加強命題常用的四種途徑

☉湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué)　瞿兆君

加強命題常用的四種途徑

☉湖北省監(jiān)利縣第一中學(xué)瞿兆君

在解題困難的時刻，或在求解的過程中難以理出頭緒時，我們總是想方設(shè)法將命題變形，加強命題的條件來尋求破解的蹊徑.因為通過解決一個比原命題更強的命題，能使我們運用通法解題的思路變得暢通起來，從而較快地達(dá)到所要求解或求證的目標(biāo)，尤其是對一些較為復(fù)雜的不等式的證明、極值的求解，采用加強命題處理，往往會給解題帶來生機.

然而，如何對一數(shù)學(xué)命題進(jìn)行加強？這是我們大家都很關(guān)心的問題.一般地，加強命題常用的手段有四種，即重要不等式、等比級數(shù)、構(gòu)建引理、極端性原理等.

一、構(gòu)建等比級數(shù)加強命題

在數(shù)列不等式的證明中，將有關(guān)“數(shù)”或“式”變?yōu)榈缺燃墧?shù)可獲得創(chuàng)新性的解法.

例1設(shè)數(shù)列｛an｝滿足條件：an+1=-nan+1，n=1，2，3，…，且a1≥3.

分析：對于（Ⅱ），因右邊只有一個常數(shù)項，而左邊是n項的和，與已知條件聯(lián)系不太明顯，故直接推證較難入手.當(dāng)從兩邊的差異上進(jìn)行思考時，易使我們產(chǎn)生加強命題的念頭，即能否將“1

（Ⅰ）證明：對所有的n≥1有an≥n+2；

證明：（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證：

當(dāng)n=1時，由已知得，a1≥3=1+2，即a1≥1+2成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立，即ak≥k+2，且有ak+1=a2kkak+1，

那么，當(dāng)n=k+1時，有ak+1=ak（ak-k）+1≥ak（k+2-k）+ 1≥2（k+2）+1=2k+5≥k+3，

即當(dāng)n=k+1時，命題亦成立.

綜上知，對所有n≥1，命題成立.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an≥n+2，則an+1=a2n-nan+1≥（n+2）annan+1=2an+1.

由此可得an+1+1≥2（an+1）?≥2.

從而1+an≥2n+1，

二、構(gòu)建引理加強命題

在條件難以辨析的情況下，尤其是在解題困難的時刻，注重構(gòu)建引理加強命題，往往可獨辟蹊徑，促進(jìn)解題的創(chuàng)造性思維.

例2已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax）-ln2+x2-ax（a為常數(shù)，a＞0）.

（Ⅱ）由0＜a＜2及（1），得

又φ（1）=0，故φ（x）＞0在（1，2）上恒成立，即引理得證.

三、利用基本不等式加強命題

對條件少而變量多的不等式的證明，靈活運用基本不等式加強命題，可使問題獲得巧解.

分析：本題若直接從左推往右或從右推到左，顯然較難入手，但運用（x+y）2≥4xy（x，y∈R）加強命題，可使問題迎刃而解.

證明：當(dāng)z=0時，命題顯然成立.

顯然這一命題成立，從而原不等式成立.

四、利用極端性原理加強命題

當(dāng)條件不易統(tǒng)一，或在解題的過程中難以理出頭緒時，采用極端性原理加強命題，也是突破困境常用的一種解題策略.

分析：由于兩個根號內(nèi)x2的系數(shù)一正一負(fù)，若將兩邊同進(jìn)平方來消去根號，通過初步計算發(fā)現(xiàn)很難奏效.由此想到加強命題.設(shè)g（x）=顯然原函數(shù)的最小值不會小于g（x）的最小值，而g（x）的最小值是較易求的.

解：因為函數(shù)的定義域為0≤x≤5，又7＞5≥x，

上是減函數(shù).

又∵g（0）=5，g（5）=52.

故g（x）的最小值為5，當(dāng)x=0時取得.

又f（0）=0，從而可得f（x）的最小值為5，且當(dāng)x=0時取得.

鑒于上述，加強命題關(guān)鍵在于針對命題所給的信息，善于類比、聯(lián)想、試探變更論題.對一命題能否進(jìn)行加強最易反映解題者的數(shù)學(xué)功底和創(chuàng)造思維能力，所以它頗受數(shù)學(xué)高考命題者的青睞.隨著新課改的深入發(fā)展，現(xiàn)行數(shù)學(xué)高考改革已由“知識立意”轉(zhuǎn)向為“能力立意”，數(shù)學(xué)命題愈來愈開放，需用加強命題來求解的試題愈來愈新穎.因此，我們必須認(rèn)真領(lǐng)會加強命題的實質(zhì)，掌握加強命題的四種途徑，不斷地提高創(chuàng)造性的思維能力.

1.2002年數(shù)學(xué)高考題.

2.蘇賢昌，瞿兆君，著．高中數(shù)學(xué)解題新思路［M］．武漢：華中師范大學(xué)出版社，2003．Y