“借形解數(shù)”：進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力

蔣碧云

幾何直觀在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)揮著非常重要的作用。它不但可以幫助學(xué)生理解和解決幾何問(wèn)題，而且可以用來(lái)描述和分析數(shù)與代數(shù)的問(wèn)題，使數(shù)與代數(shù)中一些抽象的問(wèn)題直觀化，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。數(shù)學(xué)家徐利治教授認(rèn)為：幾何直觀是借助于見(jiàn)到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。教材中有許多數(shù)與代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，可以借助幾何直觀，讓學(xué)生從全新的角度重建相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，展開(kāi)一系列具有想象力和創(chuàng)造力的探索活動(dòng)，意義非凡。現(xiàn)以“解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”為例，談?wù)勅绾巍敖栊谓鈹?shù)”：進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

一、將數(shù)轉(zhuǎn)譯成形，豐富直觀感知

幾何直觀是一種運(yùn)用圖形認(rèn)識(shí)事物的能力，或者說(shuō)是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方法。也就是通過(guò)幾何直觀的感知能夠建立起人對(duì)自身體驗(yàn)與外物體驗(yàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以將數(shù)轉(zhuǎn)譯成形，豐富直觀感知?！敖鉀Q問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化”的例題是一道特殊的分?jǐn)?shù)連加，學(xué)生嘗試計(jì)算時(shí)都會(huì)采用先通分再相加的方法，如何才能使學(xué)生想到把復(fù)雜的加法算式轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的減法來(lái)計(jì)算，是本題的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。教師可以利用此類(lèi)題目的特點(diǎn)，先讓學(xué)生從觀察算式入手，發(fā)現(xiàn)算式的特殊性，再出示更復(fù)雜的算式讓學(xué)生產(chǎn)生探索簡(jiǎn)單方法的需要，最后引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)的言語(yǔ)表征轉(zhuǎn)化成表象表征。在這里將數(shù)轉(zhuǎn)譯成圖形是解題的關(guān)鍵，教師要巧妙地讓學(xué)生把圖形和算式聯(lián)系起來(lái)想一想，結(jié)合圖形多角度探究簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。

出示例題：+++。

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

發(fā)現(xiàn)1：4個(gè)分?jǐn)?shù)連加，每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1；

發(fā)現(xiàn)2：分母是有規(guī)律排列的，依次是2、2×2、2×2×2、2×2×2×2；

發(fā)現(xiàn)3：合起來(lái)看，是的一半，是的一半，是的一半；

……

小結(jié)：像這樣從起，依次加上前一個(gè)分?jǐn)?shù)的一半的連加算式，你會(huì)計(jì)算嗎？

學(xué)生幾乎異口同聲：先通分再計(jì)算。

師：同學(xué)們，學(xué)得不錯(cuò)。你們其實(shí)已經(jīng)用上了一種解決問(wèn)題的策略。把異分母分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化成了同分母分?jǐn)?shù)加法，也就是先通分再相加。如果按加數(shù)的排列規(guī)律，再加上3個(gè)分?jǐn)?shù)，你們準(zhǔn)備怎么計(jì)算？

出示：++++++。

生：先通分再相加。

師：還是先通分再計(jì)算，那如果一直加到呢？還打算先通分再計(jì)算嗎？

生：不愿意。

師：為什么不愿意？

生：太麻煩了！老師是否有簡(jiǎn)便的算法呢？

師：既然是分?jǐn)?shù)連加，同學(xué)們還記得學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)可以怎樣得到嗎？

生：可以把正方形看作單位“1”，平均分成2份，涂色部分就占正方形的。（師根據(jù)學(xué)生的回答依次出示直觀圖）

再分別表示出、、，接著運(yùn)用動(dòng)畫(huà)效果疊加在一起。（如上圖）

師：圖中哪部分表示這些分?jǐn)?shù)的和？

生：所有涂色部分表示這些分?jǐn)?shù)的和。

師：把算式和圖形聯(lián)系起來(lái)想一想，這個(gè)加法算式能轉(zhuǎn)化成哪個(gè)算式來(lái)計(jì)算？

生：可以用正方形面積減去空白部分的面積，即+++=1-。

師：那“1”是指什么？“”又是指什么？

生：“1”是指整個(gè)正方形面積，“”是指空白部分的面積。從圖中我們可以看出，要求這些分?jǐn)?shù)的和，還可以用單位“1”減去空白部分，也就是用1-來(lái)計(jì)算。

