數(shù)學(xué)問題解決應(yīng)辯證處理好四種關(guān)系

吉智深

（南通師范高等?？茖W(xué)校，江蘇 南通 226500)

我國新一輪數(shù)學(xué)課程改革吸收了問題解決的教育理念，把問題解決作為數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的重要組成部分，隨著教學(xué)實(shí)踐認(rèn)識的不斷深入，問題解決又成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種主要方式。然而，在數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中，由于沒有很好處理教學(xué)過程中問題背景的真實(shí)性與現(xiàn)實(shí)性等關(guān)系，制約著問題解決教學(xué)的正常實(shí)施，使其不能充分發(fā)揮有效作用。因此，廣大教師有必要意識到處理數(shù)學(xué)問題解決時(shí)存在的問題，辯證地處理好幾種關(guān)系，探尋其有效教學(xué)之道。

一、問題背景的真實(shí)性與現(xiàn)實(shí)性

目前，國內(nèi)對“問題解決”的概念眾說紛紜，沒有形成共識。PISA（國際學(xué)生評估項(xiàng)目的縮寫)對問題解決內(nèi)涵的界定較為清楚、全面、深刻，值得參考?！?003年P(guān)ISA測試的框架:數(shù)學(xué)、閱讀、科學(xué)和問題解決的知識與技巧》指導(dǎo)手冊中把問題解決能力定義為:“個(gè)人運(yùn)用認(rèn)知過程來面對并解決一個(gè)真實(shí)的、跨學(xué)科情境中問題的能力，在此情境中解決問題的辦法并不是一目了然的，而且可能用到的知識和技巧也不局限于數(shù)學(xué)、科學(xué)或閱讀等某個(gè)單一領(lǐng)域。”

從問題解決的定義我們可以看出：問題的背景必須是真實(shí)的。問題解決中的問題不是以教材中的材料為背景的，而是以學(xué)生在個(gè)人生活、工作以及社會中可能遇到的問題為背景的。為了體現(xiàn)問題背景的真實(shí)性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教材和教師在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)都想辦法把問題置于一個(gè)實(shí)際問題情境中，用實(shí)際問題的解決引入一些重要的數(shù)學(xué)概念知識和技能性知識。如教學(xué)分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識時(shí)，把分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)與切分蛋糕、分蘋果等現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來；把兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)問題和鋪瓷磚問題聯(lián)系起來；把小數(shù)的加法與超市商品的購買聯(lián)系起來。一些課題學(xué)習(xí)的背景也是與現(xiàn)實(shí)生活或者日常生活相聯(lián)系的。如華東師范大學(xué)出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材安排的課題：身份證號碼與學(xué)籍號、圖形與鑲嵌、心率與年齡、高度的測量等。高中數(shù)學(xué)教材和高考試題中一些問題的背景也都來自于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活。

如果片面和過分強(qiáng)調(diào)問題的背景必須源于現(xiàn)實(shí)生活，那么也會給問題解決教學(xué)帶來負(fù)面的影響，如會忽視知識的內(nèi)在聯(lián)系。如果從分蘋果這一背景出發(fā)開展分?jǐn)?shù)教學(xué)，忽視從數(shù)系擴(kuò)展的角度認(rèn)識分?jǐn)?shù)，那么就忽視了從數(shù)學(xué)內(nèi)部考察數(shù)系擴(kuò)展的動(dòng)力。尤其是到了小學(xué)中、高年級再強(qiáng)調(diào)“學(xué)校數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系”有時(shí)就顯得很膚淺。還有不考慮學(xué)生的實(shí)際，一些現(xiàn)實(shí)生活中的問題過早出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材或者數(shù)學(xué)教學(xué)上。一些教師認(rèn)為這樣做的理由是讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在生活中有著廣泛的應(yīng)用。殊不知，這樣做的后果不但不會讓學(xué)生體會生活中處處有數(shù)學(xué)，反而會加大他們學(xué)習(xí)的難度，讓他們覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有任何興趣可言。事實(shí)上，在學(xué)校這樣一個(gè)特殊的環(huán)境中，學(xué)生們往往會有意識或無意識地忽視各種現(xiàn)實(shí)的考慮，問題背景的現(xiàn)實(shí)性未必能達(dá)到學(xué)校數(shù)學(xué)更接近實(shí)際生活的目標(biāo)。[1]

