案例教學在《應用隨機過程》中的探索和實踐

劉秀芹，馬　亮，李　娜

(1.北京科技大學數(shù)理學院，北京100083;　2.中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院應用數(shù)學所，北京100190;

3. 中國科學院動物研究所，北京100101)

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案例教學在《應用隨機過程》中的探索和實踐

劉秀芹1，馬亮2， 3，李娜1

(1.北京科技大學數(shù)理學院，北京100083;2.中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院應用數(shù)學所，北京100190;

3. 中國科學院動物研究所，北京100101)

[摘要]通過C-K方程在推斷系統(tǒng)發(fā)育樹中的應用的角度對案例教學法進行了探索和實踐，并在此基礎上對應用隨機過程的教學進行了幾點粗略的探討.

[關鍵詞]案例教學; C-K方程; 馬氏鏈; 系統(tǒng)發(fā)育

1引言

應用隨機過程是一門即抽象又與實際緊密結合的學科.筆者在教學過程中強調隨機過程在實際中的應用，并結合自身的科研工作情況，把隨機過程在科技前沿中的應用案例引入到日常教學過程中來，不但豐富了教學內容，擴大了課堂信息量，而且激發(fā)了學生的學習興趣，提升了學生對抽象理論的理解能力，使學生的思維得到不斷攀升.下面僅以切普曼—柯爾莫格洛夫方程的教學為例，在隨機過程講解過程中進行案例教學法的探索和實踐.

2切普曼—柯爾莫格洛夫方程的概念及其在推斷系統(tǒng)發(fā)育樹中的應用

齊次馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣是描述馬爾可夫鏈概率分布的最重要的內容，而切普曼—柯爾莫格洛夫方程是求解轉移概率矩陣的橋梁.

2.1　切普曼—柯爾莫格洛夫方程

設{X(t)， t≥0}是連續(xù)時間齊次馬爾可夫鏈，以下簡稱馬氏鏈，pij(t)是該馬氏鏈由狀態(tài)i經過t時間轉移到狀態(tài)j的轉移概率，對任意的s， t，它滿足

稱之為連續(xù)時間齊次馬氏鏈的切普曼—柯爾莫格洛夫方程，簡稱為C-K方程[1].

目前《應用隨機過程》的教材中很少提及這一抽象方程在實際中的應用，筆者在進行數(shù)學與生物交叉學科的研究過程中發(fā)現(xiàn)了C-K方程在推斷系統(tǒng)發(fā)育樹中的應用這一精彩案例.在應用隨機過程的講解過程中采用首先引入抽象的數(shù)學公式，然后結合該公式在實際中的應用這一導入式教學法，從而進一步加深學生對這一公式的理解，起到了很好的教學效果.

2.2　C-K方程在推斷系統(tǒng)發(fā)育樹中的應用[2]

生物學家是如何推斷人類、黑猩猩、大猩猩之間的系譜關系的呢？

我們知道生物的DNA與RNA序列承載著遺傳物質，直觀來講，兩個物種之間親緣關系越近，他們相應的DNA或者RNA序列的差異越小.下面使用人類和猩猩的線粒體12S rRNA數(shù)據(jù)舉例說明如何計算兩個物種之間的距離.

經過對人類和猩猩的線粒體基因組12S rRNA序列比對(見圖1)，計算出總的位點數(shù)和錯配的數(shù)量分別為n=948和x=90.

圖1　序列比對示意圖

如果假設物種變異的速率是固定不變的，那么兩個物種分化的時間越長，他們序列中有差異的位點越多，相應地，他們之間的遺傳距離也應該越遠，從而定義如下距離，即配對距離(又稱為錯配概率).

但是錯配距離忽略了以下的情況：

圖2　物種序列演變示意圖

如圖2可見一條祖先序列分化為兩條子序列，在整個進化過程中發(fā)生了10次堿基替代，但是在兩個后代序列中只能觀測到兩個堿基的變異.

為了考慮不可觀測的堿基變異，下面用馬氏鏈模型來描述物種的演化過程，即把每個位點隨著時間的變化看成一個連續(xù)時間有限狀態(tài)馬氏鏈{X(t)， t≥0}，其狀態(tài)空間為S={T，C，A，G}，設它的轉移概率矩陣為，

馬氏鏈的轉移概率滿足切普曼—柯爾莫格洛夫方程：

圖3　C-K方程時間狀態(tài)轉移示意圖

馬氏鏈模型是如何把不可觀測的堿基變異(圖2)也考慮在內的呢？這主要是因為馬氏鏈從狀態(tài)i到狀態(tài)j的轉移概率囊括了所有可能發(fā)生的進化過程(如圖3所示).

在一定條件下，從C-K方程出發(fā)可以推出轉移概率滿足柯爾莫哥洛夫向前和向后方程，

P′(t)=P(t)Q和 P′(t)=QP(t)

(1)

其中Q=(qij)n×n為狀態(tài)之間的狀態(tài)轉移速率矩陣，qij為狀態(tài)i替換為狀態(tài)j的瞬時速率.1969年JukesandCantor[3]給出了一類簡單的核苷酸替代模型JC69(式(2)所示)，假設四種堿基有相同的替代速率，

TCAG

(2)

其中qijΔt表示在很短的時間Δt內狀態(tài)i轉變?yōu)闋顟B(tài)j的概率.(1)式的解為

TCAG

(3)

其中

那么我們如何把這個模型應用于矯正兩個物種序列之間的距離呢？

顯然此馬爾可夫鏈的極限分布為

在應用與計算物種間距離的時候，我們一般總是假設過程已經達到平穩(wěn)狀態(tài).

