對數(shù)學欣賞與數(shù)學思維關系的思考

☉湖南省株洲縣第五中學　方厚良

對數(shù)學欣賞與數(shù)學思維關系的思考

☉湖南省株洲縣第五中學方厚良

關于數(shù)學欣賞，國內發(fā)端于徐利治先生，大力倡導者為張奠宙教授.如今談數(shù)學欣賞的文章多起來了，不過所談數(shù)學欣賞，多為什么美呀、真呀，和諧、簡潔、對稱、奇異等，話題較舊，難出新意，特別是對一線教學，更難做到一以貫之而成為教學常態(tài).近日重讀杜威名著《我們怎樣思維——再論反省思維與教學的關系》的第十八章“講課和思維訓練”和《民主主義與教育》的第十八章“教育的價值”，眼界為之豁然，心胸為之洞開：數(shù)學欣賞應緊緊抓住數(shù)學思維訓練這根主線，挖掘、彰顯數(shù)學育人價值，將數(shù)學欣賞和數(shù)學思維關系有機、有效交融，這才能避開將欣賞作為數(shù)學課堂偶爾為之的點綴，“打動人心”、“心領神會”的時刻才有望成為學生每天期望的數(shù)學課堂常態(tài).

一、從“價值”的角度看欣賞

1.欣賞是對價值的真正認識

杜威對“欣賞”沒有下嚴格的定義，在文［1］，他是這樣描述的：對一件事物的充分經(jīng)驗……對這件事物已經(jīng)“心領神會”了；或者……這件事物打動了人心，抓住了人心.當這種情況發(fā)生時，人是“興奮的”……先前在心智和某些對象、事實或情境之間的壁壘和障礙，便蕩然無存了.心智和事物似乎是聯(lián)成了一體.這種狀態(tài)，可用“欣賞”一詞來表述.杜威說：有時，我們說起“欣賞的”事物是有價值的.相反地，當事物變得陳腐、過時、不為人所追求的時候，它又“貶值”了.當理智徹底地欣賞一種事物時，它的價值就增高了.思維、知識和價值之間沒有內在的對立.然而，單純從理智上掌握了觀念和事實，和在情緒上加以渲染的觀念和事實之間，卻有著明顯的對立.因為這是與個人的需要和滿足的感覺相聯(lián)系的.在后一種情形里，就有直接的價值；就是說，它是被欣賞的.

從中可以看出，欣賞是一種理智肯定和情緒滿足的并存狀態(tài)，可概括為對觀念、事物和事實內隱價值的真正認識.所以，談數(shù)學欣賞，應立足于對數(shù)學學科思想、精神和價值的真正認識.一方面，要對數(shù)學的歷史、文化有整體了解，教師應有意識地抓住教學契機進行濡染，以高中數(shù)學課程為例，每冊的導引、目錄，每章的章引言，要納入教學視野，潛心揣摩，加以教學引導，有助于整體把握，系統(tǒng)認識；重視核心概念的產生背景、歷史淵源的紹介和學習，如“函數(shù)概念的發(fā)展歷史”、“數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入”等，以這些相對具體、經(jīng)典的知識點為“生長點”，播下數(shù)學欣賞的種子，滋養(yǎng)數(shù)學欣賞的習慣.

2.從內在價值和工具價值兩個維度實現(xiàn)對價值的真正認識

要發(fā)揮數(shù)學的育人價值，實現(xiàn)數(shù)學欣賞，有必要對數(shù)學內在價值和工具價值有一定程度的了解和認識.我們可以借鑒杜威在文［2］的觀念描述：

對于內在價值，杜威認為，就任何科目在經(jīng)驗中都具有一個獨特的或無可替代的功能來說，就任何科目都標志著生活所特有的豐富的內容來說，各種科目的價值是內在的，或者是不能比較的……一個科目在某地某時應該有一個為自己的利益供人欣賞的善.一句話，它只是作為一種愉快的經(jīng)驗.

所謂工具價值，就是所學習的課題所以有價值是因為課題以外的目的……具有作為達到目的的手段的內在價值.

