構(gòu)建邏輯連貫，重視數(shù)學(xué)方法

謝建寶

摘 要：弧長(zhǎng)與扇形面積的內(nèi)容要點(diǎn)是計(jì)算。經(jīng)歷探索兩個(gè)計(jì)算公式的過(guò)程，體驗(yàn)特殊—一般—特殊獲取新知識(shí)過(guò)程中的重要作用；力求學(xué)生參與到課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，提高課堂教學(xué)的實(shí)效性，重視學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：弧長(zhǎng)與扇形面積；數(shù)學(xué)方法；教學(xué)實(shí)錄；教學(xué)評(píng)析

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版課標(biāo)教材九年級(jí)上冊(cè)“第二十四章·圓”第14課時(shí)。

【內(nèi)容分析】

圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形之一，也是平面幾何中的基本圖形，其性質(zhì)（軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)不變性）在生產(chǎn)、生活領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。它不僅在幾何中有重要的地位，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)?！盎￠L(zhǎng)與扇形面積”是在小學(xué)學(xué)過(guò)的圓周長(zhǎng)、面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出。應(yīng)用這些公式，就可以計(jì)算一些與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單組合圖形的面積，這些計(jì)算不僅是幾何中基本的計(jì)算，也是日常生活中經(jīng)常要用到的，運(yùn)用這些知識(shí)也可以解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。此外，公式中的變形如S扇=lr（圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖面積計(jì)算）及有關(guān)計(jì)算在學(xué)生中體現(xiàn)出一定的難度的。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解扇形的概念，理解n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算公式并熟練掌握它們的應(yīng)用。

2.從圓的周長(zhǎng)、面積公式入手，經(jīng)歷特殊到一般的過(guò)程，由微觀到宏觀，探究從n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l=，并進(jìn)而類(lèi)比探究扇形面積S扇=的計(jì)算公式。

3.結(jié)合教學(xué)過(guò)程，是學(xué)生認(rèn)識(shí)特殊到一般之間的關(guān)系，經(jīng)歷探索過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和應(yīng)用公式解決問(wèn)題的能力。

【教學(xué)重、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：弧長(zhǎng)和扇形面積公式的推倒過(guò)程以及公式的應(yīng)用。

難點(diǎn)：弧長(zhǎng)和扇形面積公式的探索以及熟練應(yīng)用公式解決實(shí)際問(wèn)題。

【教學(xué)過(guò)程實(shí)錄】

（一）情境引入

師：（展示課件）同學(xué)們，屏幕上展示的是學(xué)校召開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)的場(chǎng)景“在田徑200米運(yùn)動(dòng)跑比賽中，每位運(yùn)動(dòng)員的起跑位置相同嗎？每位運(yùn)動(dòng)員彎道的展直長(zhǎng)度相同嗎？”

生眾：不相同。

師：同學(xué)們知道其中的緣由嗎？（老師詢(xún)問(wèn)的眼光）

生1：因?yàn)槊恳粭l彎道的半徑不相同。

師：只有這個(gè)條件？

生2：在相同的圓心角的前提下，“每一條彎道的半徑不相同”。

師：同學(xué)們已經(jīng)看出問(wèn)題的本質(zhì)了。

（二）新知探究

師：在本章第一課時(shí)可知，彎道這一段曲線長(zhǎng)叫做弧長(zhǎng)，剛才同學(xué)們的回答中可以總結(jié)出：一段弧的長(zhǎng)度由何因素決定？

生3：這段弧所對(duì)的圓心角和半徑。

師：很好！這就是本課時(shí)我們要學(xué)習(xí)和解決的第一個(gè)問(wèn)題。（多媒體展示如下問(wèn)題）

思考1：①半徑為R的圓的周長(zhǎng)是多少？

②圓的周長(zhǎng)可以看作是多少度的圓心角所對(duì)的弧？

③1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少？2°、3°、…140°呢？

④n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少？

⑤（公式得出后展示）對(duì)于公式l=，當(dāng)r一定時(shí)，你能從函數(shù)的角度來(lái)理解弧長(zhǎng)與圓心角的關(guān)系嗎？

（上述問(wèn)題的展示，應(yīng)該是循序漸進(jìn)的，學(xué)生都能按照邏輯思考并回答問(wèn)題，對(duì)弧長(zhǎng)的概念鞏固及其計(jì)算，由一般到特殊的認(rèn)識(shí)過(guò)程，思路是清晰可見(jiàn)的。）