其實(shí)，關(guān)于數(shù)學(xué)與真實(shí)性之間的關(guān)系，著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾早就有過精辟的論斷。他在《數(shù)學(xué)教育再探》一書中指出：“真實(shí)性是歷史地、文化地、依賴環(huán)境地、個(gè)別地和主觀地確定的?！彼€舉例說明：“不管經(jīng)歷多長時(shí)間的抵制，……，負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)以及它們的運(yùn)算已經(jīng)成為數(shù)學(xué)家的事實(shí)，……，如今它們屬于已經(jīng)學(xué)過一些數(shù)學(xué)的大多數(shù)人的真實(shí)性?！盵2]而且，以虛數(shù)為背景建立了復(fù)變數(shù)（就是x+yi形式的變數(shù)）函數(shù)，這種所謂“虛”變數(shù)的“虛”函數(shù)的理論也不是虛假的，它解決了許多技術(shù)問題，如茄可夫斯基關(guān)于機(jī)翼上升的基本定理正好就是以這個(gè)理論作為工具來證明的，這個(gè)理論在解決堤壩滲水問題時(shí)也顯示了它的用途。[3]

關(guān)于問題背景的真實(shí)性與現(xiàn)實(shí)性之間的關(guān)系，弗賴登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》一書中指出問題的背景應(yīng)是“原始的現(xiàn)實(shí)”，“數(shù)學(xué)化未必要從一種接近數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)開始，而應(yīng)從一種我所說的原始的現(xiàn)實(shí)開始”。為了幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)化，弗賴登塔爾把豐富的問題背景分為“場所”“故事”“設(shè)計(jì)”“主題”等四種現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域，這些理論值得我們好好研究。

關(guān)于問題背景真實(shí)性與現(xiàn)實(shí)性討論的目的就是：讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角觀察世界，用數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實(shí)問題。我們要在觀念的轉(zhuǎn)變上多花時(shí)間，讓學(xué)生清楚地認(rèn)知到數(shù)學(xué)和他們的實(shí)際生活密切相關(guān)，并且是一種十分有效的工具。

二、解題所需的認(rèn)知與元認(rèn)知

從前面問題解決的內(nèi)涵，我們知道問題解決就是綜合地、創(chuàng)造性地應(yīng)用已有知識去解決那種非單純練習(xí)題式的問題。當(dāng)今社會是一個(gè)多變的信息社會，人們只有具備較強(qiáng)的問題解決能力才能更好適應(yīng)時(shí)代的要求。如何提高人們解決問題的能力就變成了一個(gè)重要的任務(wù)，而解決問題的實(shí)踐是提高人們解決問題能力的重要方式。正因如此，問題解決也就成為認(rèn)知心理學(xué)研究的中心課題。

現(xiàn)代心理學(xué)關(guān)于“問題解決”研究的最重要的結(jié)果是：在解決問題過程中，同時(shí)存在兩種不同的思維過程，即具體的認(rèn)知過程和更高層次的元認(rèn)知過程。與知識（包括“事實(shí)性知識”和“程序性知識”）和認(rèn)知策略（學(xué)習(xí)者加工信息的方法和技術(shù)）一樣，元認(rèn)知水平的高低也是決定人們解決問題能力的一個(gè)重要因素。何為“元認(rèn)知”？在眾多元認(rèn)知概念的界定中，以弗萊維爾的定義最具代表性，他認(rèn)為元認(rèn)知是個(gè)人對自己認(rèn)知系統(tǒng)的內(nèi)省知識，即對認(rèn)知的認(rèn)知。為什么元認(rèn)知在問題解決時(shí)有非常重要的作用？講一個(gè)故事：兩個(gè)男孩在樹林里，第一個(gè)男孩是教師和父母眼里的聰明孩子，成績優(yōu)秀，第二個(gè)男孩幾乎沒有人認(rèn)為他聰明，成績一般，但人們會說他精明或者機(jī)靈。在林中漫步的時(shí)候，他們遇到了一個(gè)大麻煩：一只饑餓的大灰熊直接朝向他們沖過來。第一個(gè)男孩計(jì)算出灰熊將在17.3秒內(nèi)趕上他們，嚇得兩腿發(fā)抖。這時(shí)他回頭看到第二個(gè)孩子正在平靜地脫下登山鞋，換上運(yùn)動(dòng)鞋。第一個(gè)孩子叫道：“你瘋了，我們絕不會跑過熊的！”第二個(gè)孩子回答：“沒錯(cuò)，但我只要跑過你就行了！”[4]雖然這個(gè)故事是虛擬的，但可以看出元認(rèn)知（自我意識、自我評價(jià)和自我調(diào)整）在解決問題時(shí)所起到的重要作用。

