高中概念課教學(xué)中“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的案例研究

☉陜西省三原縣南郊中學(xué)廉　萬(wàn)朝

高中概念課教學(xué)中“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的案例研究

☉陜西省三原縣南郊中學(xué)廉萬(wàn)朝

一、問(wèn)題提出

“數(shù)學(xué)概念反映了一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是具體性和抽象性的辯證統(tǒng)一，具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性.［1］”《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程和本質(zhì).［2］”然而在教學(xué)實(shí)踐中，由于種種原因，部分教師對(duì)概念的形成過(guò)程重視程度不夠，認(rèn)為數(shù)學(xué)概念就像是一種規(guī)定，只要把數(shù)學(xué)概念給學(xué)生解釋清楚，并通過(guò)舉例辨析，明確概念的外延，就算是對(duì)概念認(rèn)識(shí)到位了.學(xué)生不能認(rèn)識(shí)到概念的形成過(guò)程和本質(zhì)屬性，在應(yīng)用數(shù)學(xué)概念時(shí)，只是死記硬背或套用，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法得不到相應(yīng)的提高.本文旨在以典型案例，通過(guò)“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的方法揭示數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法.

二、數(shù)學(xué)概念中“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的案例實(shí)踐

（一）形成性概念

形成性概念就是“同類事物的共同、關(guān)鍵屬性可以由學(xué)生從大量的同類事物的不同例證中發(fā)現(xiàn)，［1］”從而形成概念.

案例1三角函數(shù)概念

問(wèn)題1前面學(xué)習(xí)了角的概念的推廣，推廣后的角是如何定義的？它和初中所學(xué)的角有哪些不同？

意圖：讓學(xué)生復(fù)習(xí)推廣后的角的概念，即角的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊與x軸正半軸重合，然后讓角的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得到的幾何圖形.角可以分為正角、負(fù)角和零角，且終邊相同的角可以表示為｛β|β=α+k· 360°，k∈Z｝.

問(wèn)題2依據(jù)初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)概念及角的推廣，如果將銳角的頂點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，相鄰的直角邊放在x軸正半軸，那么銳角三角函數(shù)定義中的對(duì)邊、鄰邊、斜邊分別對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中的哪些量？用坐標(biāo)系中的量又是怎樣定義銳角三角函數(shù)的？

意圖：將初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)的定義解析化，用坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示對(duì)應(yīng)的量，為三角函數(shù)的定義推廣做鋪墊.

問(wèn)題3在銳角三角函數(shù)的定義中，取終邊上任意一點(diǎn)，得到三角函數(shù)值都不變，如果取終邊與單位圓的交點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓叫單位圓），又如何簡(jiǎn)化三角函數(shù)的定義的？

意圖：用單位圓定義三角函數(shù)，有利于三角函數(shù)定義的進(jìn)一步推廣.

問(wèn)題4如果將角的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，它和銳角三角函數(shù)定義相吻合，當(dāng)角是鈍角時(shí)，角的對(duì)邊、鄰邊不見(jiàn)了，說(shuō)明用角的對(duì)邊、鄰邊等關(guān)系定義三角函數(shù)有一定局限性，用終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)能否行得通？若行，又是如何定義的？

意圖：用角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)定義鈍角三角函數(shù)，抓住了問(wèn)題的共性的、本質(zhì)的東西，體現(xiàn)從特殊到一般的思想.

問(wèn)題5如果角的終邊在第三象限、第四象限，在y軸正半軸、負(fù)半軸，x軸正半軸，負(fù)半軸，其三角函數(shù)的定義是否都可以用終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)定義？若行，又是如何定義的？

意圖：得到角的終邊在各個(gè)位置的三角函數(shù)定義，為任意角的三角函數(shù)定義做鋪墊.

追問(wèn)1按照上述方法，如果角的終邊相同，那么它的三角函數(shù)值相同嗎？

意圖：強(qiáng)調(diào)終邊相同的角的三角函數(shù)值相同.

追問(wèn)2三角函數(shù)值的正負(fù)由哪些量決定？三角函數(shù)值隨著角的變化又是如何變化的？

意圖：得到三角函數(shù)值正負(fù)的判斷方法，三角函數(shù)值隨著角的變化規(guī)律，為三角函數(shù)線的得出做鋪墊.

問(wèn)題6任意角三角函數(shù)應(yīng)該如何定義？

意圖：任意角三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)值的符號(hào)、終邊相同的角的三角函數(shù)值相同以及三角函數(shù)值的變化規(guī)律便自然生成.

（二）歸納性概念

歸納性概念是該概念在學(xué)生大腦中已經(jīng)有了直觀的雛形，且只是直觀的感知，還沒(méi)有形成完整的數(shù)學(xué)概念，需要通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確地完善數(shù)學(xué)概念.

案例2函數(shù)單調(diào)性概念

問(wèn)題1初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、反比例函數(shù)等，請(qǐng)同學(xué)們畫出一次函數(shù)y=x+1，反比例函數(shù)y=的圖像，觀察圖像說(shuō)明圖像從左到右是如何變化的？

意圖：通過(guò)函數(shù)圖像，讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)是遞增的、遞減的圖像特征.

