落實“三個理解”，提升“教學自然”

石樹偉

（揚州市廣陵區(qū)教育局教研室，江蘇 揚州 225006）

一、問題的提出

當前，數(shù)學教學生硬不自然的現(xiàn)象廣泛存在，如：課堂教學目標大而無當，三維目標空泛不具體，目標制訂的貼標簽導致教學實施的貼標簽；每章起始課教學沒有從宏觀到微觀的自然過渡，“直入主題”零碎教、零碎學，無系統(tǒng)思維和整體意識；概念教學不經(jīng)歷概念形成過程，“一個定義，三項注意”式的教學盛行；定理法則教學過度牽引假發(fā)現(xiàn)，學生做得到但想不到；解題教學缺少獨立思考和解法自然生成過程分析，搞“題型+技巧”式的機械模仿訓練等。

數(shù)學教學生硬不自然，會導致數(shù)學教學缺少一以貫之的邏輯思考和核心數(shù)學思想的感悟，使學生缺乏問題意識，不僅不利于學生數(shù)學學習興趣和內部學習動機的激發(fā)，也不利于學生數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。因此，數(shù)學教學須提升“教學自然”。

二、“三個理解”是“教學自然”的必然要求

為促進數(shù)學教師的專業(yè)發(fā)展，章建躍教授提出了“三個理解”，即理解數(shù)學，理解學生，理解教學。

理解數(shù)學，理解學生，理解教學是數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的三大基石。[1]理解數(shù)學，即對數(shù)學知識知本質、會例釋、善聯(lián)系，把握數(shù)學知識的邏輯體系和結構，深刻認識蘊含其中的數(shù)學思想方法和價值觀資源；理解學生，即認識學生數(shù)學學習的思維特征和認知規(guī)律，了解學生的認知和能力基礎及學習數(shù)學難點知識的思維障礙等；理解教學，即掌握數(shù)學知識的教學表達、數(shù)學教學的基本原則和規(guī)律等。其中，理解數(shù)學是“三個理解”的基礎，因為“吃什么永遠比怎么吃更重要，教什么永遠比怎么教更重要”，“明白之人使人明白，想得清楚才能講得明白”，而且“有關學科知識的教學法存在于學科知識和學科之中”。

數(shù)學教學生硬不自然的原因歸根結底有三方面：一是教學不符合知識發(fā)生發(fā)展的邏輯線索，理解數(shù)學不夠；二是不了解和遵循學生的需求及認知規(guī)律，理解學生不夠；三是違背數(shù)學教學的基本原則和規(guī)律，理解教學不夠。針對上述存在問題及原因，數(shù)學教學必須重視并落實“三個理解”，即理解數(shù)學，理解學生，理解教學。

案例1乘法公式的探究設計

方案一：引導學生用兩種方法計算圖形面積引入乘法公式，再用多項式乘法予以證明；

方案二：引導學生從多項式乘法(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd探究特例引入乘法公式，再嘗試自主構造圖形形成多元理解。

【案例評析】方案一沿襲常見的用兩種方法計算圖形面積引入乘法公式，學生會感到圖形來得突兀，會生發(fā)“怎么知道計算這個圖形的面積就能得到乘法公式”的疑問，學生做得到但想不到，公式教學就顯得不自然。其實，乘法公式的知識生長點是多項式乘法，多項式乘法(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，當a=c，b=－d時即平方差公式，當a=c，b=d時即完全平方公式。方案二引導學生在多項式乘法基礎上探究特例，體現(xiàn)了從一般到特殊的思想，切合知識發(fā)生發(fā)展的內在邏輯線索，符合學生的認知規(guī)律，同時也教給了學生“考察特例”這一數(shù)學研究的“基本套路”。探索公式時學生獨立自主尋找特例，探究空間大，是真探究，真實的才是自然的。[2]案例充分說明，“三個理解”是“教學自然”的必然要求。

三、“三個理解”在“教學自然”中的落實

針對數(shù)學教學中重要且教學生硬現(xiàn)象多發(fā)環(huán)節(jié)，下面擬從目標制訂、起始教學、概念教學、性質教學、解題教學五方面具體分析如何落實“三個理解”，提升“教學自然”。