根據(jù)前面元認(rèn)知的定義，我們相應(yīng)得到數(shù)學(xué)元認(rèn)知的定義：解題者對于自身所從事的解題活動(dòng)的自我意識、自我分析和自我調(diào)整。一個(gè)成功的解題者應(yīng)該具備以下素質(zhì)：

1.在具體采用某種解題方法和解題策略前會對各種可能進(jìn)行仔細(xì)地考慮，不會不加思索貿(mào)然采用某一種方法或者策略，而是認(rèn)真分析。就像波利亞在《怎樣解題》中所說的那樣：“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？”“你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？”“看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題?！薄斑@里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎?你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？”……

2.在整個(gè)解題過程中能做到“心中有數(shù)”，清楚自己在做什么和為什么要這樣做，要能對眼前的處境做出清醒的評估，并且能做出必要的調(diào)整。雖然教材中介紹了許多解題策略，但在解題過程中還需要分析推理來調(diào)整解題的思路，比如分析法，因?yàn)榉治龇ㄊ沟媒忸}始終處于一定的目的支配下，按照一定的方向，沿著合理的、簡捷的路徑進(jìn)行，確保了解題活動(dòng)的有效開展。

3.成功地解決問題以后，他們能自覺地對所進(jìn)行的工作進(jìn)行回顧，看看解題結(jié)果是否正確，特別是考慮是否有更有效的解題方法。不少學(xué)生在問題解答完后，就棄之一旁或者急忙去做別的題目，波利亞對此非常惋惜，他說這就“錯(cuò)過了解題的一個(gè)重要而又教益的方面”。有這樣一個(gè)典型的基本比例問題：4千克蘋果價(jià)值32元。7千克蘋果價(jià)值多少元？有的學(xué)生直接寫出比例。當(dāng)學(xué)生遇到另一個(gè)問題：7個(gè)工人在28天內(nèi)完成某件工作。5個(gè)工人要幾天才能完成此工作？學(xué)生斷定這也是比例問題，并寫出，求得x=20。很顯然這個(gè)答案是錯(cuò)誤的，只要解題者回顧一下，7個(gè)工人在28天內(nèi)完成這件工作，工人少了，卻在更少的時(shí)間內(nèi)完成該工作，這樣的答案肯定不合理。通過回顧與反思，學(xué)生完成認(rèn)識結(jié)構(gòu)的重建與完善。

我們強(qiáng)調(diào)元認(rèn)知在解題活動(dòng)中的重要性，并不是忽視認(rèn)知在解題中的主要作用。因?yàn)椋J(rèn)知活動(dòng)是元認(rèn)知發(fā)生的基礎(chǔ)，離開具體的認(rèn)知活動(dòng)，元認(rèn)知就成了無源之水、無本之木，學(xué)生不容易理解，也不容易內(nèi)化。能力培養(yǎng)寓于知識傳授之中，認(rèn)知活動(dòng)是解題學(xué)習(xí)的主要方面，只有適時(shí)、適當(dāng)?shù)脑J(rèn)知指導(dǎo)才能真正促進(jìn)解題活動(dòng)的有效展開。

三、建構(gòu)活動(dòng)的個(gè)體性與社會性

建構(gòu)主義教學(xué)觀認(rèn)為：任何認(rèn)知活動(dòng)都是主體主動(dòng)的構(gòu)建，因此，即使就同一數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，不同的個(gè)體也完全有可能因?yàn)橹R背景和思維方式的差異而具有不同的思維過程，也就是表現(xiàn)出個(gè)體的差異性和特殊性。

