類比舊知探新知，實(shí)踐“單元教學(xué)”——以“一元一次不等式”起始課教學(xué)為例

☉江蘇泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)黃華

類比舊知探新知，實(shí)踐“單元教學(xué)”——以“一元一次不等式”起始課教學(xué)為例

☉江蘇泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)黃華

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版），不少課例都在踐行專家教師李庾南老師的“單元教學(xué)”思想，對(duì)很多課例的大膽取舍、精巧設(shè)計(jì)令人嘆服.于是在最近一次教學(xué)研討活動(dòng)中，筆者有機(jī)會(huì)執(zhí)教一元一次不等式的教研課，決定丟開教材，基于自己多年來對(duì)一元一次不等式全章的理解和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，嘗試了一次“單元教學(xué)”，得到了聽課老師的一致好評(píng).本文先呈現(xiàn)該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并跟進(jìn)闡釋相關(guān)教學(xué)立意，供研討.

一、“一元一次不等式”起始課教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）生活情境，引入新課

出示一組生活情境.

問題1：從圖片中我們看到姚明的個(gè)頭要比拜納姆高，若用a表示姚明的身高，拜納姆的身高用b表示，則a與b的關(guān)系可表示為__________.

問題2：據(jù)報(bào)道，神舟七號(hào)載人航天飛行取得圓滿成功.這一成功將給我國帶來1000多億元的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)，超過了“神舟七號(hào)”工程的總投資的40倍.你知道“神舟七號(hào)”工程的總投資最多是多少億元？若設(shè)“神舟七號(hào)”工程的總投資為x億元，則上述關(guān)系可用式子表示為：__________.

問題3：蘇通大橋是當(dāng)今世界跨徑最大的斜拉橋，總投資86億元.在其經(jīng)營(yíng)期內(nèi)，收回投資不成問題.在其正式通車前的試運(yùn)行期內(nèi)，已獲得2億多元的旅游及其他收入.據(jù)預(yù)測(cè)，通車后蘇通大橋的年純收入約7億多元，那么，通車后至少要多少年才能收回全部投資開始盈利？若設(shè)x年后收回全部投資開始盈利，則可得：_________.

預(yù)設(shè)：學(xué)生可以列出不等式a＞b，1000＞40x（40x＜1000），7x+2≥86.

追問1：上述式子是等式嗎？為什么？

追問2：你能不能類比“等式”給這些式子一個(gè)名稱？（不等式）

追問3：根據(jù)你的理解，什么樣的式子叫作不等式？（引導(dǎo)學(xué)生說出“用不等號(hào)連接表示不相等關(guān)系的式子，叫作不等式）

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生類比等式定義給出不等式的定義，并引導(dǎo)學(xué)生基于類比的方法探索新知.（板書課題：不等式及其性質(zhì)）

（二）師生互動(dòng)，探究新知

活動(dòng)1：類比一元一次方程的定義給一元一次不等式下定義

觀察兩個(gè)不等式：40x＜1000，7x+2≥86.

問題：它們有什么共同的特點(diǎn)？

活動(dòng)2：類比一元一次方程的解的定義，給一元一次不等式的解與解集下定義

（1）你能檢驗(yàn)x=24及x=25是否為方程40x=1000的解嗎？

追問：為什么x=25是？什么叫“方程的解”？引導(dǎo)學(xué)生說出：使方程成立的未知數(shù)的值是方程的解.

（2）已知數(shù)值：22、23、24、24.9、25、25.1、28、30.判斷：上述數(shù)值，哪些使不等式40x＜1000成立，哪些使之不成立？

追問1：類比方程的解的定義，x=25.1是否為不等式40x＜100的解？對(duì)照方程解的定義，你能說說什么是不等式的解嗎？

追問2：你能找出這個(gè)不等式的其他解嗎？這個(gè)不等式有多少個(gè)解？

追問3：x在什么范圍內(nèi)時(shí)，不等式40x＜1000總成立？不成立呢？

預(yù)設(shè)定義：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個(gè)不等式的解集.