1.理解內容基礎上的教學目標制訂

進入新課程改革以來，課堂教學目標較多地沿用本是課程目標的三維目標形式分別闡述，既關注顯性目標，也關注隱性目標。但缺點就是不自然：人為割裂三維目標之間的聯(lián)系，沒有根據(jù)具體內容特點制訂過程與方法、情感態(tài)度與價值觀目標，對教學的定向作用不充分；貼標簽，有些關于過程與方法、情感態(tài)度與價值觀的目標放到任何課題都適用。

課堂教學目標的制訂應以正確理解內容為基礎[3]，聚焦數(shù)學知識和技能、數(shù)學思維能力、理性精神，準確把握教學內容中過程與方法、情感態(tài)度與價值觀的適切滲透點和結合點，以知識、技能、方法為載體，在過程中滲透情感態(tài)度價值觀教育。有了目標的可行才有教學的自然。

案例2“代數(shù)式的值”教學目標制訂

內容理解：“代數(shù)式的值”其實是一個“錯誤”概念或中間“過渡”概念，如不能籠統(tǒng)地說“代數(shù)式x+1的值是1”，正確的說法是“當x=0時，代數(shù)式x+1的值是1”，代數(shù)式的值隨字母取值的確定而唯一確定。因此，代數(shù)式的本質是函數(shù)，代數(shù)式的值即函數(shù)值。

依據(jù)以上內容理解，可以制訂如下“代數(shù)式的值”的教學目標：

（1）了解代數(shù)式的值的意義，會計算代數(shù)式的值；

（2）通過代入法求值培養(yǎng)學生良好的學習習慣和品質，提高運算能力；

（3）探索字母取值與代數(shù)式的值的變化對應關系，體會感悟函數(shù)思想。

【案例評析】上述教學目標沒有將三維目標人為割裂，而是結合具體的知識技能目標闡述過程與方法、情感態(tài)度與價值觀目標，三維目標有機地糅合在了一起，自然、具體、可操作。

2.滲透系統(tǒng)思維的起始教學

我國數(shù)學教材的編寫思路經(jīng)歷了由“部分—部分—整體”到“整體—部分—整體”的轉變，數(shù)學教學的思路也應做相應的調整，重視新增的章節(jié)引言內容，遵循學生認識事物從宏觀到微觀、最后再回到宏觀的一般規(guī)律，上好每章起始課，讓數(shù)學教學更加自然。

數(shù)學研究的基本套路是“定義概念——推導性質——建立聯(lián)系——實踐應用”，即先從數(shù)與形的角度抽象事物的本質屬性、定義概念，從而明確數(shù)學對象；探索對象的要素與要素、要素與環(huán)境之間的關系和相互作用而獲得性質；建立相關知識的聯(lián)系而形成知識體系；應用所得知識解決數(shù)學內外的問題，并深化認識、拓展新知。加強基本套路教學的重要載體就是每章起始課教學，主要“技術”是加強“先行組織者”的使用。每章起始課教學要滲透系統(tǒng)思維，運用推理思想，通過類比讓學生勾畫本章知識的研究路線圖，整體把握本章的知識結構，從而體現(xiàn)結構性原則的要求，避免學習的盲目性，增強學習的預見性與主動性，為學生解決如何學的問題。

案例3“分式”章起始課中先行組織者的兩次使用[4]

（1）課始問題與引入環(huán)節(jié)（分式概念學習前）：

問題：從小學到現(xiàn)在，數(shù)系經(jīng)歷了一個怎樣的擴張過程？用字母表示數(shù)就有了代數(shù)式，我們已經(jīng)學習了哪些種類的代數(shù)式？類似數(shù)系請展望一下代數(shù)式未來的擴張方向。

師生共同回顧、展望數(shù)與式的擴張歷程，逐步形成如圖1所示的板書。

（2）課尾小結與思考環(huán)節(jié)（分式概念學習后）：

問題：類比分數(shù)，設想分式將要研究哪些內容；再類比整式，設想分式將要研究哪些內容。嘗試展望一下分式研究的路線圖。

圖1 數(shù)與式知識結構展望

教師引導學生分別類比分數(shù)和整式，展望分式研究的內容，逐步投影呈現(xiàn)圖2、圖3內容，共同“繪制”分式研究的路線圖：分式概念→分式基本性質→分式運算→分式方程。