數(shù)學(xué)問題解決也是如此，當(dāng)學(xué)生們面對一個(gè)前所未遇的問題時(shí)，每一個(gè)人可能各自有他們的解題方法和思考策略，這體現(xiàn)了建構(gòu)活動(dòng)的個(gè)體性。面對問題：每2個(gè)人握手一次，不能重復(fù)，6個(gè)人握手幾次？8個(gè)人呢？教材直接暗示“從簡單開始”這種策略，先考慮2個(gè)人，握手幾次？再增加1個(gè)人，握手增加幾次?......如果沒有這種暗示，學(xué)生們會怎樣做呢？他們每一個(gè)人都可能有一種或者多種方法。如：要解決6個(gè)人一共握了幾次手？我們不妨就讓每個(gè)小組6個(gè)人做一次握手游戲，在歡樂的氣氛中很快就得到結(jié)果：15。或者直接找出6個(gè)人兩兩握一次手的次數(shù)與6的關(guān)系，6個(gè)人，每人與其余5人握手5次，6個(gè)人一共握了5×6，因?yàn)槊績蓚€(gè)人的握手都算了兩次，所以要把5×6除以2，即得結(jié)果：。最麻煩的一種方法是把6個(gè)人兩兩握手的情況一一寫下來，為了方便，學(xué)生會想到用字母或其他符號表示6個(gè)人，不重不漏寫出所有握手的情況，最后數(shù)一下就行了。對第2個(gè)問題，如果教材或者教師直接暗示“從簡單開始”這種策略是不妥的，有些學(xué)生可能按照解決第1個(gè)問題的方法來完成，也有些學(xué)生找到第一問答案的規(guī)律，直接得出結(jié)果。從這次解決問題的過程中，我們看到個(gè)體在解決問題時(shí)的思維過程，更應(yīng)看到個(gè)體的創(chuàng)造性。這些方法和策略之間沒有“好”和“壞”、“優(yōu)”和“劣”之分。

我們在充分肯定認(rèn)知活動(dòng)個(gè)體性質(zhì)的同時(shí)，又要清楚地看到認(rèn)知并非一種純粹的個(gè)人行為，是必定在一定的社會環(huán)境中進(jìn)行的。學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)是在學(xué)校這樣一個(gè)特定的環(huán)境中，并且是在教師的直接指導(dǎo)下進(jìn)行的，而且這又是一種文化繼承的行為，這都決定了認(rèn)知活動(dòng)具有“社會性質(zhì)”。也就是說，學(xué)生的學(xué)習(xí)是在學(xué)校這一環(huán)境中開展的，當(dāng)然離不開學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師的相互作用與相互影響，更離不開教師的導(dǎo)向作用。另外，歷史上人們得到的具有個(gè)性化的數(shù)學(xué)成果并不是都被普遍接受的，只有那些為人們所一致接受的數(shù)學(xué)概念、方法、問題等才能真正成為數(shù)學(xué)的成分。在鄭毓信等編寫的著作《認(rèn)知科學(xué)、建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育》一書中提出了評價(jià)這種社會行為的幾個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)：邏輯標(biāo)準(zhǔn)、美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)、經(jīng)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)等。比如分?jǐn)?shù)除法教學(xué)時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“通分法”，為什么教材和教師只要求學(xué)生掌握“顛倒法”，事實(shí)上，歷史上也出現(xiàn)了有“通分法”“顛倒法”多種方法等，為什么其他方法最終都被人們所拋棄，而唯獨(dú)留下“顛倒法”，因?yàn)閿?shù)學(xué)與一般的自然學(xué)科相比，有其特殊性，那就是數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，而且這種抽象不僅僅著眼于內(nèi)容的抽象，更注意到方法的抽象性。正如皮亞杰曾指出：“在更高的層次上對已有的東西重新進(jìn)行構(gòu)建，并使前者成為一個(gè)更大結(jié)構(gòu)的一個(gè)部分。這樣，我們最終就獲得了一個(gè)無限豐富，而又層次分明、井然有序的數(shù)學(xué)世界。”[5]

我們在問題解決教學(xué)中既不能抹殺每個(gè)個(gè)體之間存在的特殊性與差異性，更不能因此否認(rèn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位，因?yàn)椋瑢W(xué)習(xí)最終必須通過每個(gè)個(gè)體相對獨(dú)立的建構(gòu)活動(dòng)才能完成。此外，我們還應(yīng)從多角度理解學(xué)習(xí)活動(dòng)的社會性質(zhì)，從數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展角度審視和評價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)，進(jìn)而讓學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀。

四、問題解決的重要性與局限性

問題解決對于數(shù)學(xué)教育的重要性不言而喻，它是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要方式。通過問題解決讓學(xué)生們意識到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系。解決問題的實(shí)踐是提高人們解決問題能力、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要方式。正如波利亞所指出的，“問題解決”事實(shí)上可被看成人類全面活動(dòng)的一種基本形式，是人類智力的集中體現(xiàn)。解題的策略和方法更有著廣泛的應(yīng)用。波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書寫道：“解題是智力的特殊成就，而智力乃是人類的天賦，正是繞過障礙，在眼前無捷徑的情況下迂回的能力使聰明的動(dòng)物高出愚笨的動(dòng)物，并使聰明的人高出愚笨的人。”[6]