杜威認為，我們不能在各種科目中建立一個價值的等級，企圖把它們排成次序，從價值最小的科目開始，進而到具有最大價值的科目，這是枉費心機的.杜威認為，價值就是豐富的或完全的經(jīng)驗的名稱，杜威主張經(jīng)驗的統(tǒng)一性或整體性.學科欣賞，就是珍視學科的態(tài)度和對學科內在價值的肯定.杜威反對把課程的科目分成欣賞的和工具的，雖然文學和美術具有特殊的價值，代表最好的欣賞，但每門科目在它發(fā)展的某個階段，對和它有關的個人來說，應該具有審美的性質.所以，如果不是這樣，那么當時間和地點要一個科目用作手段或工具時，就會碰到困難.一個科目從來沒有因其自身而被學生欣賞過，那么它就無法達到別的目的.

從“普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）”前言關于數(shù)學價值的描述部分，我們可以這樣認為，數(shù)學的科學價值、文化價值是其內在價值的主要形式.數(shù)學的科學價值體現(xiàn)在形成人類理性思維和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮獨特的、不可替代的作用.數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素質是公民所必須具備的一種基本素質.數(shù)學的應用價值即為數(shù)學的工具價值，既體現(xiàn)為其他科學的基礎，也表現(xiàn)為廣泛的實際應用.

數(shù)學欣賞與數(shù)學思維關系突出地表現(xiàn)在理性思維的形成，數(shù)學的確定性、清晰性是其重要的衡量特征.抓住了數(shù)學思維，就突出了數(shù)學育人價值，就有望將數(shù)學欣賞落到實處.

二、欣賞應成為數(shù)學思維的常態(tài)和基本形式

杜威認為，思維與現(xiàn)實，理智活動與欣賞，是不可分的.杜威反對下面做法，即把科目明顯地劃分為一方面是掌握事實和原則的學科，如算術、物理等，一方面是為了個人欣賞所需要的學科，如文學、美術和音樂等.杜威認為在所謂“知識性的”和“理智性的”學科中，生動的欣賞也是基本的，也就是說也會有情感反應和想象的推測.把人類分成一部分是感情的，另一部分是冷靜的、理智的；一部分是事實的，另一部分是想象的.這是不正確的，是由錯誤的教育方法造成的.所以，首先要轉變數(shù)學教師的課程觀念，不要把數(shù)學作為純“知識性的”、“理智性的”學科，一味地嚴肅、冷靜，甚至極端為“不食人間煙火”，應努力把生動的數(shù)學欣賞變?yōu)閿?shù)學教學、數(shù)學思維的常態(tài)和基本形式；其次，要運用科學的教育原理和教學方法來指導數(shù)學教學，譬如，杜威的反省思維；又譬如，皮亞杰、維果茨基和布魯納等的認知發(fā)展理論.

要實現(xiàn)將欣賞成為數(shù)學思維的常態(tài)和基本形式，特別要重視想象力的培養(yǎng)和為數(shù)學欣賞提供情境教學背景.

1.想象力是數(shù)學欣賞的媒介

杜威認為“想象力是在每一個知識領域中能夠欣賞的媒介.任何活動都必須運用想象力，才不致流于機械的性質”.所以，要實現(xiàn)數(shù)學欣賞，也必須把想象力作為重要媒介.

一方面，空間想象能力提法是我國數(shù)學教學的傳統(tǒng)，也是對想象力重要性認識、認可的體現(xiàn)，研究空間形式而缺乏空間想象，就象鳥兒飛翔卻沒有翅膀.

數(shù)學是抽象的，數(shù)學概念形式化定義的獲得和理解，需要以想象力為媒介.杜威認為“有欣賞力的現(xiàn)實感必須和用符號表述的經(jīng)驗區(qū)別開來……即使是純粹的‘事實’，只有包含想象力的個人反應才可能真正感到有價值”.所以，一方面需借助想象力，將直接的數(shù)學活動抽象概括為數(shù)學符號代表的知識、結論，同時，借助想象，數(shù)學符號化的知識才能使人了解直接的意義，從而指導和應用于具體的實踐活動.

稍稍回顧數(shù)學發(fā)展的歷史，重要數(shù)學概念、數(shù)學思想的孕育和誕生，都是經(jīng)典想象力的神助.所以，缺乏想象力的數(shù)學學習，必然是乏味、機械和枯燥的，離數(shù)學欣賞十萬八千里，將想象力放在重要的位置，鼓勵學生啟動思維，大膽想象、善于想象，激動人心、打動人心的數(shù)學美才會展現(xiàn).