預(yù)設(shè)講評(píng)：不等式的解集必須滿足兩個(gè)條件：

（1）解集中的任何一個(gè)數(shù)值都使不等式成立；

（2）解集外的任何一個(gè)數(shù)值都不能使不等式成立.

活動(dòng)3：數(shù)形結(jié)合描述解集

首先將40x＜1000的解集表示成x＜25，然后可以在數(shù)軸上直觀地表示出來（略）.

（三）解簡(jiǎn)單的不等式

過渡：研究不等式的一個(gè)重要任務(wù)，就是求出不等式的解集.求不等式的解集的過程，叫作解不等式.

題1：下列說法正確的是（）.

A.x=3是2x＞1的解集

B.x=3不是2x＞1的解

C.x=3是2x＞1的唯一解

D.x=3是2x＞1的解

題2：下列數(shù)值哪些是不等式x+3＞6的解？哪些不是？

-4、-2.5、0、1、2.5、3、3.2、4.8、8、12.

（四）類比等式的性質(zhì)探究不等式的性質(zhì)

過渡：世界上很多重大的發(fā)現(xiàn)都是從猜想開始的，根據(jù)你的猜想解一解下列不等式.

預(yù)設(shè)追問：

（1）你是怎樣想到這么解的？

（2）這樣解得到的不等式的解集對(duì)嗎？驗(yàn)證一下！

預(yù)設(shè)互動(dòng)：如學(xué)生解錯(cuò)了（4），追問你對(duì)不等式的性質(zhì)遷移有什么發(fā)現(xiàn)，正確的解集是什么；如學(xué)生將（4）解正確了，則讓學(xué)生比較（3）（4），你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）你對(duì)等式的性質(zhì)遷移到不等式又有什么猜想？

預(yù)設(shè)解答：

性質(zhì)1：不等式的兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變.

性質(zhì)2：不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.

性質(zhì)3：不等式的兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

追問：這樣的猜想對(duì)嗎？（引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體的數(shù)字不等式進(jìn)行分類驗(yàn)證）

設(shè)計(jì)意圖：由學(xué)生歸納等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系.通過類比發(fā)現(xiàn)二者的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，把知識(shí)系統(tǒng)化，提高思維的深刻性.適時(shí)地再次突出重點(diǎn)，突破性質(zhì)3這個(gè)難點(diǎn)，為正確應(yīng)用性質(zhì)打好基礎(chǔ).

③-3a__________-3b.（不等式性質(zhì)_____）

④2a-5_________2b-5.（不等式性質(zhì)_____）

⑤-5a+2_________-5b+2.（不等式性質(zhì)_____）

挑戰(zhàn)練習(xí)：解不等式并在數(shù)軸上表示解集：（1）7x+ 2≤86；（2）4-2（x-3）＜4（x+1）.

預(yù)設(shè)互動(dòng)：安排兩個(gè)學(xué)生上臺(tái)板演后追問：利用不等式的性質(zhì)解不等式與解方程有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

跟蹤練習(xí)：某次地震后，某部隊(duì)火速從距重災(zāi)區(qū)45千米的機(jī)場(chǎng)出發(fā)，計(jì)劃1小時(shí)內(nèi)趕到災(zāi)區(qū).行進(jìn)了20分鐘，中途由于道路出現(xiàn)泥石流，官兵下車搶修道路，用了10分鐘，在剩下的路途中，至少以怎樣的速度行進(jìn)，才能在規(guī)定時(shí)間前趕到？

（五）跟蹤訓(xùn)練，鞏固新知

題1：判斷正誤

①由2＜4，可得2×3＜4×3.（）

②由2＜4，可得2a＜4a.（）

③由2x＞-4，可得x＞-2.（）

④由-2x＞4，可得x＞-2.（）

題2：已知a＜b，用“＞”或“＜”填空，并填寫理由.