問題解決了（包括肯定的解答和否定的解答），這能否被看成問題解決的最終目標(biāo)呢？如果僅僅著眼于數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，也許可以做出肯定的回答，如果我們著眼于更大的范圍，特別考慮數(shù)學(xué)的理論研究，我們應(yīng)該做出否定的回答。因?yàn)閿?shù)學(xué)家們總是不滿足于某些具體結(jié)果和結(jié)論的獲得，總希望能有更深入的理解，這就是數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)，而這也表明問題解決存在著一定的局限性。事實(shí)上，作為首先提出“問題解決”口號的美國學(xué)者也開始反思“問題解決”教學(xué)與評估的得失，提出了“數(shù)學(xué)地思維”等更全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的新觀點(diǎn)。

數(shù)學(xué)家之所以不滿足問題解決的結(jié)果，因?yàn)樗麄冎皇窍Ｍㄟ^新的研究去發(fā)展和深化，以達(dá)到更大的普遍性、更高層次的和諧性。比如有這樣一個(gè)問題：如果一個(gè)水龍頭用a小時(shí)把水池灌滿，另一個(gè)水龍頭用b小時(shí)灌滿另一個(gè)相同的水池。如果同時(shí)打開這兩個(gè)水龍頭，問多長時(shí)間把這兩個(gè)水池灌滿？解答的過程：1小時(shí)內(nèi)，第一個(gè)水龍頭灌池子的，第二個(gè)灌池子的，它們在1小時(shí)內(nèi)一共灌了，一個(gè)水池在小時(shí)內(nèi)灌滿，灌滿這樣的兩個(gè)水池所需要的時(shí)間為式子。數(shù)學(xué)家不滿足于問題的具體解決，他們構(gòu)造了這一數(shù)學(xué)模型，叫作a和b的調(diào)和平均數(shù)，并且發(fā)現(xiàn)調(diào)和平均數(shù)不僅僅適用于灌水問題，它還適用于解決等距離平均速度問題、等溶質(zhì)增減溶劑問題、等發(fā)車前后過車問題等。數(shù)學(xué)家還構(gòu)造了兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)，并進(jìn)一步研究了這幾種模型之間的關(guān)系。

德福林在《數(shù)學(xué)的語言》一書指出，“在最近大約三十年間，一個(gè)為大部分?jǐn)?shù)學(xué)家所同意的有關(guān)數(shù)學(xué)的定義，才終于出現(xiàn)了：數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)”[7]。當(dāng)然有些模型不是從現(xiàn)實(shí)世界抽象出來的，而是在數(shù)學(xué)內(nèi)部以已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)概念和理論為基礎(chǔ)定義出來的。比如“非歐幾何”與“四元數(shù)”。

問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方式，但不是唯一方式。如果非常有必要用問題解決這種方式來開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，當(dāng)然我們贊成，如果沒有必要，我們是不是應(yīng)該考慮從讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)的思考這一角度開展數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)到知識的同時(shí)，看到數(shù)學(xué)之間的緊密聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)思想的偉大力量，理解數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)。

隨著數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)問題解決應(yīng)辯證處理好問題背景的真實(shí)性與現(xiàn)實(shí)性之間的關(guān)系，方能使學(xué)生看到生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系、體會到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用；辯證處理好解題所需的認(rèn)知與元認(rèn)知，方能使學(xué)生學(xué)會解題，學(xué)會回顧與反思自己的解題活動(dòng)；辯證處理好建構(gòu)活動(dòng)的個(gè)體性與社會性，方能發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，也更能了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)；辯證處理好問題解決的優(yōu)越性與局限性，方能使學(xué)生提高他們問題解決的能力，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維。只有辯證處理好這四種關(guān)系，才能真正發(fā)揮問題解決在數(shù)學(xué)教育中的作用，讓學(xué)生更好適應(yīng)今后的學(xué)習(xí)與工作?！?/p>

[1]鄭毓信，梁貫成.認(rèn)知科學(xué)建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育[M].上海:上海教育出版社,2002.

[2]弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探[M].劉意竹,譯.上海:上海教育出版社，1999.

[3]亞歷山大洛夫A D，等.數(shù)學(xué)——它的內(nèi)容，方法和意義[M].孫小禮，趙孟養(yǎng)，裘光明，等，譯.北京：科學(xué)出版社，2012.

[4]羅伯特·斯騰伯格.思維教學(xué)——培養(yǎng)聰明的學(xué)習(xí)者[M].趙海燕，譯.北京：中國輕工業(yè)出版社，2001.

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