【案例評析】上述“分式”先行組織者的使用有利于知識結構的建構和基本套路的滲透，既有向外——把分式置于“數(shù)與式”整體中的宏觀知識結構，利于學生在一定的知識體系中更好地理解各部分知識；也有向內——展望分式研究內容的微觀知識結構，利于學生對本章的研究脈絡和知識框架有一個整體的認識，使他們在后續(xù)學習中能“見木見林”。

3.用歸納式進行概念教學

李邦河院士指出：“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”“一個定義，三項注意，幾道例題，大量練習”式的、以解題教學代替概念教學的做法是舍本逐末，因為沒有讓學生經(jīng)歷概念的形成過程，所以概念的獲得不自然，學生對概念的本質屬性及概念形成過程中蘊含的數(shù)學思想方法認識不到位，導致“數(shù)學育人”的目標落空。

概念教學應采取歸納式，一般包括以下五個基本環(huán)節(jié)：（1）概念探究，即以豐富、典型實例為背景，探究分析概念的本質屬性；（2）概念歸納，即下定義；（3）概念深化，即對概念進行多角度的辨析，揭示概念的內涵和外延；（4）概念應用，即應用概念解決一些簡單的問題以鞏固概念；（5）概念聯(lián)結，即構建概念的表征體系，并將獲得的概念與相關的概念廣泛聯(lián)系。其核心是概括：將凝結在數(shù)學概念中的數(shù)學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性，歸納得出數(shù)學概念。［5］概括是學生掌握概念的前提，是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎。

案例4二次函數(shù)的概念教學［6］

引例：六道由生活實例構造函數(shù)關系式的填空題，此處略。（學生先獨立思考后匯報交流）

圖2 分式分數(shù)研究內容比較

圖3 分式整式研究內容比較

問題1：由引例我們得到六個函數(shù)關系式：①s=；⑤請你將上述六個函數(shù)關系式分分類，你分類的標準是什么？

問題2：一次函數(shù)（①③）一般形式是什么？上述一次函數(shù)都符合一般形式嗎？反比例函數(shù)（⑤）一般形式是什么？

問題3：上述新函數(shù)的關系式（②④⑥）有什么共同特征？你能給他們起一個名稱嗎？能不能用一個一般形式表示這種函數(shù)？（通過問題1—問題3的師生互動交流，形成二次函數(shù)的相關概念并板書）

問題4：判斷下列函數(shù)是否是二次函數(shù)，若是請分別說出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項（具體函數(shù)表達式略）。

問題5：若函數(shù)y=(m+1)xm2-m+3是二次函數(shù),求m的值。（問題4—問題5均先讓學生獨立嘗試練習后匯報交流，最后反思小結二次函數(shù)概念的注意點）

【案例評析】由實例構造函數(shù)關系式并分類的過程就是分析、尋找、歸納共同本質屬性的過程，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)嘗試定義二次函數(shù)，讓學生經(jīng)歷概念的抽象概括過程。后續(xù)的概念辨析和應用有利于強化學生對概念的理解。

4.“做到更要想到”的性質探究教學

性質教學不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，這已成為大家的共識。為此，教師常常強令學生按預設的程序操作探究，猶如“把學生塞進公共汽車并美其名曰學生自己來到了目的地”。其實，這樣的性質教學是不自然的，學生常會生發(fā)“怎么想到研究這一方面的性質的”“怎么想到這樣做就能發(fā)現(xiàn)這個性質的”等疑問。傅種孫先生“幾何之務不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然”的思想說明數(shù)學理解有三個遞進的層次：知其然→知其所以然→知何由以知其所以然。性質教學要“惑學生之所惑”，滿足學生需求，努力達到最高層次，力求讓學生“不僅做得到而且想得到”。

性質教學要“知何由以知其所以然”，就要了解什么叫性質。性質指事物內部穩(wěn)定的聯(lián)系，幾何性質，具體說就是幾何對象組成要素、相關要素之間確定的關系。［7］如三角形的內角和為180°、兩邊之和大于第三邊等性質是三角形的組成要素——邊、角之間確定的關系；三角形的外角等于不相鄰兩內角的和、三條高交于一點、等腰三角形三線合一等性質是三角形的相關要素——外角、高、中線、角平分線之間確定的關系。

案例5平行四邊形性質的探究

先行組織者：師生共同回憶三角形的研究歷程：三角形的概念→三角形的性質和判定→三角形的特例（“角”為標準的直角三角形，“邊”為標準的等腰三角形）。一般三角形的性質有哪些，是從哪些方面來研究的？（如三角形的內角和為180°等，這些性質都是從三角形的組成要素、相關要素的數(shù)量和位置關系上來研究的）

