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    加強命題常用的四種途徑

    2016-02-14 23:37:11湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué)瞿兆君
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年5期
    關(guān)鍵詞:監(jiān)利縣根號命題

    ☉湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué) 瞿兆君

    加強命題常用的四種途徑

    ☉湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué)瞿兆君

    在解題困難的時刻,或在求解的過程中難以理出頭緒時,我們總是想方設(shè)法將命題變形,加強命題的條件來尋求破解的蹊徑.因為通過解決一個比原命題更強的命題,能使我們運用通法解題的思路變得暢通起來,從而較快地達(dá)到所要求解或求證的目標(biāo),尤其是對一些較為復(fù)雜的不等式的證明、極值的求解,采用加強命題處理,往往會給解題帶來生機.

    然而,如何對一數(shù)學(xué)命題進(jìn)行加強?這是我們大家都很關(guān)心的問題.一般地,加強命題常用的手段有四種,即重要不等式、等比級數(shù)、構(gòu)建引理、極端性原理等.

    一、構(gòu)建等比級數(shù)加強命題

    在數(shù)列不等式的證明中,將有關(guān)“數(shù)”或“式”變?yōu)榈缺燃墧?shù)可獲得創(chuàng)新性的解法.

    例1設(shè)數(shù)列{an}滿足條件:an+1=-nan+1,n=1,2,3,…,且a1≥3.

    分析:對于(Ⅱ),因右邊只有一個常數(shù)項,而左邊是n項的和,與已知條件聯(lián)系不太明顯,故直接推證較難入手.當(dāng)從兩邊的差異上進(jìn)行思考時,易使我們產(chǎn)生加強命題的念頭,即能否將“1

    (Ⅰ)證明:對所有的n≥1有an≥n+2;

    證明:(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證:

    當(dāng)n=1時,由已知得,a1≥3=1+2,即a1≥1+2成立.

    假設(shè)當(dāng)n=k時,命題成立,即ak≥k+2,且有ak+1=a2kkak+1,

    那么,當(dāng)n=k+1時,有ak+1=ak(ak-k)+1≥ak(k+2-k)+ 1≥2(k+2)+1=2k+5≥k+3,

    即當(dāng)n=k+1時,命題亦成立.

    綜上知,對所有n≥1,命題成立.

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,an≥n+2,則an+1=a2n-nan+1≥(n+2)annan+1=2an+1.

    由此可得an+1+1≥2(an+1)?≥2.

    從而1+an≥2n+1,

    二、構(gòu)建引理加強命題

    在條件難以辨析的情況下,尤其是在解題困難的時刻,注重構(gòu)建引理加強命題,往往可獨辟蹊徑,促進(jìn)解題的創(chuàng)造性思維.

    例2已知函數(shù)f(x)=ln(1+ax)-ln2+x2-ax(a為常數(shù),a>0).

    (Ⅱ)由0<a<2及(1),得

    又φ(1)=0,故φ(x)>0在(1,2)上恒成立,即引理得證.

    三、利用基本不等式加強命題

    對條件少而變量多的不等式的證明,靈活運用基本不等式加強命題,可使問題獲得巧解.

    分析:本題若直接從左推往右或從右推到左,顯然較難入手,但運用(x+y)2≥4xy(x,y∈R)加強命題,可使問題迎刃而解.

    證明:當(dāng)z=0時,命題顯然成立.

    顯然這一命題成立,從而原不等式成立.

    四、利用極端性原理加強命題

    當(dāng)條件不易統(tǒng)一,或在解題的過程中難以理出頭緒時,采用極端性原理加強命題,也是突破困境常用的一種解題策略.

    分析:由于兩個根號內(nèi)x2的系數(shù)一正一負(fù),若將兩邊同進(jìn)平方來消去根號,通過初步計算發(fā)現(xiàn)很難奏效.由此想到加強命題.設(shè)g(x)=顯然原函數(shù)的最小值不會小于g(x)的最小值,而g(x)的最小值是較易求的.

    解:因為函數(shù)的定義域為0≤x≤5,又7>5≥x,

    上是減函數(shù).

    又∵g(0)=5,g(5)=52.

    故g(x)的最小值為5,當(dāng)x=0時取得.

    又f(0)=0,從而可得f(x)的最小值為5,且當(dāng)x=0時取得.

    鑒于上述,加強命題關(guān)鍵在于針對命題所給的信息,善于類比、聯(lián)想、試探變更論題.對一命題能否進(jìn)行加強最易反映解題者的數(shù)學(xué)功底和創(chuàng)造思維能力,所以它頗受數(shù)學(xué)高考命題者的青睞.隨著新課改的深入發(fā)展,現(xiàn)行數(shù)學(xué)高考改革已由“知識立意”轉(zhuǎn)向為“能力立意”,數(shù)學(xué)命題愈來愈開放,需用加強命題來求解的試題愈來愈新穎.因此,我們必須認(rèn)真領(lǐng)會加強命題的實質(zhì),掌握加強命題的四種途徑,不斷地提高創(chuàng)造性的思維能力.

    1.2002年數(shù)學(xué)高考題.

    2.蘇賢昌,瞿兆君,著.高中數(shù)學(xué)解題新思路[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,2003.Y

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