（多媒體展示三道選擇練習(xí)題，促使鞏固弧長(zhǎng)公式l=）

例1：制造彎形管道時(shí)，要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”，再下料，試計(jì)算圖所示管道的展直長(zhǎng)度L（單位：mm，精確到1mm）。

師：通過(guò)前述內(nèi)容的展示，審清此問(wèn)題題意，應(yīng)如何切題解決？

生4：根據(jù)題意圖示，此彎管應(yīng)分三個(gè)部分計(jì)算：兩直一彎。

師：主要針對(duì)計(jì)算的是哪一部分？

生眾：中間彎曲的部分，也就是弧長(zhǎng)的計(jì)算。

（由生口述，教師板演）

解：由弧線長(zhǎng)公式可得，弧AB的長(zhǎng)：l==500π≈1570（mm）

∴所求的管道的展直長(zhǎng)度為2970 mm

師：好！弧長(zhǎng)公式的推倒及鞏固到目前為止基本上完成，也達(dá)到了目的。可是再倒回去細(xì)看，不知道同學(xué)們是否注意到公式中的n和180都沒(méi)有帶上“°”（度）這個(gè)符號(hào)。（同學(xué)們的表情是驚訝的）

師：回顧推倒公式l=過(guò)程中，n是1°的圓心角的倍數(shù)，n不帶單位，180也是如此。

（（1）使學(xué)生明確弧是圓的一部分。因?yàn)橐龑?dǎo)學(xué)生分析弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之間的關(guān)系。使學(xué)生理解圓周角是1°的弧長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的是建立在弧長(zhǎng)公式的關(guān)系上，從而推出n°的弧長(zhǎng)公式。讓學(xué)生體會(huì)部分與整體之間的關(guān)系，并能應(yīng)用比例的方法解決部分與整體之間的關(guān)系。（2）設(shè)計(jì)文體，意在讓學(xué)生加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，明確在同圓中，弧長(zhǎng)是隨所對(duì)的圓心角的變化而變化的，當(dāng)圓心角一定時(shí)，弧長(zhǎng)也隨之確定。）

（配以適當(dāng)?shù)撵柟叹毩?xí)）

師：接下來(lái)我們一起研究本節(jié)課的另外一個(gè)問(wèn)題：扇形的面積。

首先結(jié)合圖形認(rèn)識(shí)扇性的定義：（教師板書(shū)）由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形。

（出具一組圖形，由學(xué)生辨別出哪些圖形是扇形）

師：認(rèn)識(shí)清楚扇形的定義和圖形后，扇形的面積就成了我們師生在本節(jié)課共同要解決的問(wèn)題，根據(jù)同學(xué)們預(yù)習(xí)的情況，你能類(lèi)比“弧長(zhǎng)”的學(xué)習(xí)方法，推導(dǎo)出“扇形的面積”嗎？

（學(xué)生思考、討論，教師深入其中參與小組互動(dòng)，待大多數(shù)同學(xué)點(diǎn)頭肯定后，請(qǐng)學(xué)生表述）

生5：老師，同樣可以從“圓面積” 作為基礎(chǔ)出發(fā)。

師：好，你說(shuō)說(shuō)。

生眾：圓可以看作圓心角為360°的“大”扇形。

師：非常好！你不但把圓和扇形有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，還用了一個(gè)“大”字，惟妙惟肖；（這個(gè)“大”字，體現(xiàn)了該生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)智慧，不但呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)，還呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的邏輯連貫的構(gòu)建）請(qǐng)繼續(xù)。

生5：因?yàn)閳A面積是S=πR2，那么1°的圓心角所對(duì)的扇形面積就是

師：漂亮，“龍的眼睛出來(lái)了”?。ń處熥魃宰魍ｎD手勢(shì)，使得絕大多數(shù)學(xué)生的思維都有一個(gè)緩沖的過(guò)程，都能跟上生的思維出發(fā)點(diǎn)，然后趁熱打鐵）那么2°、3°、4°…圓心角的扇形面積分別是多少？

生眾：

師：好，已經(jīng)初具規(guī)模了。（眼光繼續(xù)凝視著生）接下來(lái)，你會(huì)給我們提出什么問(wèn)題？

生5：n°圓心角的扇形面積是多少？

師：請(qǐng)生回答。

生6：n°圓心角所對(duì)的扇形面積為S=。

師：同學(xué)們真了不起！通過(guò)前半節(jié)課對(duì)“弧長(zhǎng)”的學(xué)習(xí)，我們用類(lèi)比的方法，同學(xué)們自身探討除了“扇形的面積公式”，這種類(lèi)比的學(xué)習(xí)，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，同學(xué)們要好好地掌握它。