問題1：我們已經(jīng)學習了平行四邊形的概念，你認為下面將研究平行四邊形的哪些問題？（平行四邊形的性質與判定、特殊平行四邊形及其性質與判定）特殊平行四邊形可能有哪些？

問題2：我們先來研究平行四邊形的性質，你認為該如何研究，為什么？（平行四邊形的組成要素和相關要素有邊、角、對角線，因此可以從邊、角、對角線角度研究它的性質）

問題3：前面研究過一般四邊形，你有何研究經(jīng)驗？（將四邊形轉化為三角形）根據(jù)這些經(jīng)驗，請嘗試研究平行四邊形的性質。

【案例評析】平行四邊形性質的探究，過去常常直接指令學生按步驟操作，依次歸納得出關于邊、角、對角線的性質。而本案例充分發(fā)揮先行組織者的引導作用，讓學生自己想到從邊、角、對角線的角度探究平行四邊形的性質，探究空間大，是真正的自主探究。同時，問題1有利于初步構建平行四邊形的知識結構，培養(yǎng)學生的系統(tǒng)思維。

5.追求解法自然生成的解題教學

當前解題教學過于注重題型歸類和解題技巧，通性通法重視不夠，思想方法提煉不到位，特別是解題思路的自然生成分析不夠，讓學生產(chǎn)生解法的獲得是“天才的靈機一動”“可遇而不可求的錯覺”，導致解題教學不自然，學生會做（模仿）不會想。

解題教學中教師應了解學生的思維路徑和思維盲點，挖掘解題蘊含的思想方法和思維策略，重視解題思路的自然生成分析。應著重抓住以下三個關鍵：一是要給學生充分的獨立思考嘗試的機會，學生思考了才會有自己的想法，后續(xù)的匯報交流才是有源之水、有本之木。二是要給學生匯報交流的機會，既要有交流順利的“坦途”，適時追問“你是怎么想到的”，也要有交流經(jīng)歷的“曲折”，及時追問“碰壁后你是如何轉向的”。三是要給學生回顧反思的機會，回顧解決問題的思維過程，反思解決問題的思路是怎么產(chǎn)生的，關鍵是什么，遇到了哪些困難，是如何克服這些困難的，積累數(shù)學思維活動經(jīng)驗；反思解題過程中蘊含的數(shù)學思想方法，總結解題規(guī)律和策略，將解題由“個”的階段“類化”上升至“類”的階段，感悟數(shù)學基本思想。

案例6解方程的解題教學

步驟1：獨立嘗試。學生嘗試解方程。

步驟2：匯報交流。學生匯報展示解題過程，教師適時追問：每一步干什么？依據(jù)是什么？（歸納解方程的一般步驟，理解每一步的運算依據(jù)）你是怎么想到這樣做的，或為什么要這樣做？（解方程的最終目標是得到“x=a”的形式，緊盯目標實施變形）

步驟3：回顧反思。解方程的過程體現(xiàn)了什么思維策略和數(shù)學思想？（目標意識和轉化思想：把原方程轉化為“x=a”的形式）

【案例評析】一般解方程教學的重點是讓學生熟練掌握方程的解法步驟，而這里解方程教學的重點是讓學生理解方程解法的自然由來，體會目標意識和轉化思想的應用。轉化思想是解方程的根本指導思想，應用范圍廣，可遷移應用至解其他類型的方程（組）及不等式。▲

[1][5]章建躍.中學數(shù)學課改的十個論題[J]中學數(shù)學教學參考（中旬），2010（1/2）：3-6.

[2]石樹偉.數(shù)學課堂教學立意的“層次”“關系”及“提升”——由“完全平方公式”同課異構引發(fā)的思考[J].數(shù)學教育學報，2013（1）：74-76.

[3]章建躍.探究教學規(guī)律 造就教學名師[J].中國數(shù)學教育，2011（1/2）：5-10.

[4]石樹偉.揭示數(shù)學本質：變“單薄”為“厚重”[J].數(shù)學通報，2015（7）：30-32，35.

[6]石樹偉.從慢生活到數(shù)學慢教育的思考[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2014（6）：62-65.

[7]章建躍.數(shù)學學習與智慧發(fā)展[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2015（7）：4-12.