二、喚醒已有認(rèn)知，加強(qiáng)直觀推理

直觀推理作為一種滲透力極強(qiáng)的思維形式，可以說(shuō)是數(shù)學(xué)直觀的精髓。教師要為學(xué)生創(chuàng)造主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀進(jìn)行分析、想象和推理，充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題過(guò)程中的作用，這是一種行之有效的發(fā)展學(xué)生思維的方法。就學(xué)生來(lái)說(shuō)，如果沒(méi)有轉(zhuǎn)化意識(shí)，一般不會(huì)主動(dòng)考慮把問(wèn)題由繁向簡(jiǎn)、由難向易地轉(zhuǎn)化；如果有轉(zhuǎn)化的愿望，但找不到轉(zhuǎn)化的具體方向，仍然不會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略。

如，教學(xué)練一練2：連續(xù)自然數(shù)相加。教師先出示一個(gè)梯形圖幫助學(xué)生理解轉(zhuǎn)化方法，利用這幅圖創(chuàng)設(shè)積極有趣的探究氛圍，喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知，利用直觀進(jìn)行推理，從而了解為什么可以這樣轉(zhuǎn)化。

出示梯形圖，讓學(xué)生說(shuō)信息。

師：請(qǐng)根據(jù)梯形圖說(shuō)說(shuō)你知道的信息。

生：第一層裝了6支，第二層裝了7支，第三層裝了8支，依此類(lèi)推，共裝了10層，筆架里一共有多少支鉛筆？

師：用加法計(jì)算怎樣列式？

生：6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。

師：這個(gè)加法算式有什么特點(diǎn)？

生：連續(xù)自然數(shù)相加。

師：是的，每?jī)蓚€(gè)數(shù)之間相差1，這樣的加法我們稱(chēng)它為連續(xù)自然數(shù)相加。

師：把梯形圖和算式聯(lián)系起來(lái)想一想，這個(gè)算式可以轉(zhuǎn)化成哪個(gè)算式來(lái)計(jì)算。

生：（6+15）×10÷2。

師：你根據(jù)什么想到的？

生：梯形的面積計(jì)算公式。

師：那我們就來(lái)回憶一下梯形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)的？

生：再來(lái)一個(gè)完全一樣的梯形筆架，兩個(gè)梯形筆架拼成了一個(gè)平行四邊形筆架。（如下圖）

師：現(xiàn)在你會(huì)借助這幅圖，解釋一下為什么可以這樣轉(zhuǎn)化嗎？

生：每層有21支鉛筆，共有這樣的10層，共有21×10=210（支），要求其中一個(gè)梯形筆架的鉛筆支數(shù)，再除以2就好了。

師歸納：你的推理能力真強(qiáng)，借助圖這個(gè)好幫手把連續(xù)自然數(shù)相加轉(zhuǎn)化成了相同數(shù)相加就可以用乘法來(lái)計(jì)算，轉(zhuǎn)化后的算式口算就可得出答案。

反思這道題的解答過(guò)程，我們可以提出：在幫助學(xué)生鞏固面積推導(dǎo)過(guò)程的同時(shí)，也鼓勵(lì)了學(xué)生借助直觀進(jìn)行觀察、比較、分析和歸納，展開(kāi)了有效的直觀推理，拓展了轉(zhuǎn)化意識(shí)。把連續(xù)自然數(shù)相加轉(zhuǎn)化成了相同數(shù)相加，非常簡(jiǎn)便。讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，獲得正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。

三、借助幾何圖形，探索數(shù)學(xué)規(guī)律

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：要有目的、有計(jì)劃地教給學(xué)生利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，鼓勵(lì)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中主動(dòng)運(yùn)用畫(huà)圖的策略，幫助學(xué)生不斷積累借助圖形直觀分析和解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。實(shí)踐證明，借助幾何直觀，可以促使學(xué)生更有成效地展開(kāi)數(shù)學(xué)思考，發(fā)現(xiàn)并歸納一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)律，使思維逐步轉(zhuǎn)向更高級(jí)、更抽象的層面。教師應(yīng)巧妙地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)算式自主發(fā)現(xiàn)有用的圖形，借助自己發(fā)現(xiàn)的圖形，展開(kāi)一系列有價(jià)值的思考，從而探索出數(shù)學(xué)規(guī)律。

如，練習(xí)題：1+3+5+7+9+11和1+3+5+7+9+11+13+15+

17+19。

學(xué)生嘗試練習(xí)，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)這樣轉(zhuǎn)化：1+3+5+7+9+11=（1+11）×5÷2，1+3+5+7+9+11+13+15+

17+19=（1+19）×10÷2，此時(shí)老師可根據(jù)題目的特征進(jìn)行啟發(fā)，是否還有更簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化方法，還要借助誰(shuí)？學(xué)生自然想到了借助圖，于是一個(gè)自主擺圖，針對(duì)性強(qiáng)的探索活動(dòng)開(kāi)始了。

師：圖在你們手上呢，請(qǐng)拿出那疊小正方形。先擺出1，再用藍(lán)色和橙色正方形紙擺出1+3，要求是：邊擺邊思考，根據(jù)擺出的圖形是否能把1+3轉(zhuǎn)化成別的算式呢？一般出現(xiàn)兩種擺法。