（評(píng)析：扇形的面積公式的學(xué)習(xí)，完全可以相信學(xué)生具有類(lèi)比的思維能力，在學(xué)生已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上把學(xué)習(xí)的主動(dòng)性放手給學(xué)生，既尊重了學(xué)情，又調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，更重要的是學(xué)生在師生共同營(yíng)造的探究氛圍中主動(dòng)思考，突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)。）

（輔以3題適當(dāng)?shù)撵柟叹毩?xí)）

師：現(xiàn)在我們可以總結(jié)：① 弧長(zhǎng)的公式：l=

②扇形面積公式：S=

（在PPT上展示這兩個(gè)公式）

師：這兩個(gè)公式寫(xiě)在同一個(gè)位置，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，有什么問(wèn)題可以思考嗎？

（學(xué)生思考、討論，教師深入其中。）

生7：和弧長(zhǎng)公式相同，扇形面積公式中的n、360同樣不帶單位。

師：個(gè)中緣由剛才在弧長(zhǎng)公式中已經(jīng)闡述，關(guān)鍵詞是“倍數(shù)關(guān)系”；還能觀察出其他問(wèn)題嗎？

生8：從兩個(gè)公式的聯(lián)系和區(qū)別看，兩個(gè)公式的分母不同，且扇形的面積公式中的R帶有平方。

師：細(xì)微指出見(jiàn)真情！這也是我們學(xué)習(xí)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)（公式）的應(yīng)用過(guò)程中必須清醒的一面，很有必要。還能再對(duì)這兩個(gè)公式細(xì)細(xì)品味嗎？

（學(xué)生陷入沉思，教室一片寂靜）

師：（教師提示）如果對(duì)公式S=進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹爸狻蹦?？能“湊”出一個(gè)弧長(zhǎng)公式嗎？（適當(dāng)提示后，從很多學(xué)生的眼神中能讀出“恍然大悟”）能試試嗎？

生9：從公式S=能拆解出：S=·R，其中出現(xiàn)了，就是弧長(zhǎng)公式的一部分。

生10：（搶著說(shuō)）這樣S扇=lR了。

（教師希望看到的就是這種“接龍”）

（教師板演S扇=lR）此結(jié)果，是通過(guò)比較扇形面積和弧長(zhǎng)公式后，用弧長(zhǎng)表示扇形S扇=lR）

（評(píng)析：“細(xì)細(xì)品味”，教師雅致略帶“俏皮”的言語(yǔ)，悉心的牽引，促使學(xué)生構(gòu)建邏輯連貫的數(shù)學(xué)思維，也有助于學(xué)生多角度探究問(wèn)題意識(shí)的形成。）

（三）知能升級(jí)（施以適當(dāng)?shù)幕A(chǔ)鞏固練習(xí)及提高練習(xí)，略）

（四）整理反思

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們都有哪些收獲？

生11：對(duì)弧長(zhǎng)和扇形面積有了比較深刻的了解。

師：在這兩個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程中，我們抓住了哪些關(guān)鍵點(diǎn)？

生12：事先都是從整個(gè)圓入手，又抓住了“1°的圓心角”這一微觀而又具體的知識(shí)點(diǎn)，循序漸進(jìn)，直至n°圓心角，形成了“宏觀—微觀—宏觀”的思維鏈條。

師：好樣的，生的總結(jié)堪比數(shù)學(xué)老師還精辟。

生13：探究扇形面積公式與探究弧長(zhǎng)的計(jì)算公式的思維和方法是一致的，用到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的“類(lèi)比”。

師：對(duì)，“類(lèi)比”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中一種重要的思想方法，類(lèi)比舊知學(xué)新知，是同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識(shí)的有效策略。

（配合多媒體展示，教師總評(píng)）

弧長(zhǎng)公式，扇形的定義，扇形的面積公式以及弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式之間的聯(lián)系。（S扇=lR）

推導(dǎo)兩個(gè)公式過(guò)程中的思路：宏觀（圓）—微觀（1°、2°、3°、…的圓心角—宏觀（n°圓心角），體會(huì)到部分與整體之間的關(guān)系。

類(lèi)比的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法在學(xué)習(xí)過(guò)程中的充分體現(xiàn)。

（五）布置作業(yè)：略

編輯 謝尾合