)題變得更直觀。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)與形相結(jié)合的例子很多。有時(shí)候，圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來(lái)解決圖形的規(guī)律，例如連點(diǎn)成線段，求線段總數(shù)，就是利用數(shù)的規(guī)律來(lái)解決線段總數(shù)的問(wèn)題。有的時(shí)候是利用圖形來(lái)直觀地解釋一些抽象的數(shù)學(xué)原理與事實(shí)，讓人一目了然，如上述的事例，就是利用線段圖來(lái)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理，還有利用長(zhǎng)方形模型來(lái)理解分?jǐn)?shù)乘法的算理等。然而盡管在以前的學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)很多有關(guān)數(shù)形結(jié)合的例子與練習(xí)，學(xué)生結(jié)合“形”來(lái)分析問(wèn)題也有一定的基礎(chǔ)，但由于教材中沒(méi)有系統(tǒng)的教學(xué)數(shù)與形的內(nèi)容，所涉及的練習(xí)也比較分散，所以學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的概念比較模糊，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決問(wèn)題時(shí)意義不大。“數(shù)與形”是人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第107頁(yè)內(nèi)容，是教材新增內(nèi)容，共有2個(gè)例題，例2及后面編排的幾道練習(xí)題都屬于思考題甚至競(jìng)賽題。從內(nèi)容的編排上看，它突出了探索規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律的編排意圖，例如例1，通過(guò)計(jì)算和觀察1、1+3、1+3+5、1+3+5+7……既能發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律（從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)相加），又能發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律（都是連續(xù)的正方形數(shù)），例2也如此，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過(guò)推理，再引導(dǎo)學(xué)生把規(guī)律應(yīng)用于一般的情形，解決問(wèn)題。其次，在利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的過(guò)程中積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思想。例如例題中，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算+、++、+++……發(fā)現(xiàn)和越來(lái)越趨向于1，感受到什么叫作“無(wú)限接近”，同時(shí)也使學(xué)生在這一過(guò)程中體會(huì)推理和極限的思想。在教學(xué)時(shí)，我認(rèn)為應(yīng)該從以下幾點(diǎn)進(jìn)行思考：

1.把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來(lái)，相互印證，體會(huì)數(shù)學(xué)之美。在教學(xué)例1時(shí)，先讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算1=1，1+3=4=22，1+3+5=9=32……使學(xué)生發(fā)現(xiàn)得到的和都是“平方數(shù)”，再把圖形與算式結(jié)合起來(lái)，即如果用1個(gè)小正方形、3個(gè)小正方形、5個(gè)小正方形……拼一拼，可以拼出一些大小不一的大正方形，再呈現(xiàn)這些由小正方形拼成的大正方形。讓學(xué)生觀察兩個(gè)大正方形相差多少個(gè)小正方形，例如，邊長(zhǎng)是2的大正方形和邊長(zhǎng)是1的大正方形，相差3個(gè)小正方形；邊長(zhǎng)是3的大正方形與邊長(zhǎng)是2的大正方形，相差5個(gè)小正方形……相差的小正方形數(shù)正好是“┓”形中的小正方形的數(shù)，使學(xué)生理解所看到的圖中的小正方形數(shù)還可以分別表示成1，1+3，1+3+5，……數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生很清楚地看到這些連續(xù)的奇數(shù)在圖中的什么地方，平方數(shù)代表的又是什么，從而對(duì)規(guī)律形成了更直觀的認(rèn)識(shí)，即每個(gè)大正方形中都隱藏著一個(gè)算式，1+3+5+…+（2n-1）=n的平方。像這樣把圖形與算式結(jié)合起來(lái)，更能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。

2.利用數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生感受極限的思想。在教學(xué)例2時(shí)，學(xué)生在計(jì)算時(shí)很容易發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律，即后一個(gè)加數(shù)是前一個(gè)的；和也有規(guī)律，即+=，++=，+++=……每次相加所得到和都等于1減去最后一個(gè)數(shù)，加數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，和越接近1。這些加數(shù)無(wú)限地加下去，最后的和無(wú)限接近于1，但這個(gè)“無(wú)限”接近于1的數(shù)到底是多少呢？“無(wú)限”的概念非常抽象，學(xué)生不容易理解，如果教師只是僅僅用舉例的方法求出等比數(shù)列的有限和，是很難證明無(wú)限多項(xiàng)相加的結(jié)果為1。此時(shí)教師可以出示一個(gè)圓、一條線段或者一個(gè)正方形表示單位“1”，讓學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義在圖上表示出這些加數(shù)，讓學(xué)生直觀地看到最終的結(jié)果是“1”，這樣一來(lái)，學(xué)生不僅能感受到“化數(shù)為形”的直觀、形象、簡(jiǎn)捷的特點(diǎn)，也比較容易理解當(dāng)一個(gè)數(shù)無(wú)限趨近于1時(shí)，其結(jié)果就是1，一個(gè)極其抽象的極限問(wèn)題，由于用圖形來(lái)解決，就變得十分簡(jiǎn)單了。

3.鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度去尋找規(guī)律。小學(xué)階段，雖然不要求寫出一個(gè)數(shù)列的通式，但可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法，利用圖形的規(guī)律，從不同的角度，用自己的語(yǔ)言描述出數(shù)列的通用模式。如，第109頁(yè)第1題，根據(jù)例1的結(jié)論，很容易得到第n個(gè)圖形中最外圍的小正方形數(shù)為：（2n+1）2-（2n-1）2，也可以從結(jié)果看到第一個(gè)圖最外圈有8個(gè)小正方形，第二個(gè)圖最外圈有8×2個(gè)小正方形，第三個(gè)圖最外圈有8×3個(gè)小正方形……通過(guò)推理，可知第n個(gè)圖最外圈就有8×n個(gè)小正方形，每一次都是在前一個(gè)圖的基礎(chǔ)上增加8個(gè)小正方形。還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：每次多的這8個(gè)小正方形都是怎么來(lái)的？使學(xué)生觀察到是由于每邊增加2個(gè)小正方形所產(chǎn)生的。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想和方法，可以將抽象的問(wèn)題具體化，把無(wú)形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利地、高效率地學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、智力的開(kāi)發(fā)、能力的增強(qiáng)，使學(xué)生學(xué)習(xí)收到事半功倍的效果。