師：出現(xiàn)了2種方法，請(qǐng)同學(xué)們觀察，哪種擺法能找到轉(zhuǎn)化的靈感？

生：第2種。

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？這兩種擺法分別可以怎么計(jì)算小正方形的總個(gè)數(shù)？

生：因?yàn)楦鶕?jù)第2種擺出的正方形可以把“1+3”轉(zhuǎn)化成“2×2”，第1種擺出的圖形還是只能用“1+3”計(jì)算小正方形的總個(gè)數(shù)。

師：真了不起！接下來(lái)就要借助你們的圖形誕生新的轉(zhuǎn)化方法了！

小組合作完成。

擺一擺：請(qǐng)用小正方形擺出1+3+5的圖，并結(jié)合圖思考：1+3+5轉(zhuǎn)化？

想一想：試著想象小正方形擺出1+3+5+7的圖，并思考：1+3+5+7轉(zhuǎn)化？

議一議：從1開(kāi)始的幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加轉(zhuǎn)化？

匯報(bào)歸納：現(xiàn)在我們可以說(shuō)從1開(kāi)始的幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加還可以轉(zhuǎn)化為：個(gè)數(shù)×個(gè)數(shù)。

四、利用直觀表征，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)

利用直觀圖形表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境信息及其關(guān)系的理解，能夠幫助學(xué)生從整體上把握問(wèn)題，探究正確的解題思路，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。在解題過(guò)程中，學(xué)生借助示意圖或線段圖來(lái)表征問(wèn)題情境的成分和結(jié)構(gòu)，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)構(gòu)性的理解，為學(xué)生提供一些未經(jīng)解釋或形式轉(zhuǎn)換就可被察覺(jué)的有用信息，促進(jìn)問(wèn)題的解決。

如，練習(xí)十六中的第6題，可讓學(xué)生自主用直觀來(lái)表征本題的信息，達(dá)到理解單場(chǎng)淘汰制的目的，重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考更加簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。

出示練習(xí)：有8支足球隊(duì)參加比賽，比賽以單場(chǎng)淘汰制（即每場(chǎng)比賽淘汰一支球隊(duì)）進(jìn)行。一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽才能產(chǎn)生冠軍？

師：什么叫單場(chǎng)淘汰制？你能用自己方式表示嗎？

全班的表示方法大致有兩種。（如下圖）

生解釋左圖：兩支球隊(duì)，勝出一支，逐個(gè)比賽（師相應(yīng)出示）。

生解釋右圖：我也可以仿照例1的畫(huà)圖法，最后產(chǎn)生一個(gè)冠軍。

師：勝出4支，那淘汰了幾支隊(duì)伍？你能依此類(lèi)推，求出總場(chǎng)數(shù)嗎？

生：4+2+1=7（場(chǎng)）。

師：這兩幅圖幫助我們理解題意求出答案，觀察圖，你還想到其他的做法嗎？

生：8-1=7（場(chǎng)）。

師：說(shuō)說(shuō)你的理由。

生：根據(jù)圖，我們可以換個(gè)角度思考，把要求的問(wèn)題“一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽才能產(chǎn)生冠軍？”轉(zhuǎn)化成求“一共要淘汰多少支球隊(duì)才能產(chǎn)生冠軍？一共8支球隊(duì)，只產(chǎn)生一個(gè)冠軍，應(yīng)淘汰7支球隊(duì)。算式是8-1=7（場(chǎng)），所以一共要進(jìn)行7場(chǎng)比賽才能產(chǎn)生冠軍”。

這樣一個(gè)具有較強(qiáng)現(xiàn)實(shí)性和趣味性的問(wèn)題，不僅能使學(xué)生從全新的角度體驗(yàn)畫(huà)圖策略的作用，進(jìn)一步明確幾何直觀的優(yōu)勢(shì)，更有利于啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析生活現(xiàn)象，在解決問(wèn)題的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容都是針對(duì)具體問(wèn)題尋找合適的轉(zhuǎn)化方法，關(guān)鍵都在于能否準(zhǔn)確判斷向何處轉(zhuǎn)化以及怎樣實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化。這個(gè)關(guān)鍵就需借助幾何直觀來(lái)突破，學(xué)生在活動(dòng)中多次體會(huì)到幾何直觀帶來(lái)的好處，通過(guò)自主探究和合作交流，發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造了數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得了對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解，更讓我們看到了學(xué)生頭腦里的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”和“數(shù)學(xué)理解”。正如波利亞所說(shuō)：“圖形不僅是幾何題目的對(duì)象，而且對(duì)幾何一開(kāi)始沒(méi)什么關(guān)系的題目，圖形也是一種重要的幫手。”