2.情境教學，提供心理的現(xiàn)實感或欣賞的背景

“經(jīng)驗”是杜威教育哲學基本而重要的概念，杜威又將其分為直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗，直接經(jīng)驗是我們親身參與的，不是通過有代表性的媒介物的介入而獲得的；由語言、符號等工具獲得的經(jīng)驗是間接經(jīng)驗.杜威認同個人直接經(jīng)驗的范圍非常有限，需借助媒介物拓寬純粹直接經(jīng)驗的范圍，依靠文字獲得有效的有代表性的經(jīng)驗或間接經(jīng)驗.杜威指出，“心理的現(xiàn)實感”和“欣賞”（或真正的欣賞）是表示對事物現(xiàn)實感的比較精致的說法，要欣賞事物的直接經(jīng)驗的含義，唯一的方法是獲得直接經(jīng)驗.所以，杜威強調，學校教育在教學能通過符號的媒介完全的傳達事物和觀念以前，必須提供許多真正的情境，個人參與這個情境，領會材料的意義和材料所傳達的問題.杜威認為，在小學教育中，直接經(jīng)驗的背景的要求最為顯著，但是情境教學原則也適用于每一門科目的初級階段，中學和大學每一個新領域的實驗室工作，主要的和基本的作用在于使學生直接熟悉一定范圍的事實和問題，而且要明白，掌握技術和作出概括以及驗證概括的方法最初是次于欣賞的.

將杜威的觀念運用于高中數(shù)學教學，特別是數(shù)學欣賞，首先是要認識到情境教學的必要性與重要性，不能從抽象的語言、符號開始，不能盲目、想當然地認為學生對于種種情景已經(jīng)具有足夠的直接現(xiàn)實基礎；其次，情境或背景的設置要便于學生從直接經(jīng)驗能夠迅速地、有效地和用符號表達的教材聯(lián)系起來，情境既為了解符號的教學提供教材的手段，又是為喚起對用符號傳達的材料的虛心態(tài)度的手段；再次，情境不是目的，數(shù)學欣賞要從直接經(jīng)驗出發(fā)，以數(shù)學理性思維發(fā)展、優(yōu)化和深刻為目的，從而領悟數(shù)學本質、感受數(shù)學思想、體會數(shù)學精神和認識數(shù)學價值，全面提高學生數(shù)學素養(yǎng).

三、數(shù)學教學的檢驗，要以學生對數(shù)學生動的欣賞程度為依據(jù)

杜威說，對任何學科教學的檢驗，最后要以學生對該學科生動的欣賞程度為依據(jù).其所持的理由是，人在本性上和常態(tài)中是一個整體，只有理智與情緒、意義與價值、事實與想象融合在一起，才能形成品性和智慧的整體.杜威在《怎樣思維》一書中是以反省思維作為教育的目的，認為如果沒有欣賞，種種問題和疑問，則只是反省思維的真正刺激物，或多或少只是一種外部的強制，而不能一心一意地去加以感受和對待.顯然，杜威將學生對學科生動的欣賞程度作為學科教學檢驗的依據(jù)是適用數(shù)學學科的.杜威這一觀念的意義，提升了對教學評價的品位，不是簡單的知識技能的掌握標準，甚至也不只是能力層面的涵蓋.數(shù)學欣賞，有數(shù)學知識、技能這些“干貨”，也有方法、思想這些“抽象”，還有能力、素養(yǎng)這些“虛的“東西.欣賞程度有深淺，有維度，杜威沒有給出欣賞程度劃分的標準和意義，這是一個值得研究的課題.結合數(shù)學學科特點和教學實踐，確立以學生對數(shù)學學科生動欣賞程度為數(shù)學教學檢驗依據(jù)為數(shù)學欣賞開拓了新視野，使數(shù)學欣賞不是點綴，更不是時髦的風尚追逐，將切切實實為數(shù)學教學服務和提供指導.

1.［美］約翰·杜威，著.我們怎樣思維·經(jīng)驗與教育［M］.姜文閔，譯.北京：人民教育出版社，2005.

2.［美］約翰·杜威，著.民主主義與教育［M］.王承緒，譯.北京：人民教育出版社，2001.

3.章建躍.發(fā)揮數(shù)學的內在力量為學生謀取長期利益［J］.數(shù)學通報，2013.Y