①a-3_____b-3.（不等式性質(zhì)_____）

（六）小結(jié)歸納，布置作業(yè)（略）

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

以上整理了一元一次不等式單元教學(xué)的起始課教學(xué)設(shè)計(jì)，特別是各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)、活動(dòng)下面都預(yù)設(shè)了詳細(xì)的講評(píng)互動(dòng)、追問預(yù)設(shè)等，為了進(jìn)一步說明教學(xué)立意，以下再圍繞“單元教學(xué)”的操作要義給出三點(diǎn)闡釋.

1.單元教學(xué)起始課需要深刻理解整個(gè)單元的重、難點(diǎn)

由于單元教學(xué)起始課的教學(xué)內(nèi)容常常涵蓋整個(gè)單元的大部分教學(xué)內(nèi)容，包括新的概念、性質(zhì)、方法，重要的例、習(xí)題類型等，這時(shí)預(yù)設(shè)單元教學(xué)起始課前需要深刻理解整個(gè)單元的所有重點(diǎn)、難點(diǎn)，這樣才能在起始課上實(shí)施必要的“有的放矢”，也才可能在起始課教學(xué)進(jìn)程中，面對(duì)學(xué)生不同的“生成”做到精準(zhǔn)點(diǎn)評(píng)、大膽擱置.比如在上文教學(xué)環(huán)節(jié)（三）中，只能安排解幾道簡(jiǎn)單的不等式，初步理解解法、懂得不等式的解與解集的概念，因?yàn)橄到y(tǒng)研究一元一次不等式的解法尚待后續(xù)課時(shí)繼續(xù)探究.

2.單元教學(xué)起始課需要激活學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)或研究方法

對(duì)于一元一次不等式來說，它的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)是等式性質(zhì)和一元一次方程，無論是通過等式性質(zhì)類比不等式性質(zhì)，還是一元一次方程的概念、解法可以遷移到一元一次不等式中來，這些新知探究出來的方法靠的都是類比猜想、歸納概括，所以課堂駕馭時(shí)就需要通過引導(dǎo)學(xué)生回顧已有經(jīng)驗(yàn)、已熟悉的研究路徑或套路繼續(xù)研究新的內(nèi)容.一方面可以探究出本課新知，另一方面也使得學(xué)生研究套路意識(shí)進(jìn)一步強(qiáng)化.

3.單元教學(xué)起始課后需要跟進(jìn)必要的習(xí)題訓(xùn)練

由于單元教學(xué)起始課往往是新的定義、概念、性質(zhì)超過傳統(tǒng)意義的新知概念第1課時(shí)，這樣的課堂教學(xué)必然會(huì)擠占必要的例、習(xí)題訓(xùn)練的時(shí)間，這就需要在單元教學(xué)起始課后跟進(jìn)必要的習(xí)題課，習(xí)題課的重點(diǎn)在于選題與互動(dòng)式的講評(píng).比如選題的典型性，由淺及深的變式拓展設(shè)計(jì)，講評(píng)后跟進(jìn)的變式再測(cè)或聽課檢測(cè)，都是鞏固新知的必要手段.

三、寫在最后

當(dāng)前數(shù)學(xué)素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教育研究的一項(xiàng)重要課題，特別是近兩年來，核心素養(yǎng)成為基礎(chǔ)教育中的熱點(diǎn)問題.但是，什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)，哪些是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心和關(guān)鍵，研究者們還沒有形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，這也造成了教師實(shí)踐中的困惑和問題.我們基于專家教師的“單元教學(xué)”實(shí)踐智慧，貼近學(xué)生實(shí)際、大膽整合教材，開展的單元教學(xué)起始課研究，試圖向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)的整體觀、研究數(shù)學(xué)新問題的套路意識(shí)等，是不是也可看成是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的案例研究呢？

1.湯志良.步步有據(jù)：推導(dǎo)冪的運(yùn)算性質(zhì)——李庾南老師“冪的運(yùn)算性質(zhì)”課例賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（5）.

2.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

3.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.仇錦華.從數(shù)學(xué)整體觀看單元教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（11）.Z