追問(wèn)由描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像的過(guò)程可知，由于自變量的變化才引起函數(shù)值的變化，函數(shù)圖像從左到右是上升的或者下降的，反映函數(shù)值隨著自變量的變化怎樣變化？

意圖：通過(guò)圖像直觀感知函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大（或減?。┑倪^(guò)程.

問(wèn)題2在x軸上，從左到右自變量在增大，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)反映？

意圖：自變量x取兩個(gè)值x1、x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，表示自變量在增大.

問(wèn)題3若自變量x在x1、x2處的函數(shù)值分別為f（x1）、f（x2），那么自變量在增大，引起函數(shù)值在增大（或減?。?，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示？

意圖：當(dāng)x1＜x2時(shí)，則f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2））.

追問(wèn)由問(wèn)題4可知，自變量取兩個(gè)值x1、x2，當(dāng)x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），并不能說(shuō)明函數(shù)f（x）是遞增的（或遞減的），那么自變量x應(yīng)該怎樣取值，才能保證滿足上述條件時(shí)，函數(shù)f（x）是遞增的（或遞減的）？

意圖：自變量的取值必須是區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù).問(wèn)題5結(jié)合上述問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，你認(rèn)為函數(shù)是遞增的（或者遞減的），需要抓住哪些關(guān)鍵因素？

意圖：遞增（或遞減）是針對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間；自變量x的取值必須是任意兩個(gè)數(shù)x1、x2；當(dāng)x1＜x2，則f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2））.

問(wèn)題6函數(shù)是遞增的、遞減的應(yīng)該如何定義更準(zhǔn)確？

意圖：在學(xué)生對(duì)增函數(shù)、減函數(shù)定義中的幾個(gè)關(guān)鍵因素的必要性認(rèn)識(shí)清楚后，自然得到增函數(shù)、減函數(shù)的定義，而且在今后利用其定義在解決問(wèn)題時(shí)，對(duì)其關(guān)鍵

追問(wèn)有理數(shù)的四則運(yùn)算法則在新的數(shù)集——實(shí)數(shù)集中能否還行得通？

意圖：在數(shù)集擴(kuò)充過(guò)程中，原來(lái)的運(yùn)算法則仍然適合，為引進(jìn)新的數(shù)集做鋪墊.

問(wèn)題4在實(shí)數(shù)集中，我們還有無(wú)法解決的問(wèn)題，如x2=-1，那又該怎么辦？

意圖：讓學(xué)生自然想到必須引進(jìn)新的符號(hào)才能解決這個(gè)問(wèn)題，于是引進(jìn)新的符號(hào)“i”，并規(guī)定i2=-1.

問(wèn)題5按照數(shù)的擴(kuò)充規(guī)律，在引進(jìn)新的數(shù)以后，原有的四則運(yùn)算法則仍然保持不變，那么i與實(shí)數(shù)2的運(yùn)算都有哪些？這些運(yùn)算能否用一個(gè)統(tǒng)一的、一般的形式表述？

意圖：2+i，2-i，2×i都可以用形如a+bi的形式表示，其中a，b∈R，但又怎么辦？

問(wèn)題6類比分母有理化的方法，結(jié)合i2=-1，能否化為a+bi的形式？

意圖：得到復(fù)數(shù)的一般形式a+bi，a，b∈R.因素也就認(rèn)識(shí)到位、應(yīng)用到位了.

（三）演變性概念

演變性概念就是從低維到高維，從低級(jí)到高級(jí)的演變過(guò)程，是在事物發(fā)展過(guò)程中，由于新問(wèn)題的出現(xiàn)，而在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上無(wú)法解決的問(wèn)題，需要引進(jìn)新的概念.

案例3復(fù)數(shù)的引入

問(wèn)題1當(dāng)初，人們?yōu)榱藬?shù)數(shù)的需求認(rèn)識(shí)了自然數(shù)，但在刻畫相反意義的量或解決諸如“3-5”這樣的計(jì)算時(shí)，所產(chǎn)生的矛盾是怎樣解決的？

意圖：引進(jìn)負(fù)數(shù)，并增加了新的符號(hào)“-”，從而將數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)集.

問(wèn)題2有了整數(shù)集以后，為了解決2÷3的問(wèn)題，又是怎么辦的？

意圖：引進(jìn)分?jǐn)?shù)，還要引進(jìn)一種新的符號(hào)——分?jǐn)?shù)線或小數(shù)點(diǎn).

問(wèn)題3有了分?jǐn)?shù)以后，數(shù)集從整數(shù)集擴(kuò)充到了有理數(shù)集，但還有問(wèn)題無(wú)法解決，如等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，其斜邊長(zhǎng)是多少？又無(wú)法表示怎么辦？

三、對(duì)“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的反思

新課程理念要求，課堂教學(xué)必須充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在課堂上要充分思考、交流、討論，掌握知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，領(lǐng)會(huì)知識(shí)的本質(zhì)屬性.“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)設(shè)計(jì)正是基于這一點(diǎn)，通過(guò)設(shè)計(jì)相應(yīng)的問(wèn)題串，讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，掌握知識(shí)、培養(yǎng)能力、開(kāi)發(fā)思維.