假設兩條序列從一個共同祖先發(fā)生分歧，經過t/2時間演化到現(xiàn)在的狀態(tài)(圖4 左)，可是我們實際并不知道祖先的狀態(tài).由于轉移矩陣以及極限分布的對稱性，此馬爾可夫鏈是時間可逆的，即對于t≥0，?i，j∈S有

πipij(t)=πjpji(t).

圖4

因此我們可以把一條序列視作另一序列的祖先，而把實際的祖先作為中間點，利用C-K方程遍歷其所有可能狀態(tài)(圖4右)，

下面估計兩條序列之間的距離，從(2)式可見任意一個堿基被其他三種堿基替代的速率總和為3λ，由此兩個序列之間的距離可表示為d=3λt， 從而λ=d/3t.

從式(3)可知，兩條序列中的堿基變化的概率為

解得

基于物種的線粒體rRNA序列，使用上述方法計算下列物種間的距離矩陣(表1)，從表1可以看到，人類和黑猩猩最近，首先把這兩個物種看成一類(A)，使用這一類中各物種與其他類中物種的距離的算數(shù)平均值表示類A和其他物種之間的距離(表2).

表1 各物種之間的距離1.人類2.黑猩猩0.09653.大猩猩0.11400.11804.猩猩0.18490.20090.19471.人類2.黑猩猩3.猩猩

表2 各類之間的距離A大猩猩0.116猩 猩0.19290.1947A大猩猩

如此下去，就構建出了他們之間的系統(tǒng)發(fā)育關系(圖5)

圖5　各物種之間的系統(tǒng)發(fā)育樹及示意圖

相比于離散時間馬爾可夫鏈，連續(xù)時間馬氏鏈的轉移概率及C-K方程的概念更加抽象，計算也更加復雜.通過結合C-K方程在進化生物學中推斷系統(tǒng)發(fā)育樹方面的應用來將抽象的概念具象化，從而加深學生在學習中的理解.

3應用隨機過程教學中的幾點探討

3.1　注重由淺入深，結合實際背景講解基本概念

隨機過程是研究自然界中隨機現(xiàn)象變化過程的一門學科，它在金融、通信、生物、控制等科學技術領域都有廣泛的實際應用.由于研究對象隨機性、復雜性的特點，隨機過程的概念相對比較抽象.在講解過程中注重由淺入深，以最樸素的語言介紹隨機過程的基本理論和分析方法，通過大量精選例題使學生能夠比較容易的理解隨機過程的基本概念；采用形象生動的圖形展現(xiàn)隨機過程的一些關鍵知識點(例如，隨機過程的樣本曲線，柯爾莫哥洛夫前進后退方程的時間狀態(tài)對應示意圖等)；講解基本概念時通?？梢詫⑵渑c具體的應用實例結合起來，使學生更容易接受.例如，對隨機過程定義的講解，可以結合具體的實例，如生物種群的增長問題，手機接收到的電話次數(shù)問題，超市的客流量問題等；再如講到泊松過程的時候，可以結合某盞燈更換燈管的數(shù)量；而復合泊松過程的講解可以結合乘飛機抵達機場的乘客人數(shù)，保險公司的保險儲備金數(shù)量等.

3.2　從案例整合和結合前沿方面構建課程內容

任課教師應該結合自己的科研情況，把隨機過程在科技前沿中的應用引入到教學過程中，只有充分考慮當前科學綜合、交叉、滲透的發(fā)展趨勢，做到教學內容不僅能幫助學生理解隨機過程最本質的東西，而且能了解各種基本規(guī)律之間，各分支之間的聯(lián)系，同時，將一些知識點組合成為案例，通過研究者的思想、語言和方法，集中傳遞科學思想.把反映當前科學前沿的內容整合到教學中，給學生逐步走向科技前沿起引領作用.

4小結

在應用隨機過程教學過程中盡量穿插一些它在交叉學科中的應用的實例，培養(yǎng)學生的“應用意識”[4]，從而達到為國家輸送高質量的優(yōu)秀人才的目的.

[參考文獻]

[1]林元烈.應用隨機過程[M].北京：清華大學出版社，2002.

[2]Ziheng Yang. Computational Molecular Evolution[M].Oxford: Oxford University Press， 2006.

[3]Jukes TH, Cantor CR. Evolution of protein molecules[M]∥ln H. N. Munro(Ed). Mammalian protein metabolism. New York: Academic, 1969:21-132.

[4]劉秀芹，趙金玲，范玉妹.剖析馬氏鏈平穩(wěn)分布的講解——談《應用隨機過程》教學[J]. 大學數(shù)學，2011， 27(4):199-202.

Exploration and Practice of Case Teaching in Applied Stochastic Process

LiuXiu-qin1，MaLiang2，3，LiNa1

(1.College of mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing 100083,China;

2. Institute of applied mathematics， AMSS，CAS， Beijing 100190, China;

3.Institute of zoology， CAS， Beijing 100101, China)

Abstract:We have some exploration and practice of case teaching from the point of view of the application of C-K equation in inferring phylogenetic tree， and then give a simple discussion on the teaching of Applied Stochastic Process.

Key words:Case Teaching; C-K equation; Markov Chain; phylogenetic tree

[基金項目]北京科技大學研究型教學示范課項目(KC2014YJX36)；北京科技大學研究生教育發(fā)展基金；北京科技大學教研基金(JG2012M38)

[收稿日期]2015-01-03

[中圖分類號]O211.6

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0101-05