案例式中心極限定理教學研究

陳學慧，趙魯濤，張志剛

(北京科技大學數(shù)理學院，北京100083)

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案例式中心極限定理教學研究

陳學慧，趙魯濤，張志剛

(北京科技大學數(shù)理學院，北京100083)

[摘要]以案例教學法作為中心極限定理教學的主要手段，選取貼近實際生活的案例——合理規(guī)劃用電問題和競爭問題，作為教學切入點，激發(fā)學生學習興趣，引導學生從實際情景中發(fā)現(xiàn)問題解決問題.課堂實踐表明，案例式教學加深了學生對中心極限定理的理解和應用，開闊了學生視野，并對促進課堂教學，課程建設，師生能力提高都有重要意義.

[關(guān)鍵詞]中心極限定理; 競爭問題; 正態(tài)分布; 案例式教學

1引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究探索客觀世界隨機現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學學科，它以隨機現(xiàn)象為研究對象，是現(xiàn)代數(shù)學的重要分支，在金融、保險、經(jīng)濟與企業(yè)管理、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)學、地質(zhì)學、氣象與自然災害預報等諸多領(lǐng)域都起著非常重要的作用[1].作為概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中一個非常重要的定理，中心極限定理在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識體系中起著承上啟下的作用，數(shù)理統(tǒng)計中大多統(tǒng)計方法基本以中心極限定理為理論基礎(chǔ).利用中心極限定理，自然界與生產(chǎn)中許多紛亂復雜的隨機變量序列和的分布可以利用正態(tài)分布近似，而正態(tài)分布有著許多重要完美的結(jié)論，從而可以獲得普遍適用的統(tǒng)計分析方法和結(jié)論.中心極限定理有著廣泛的實際應用背景，在數(shù)理統(tǒng)計、管理決策、近似計算以及保險業(yè)等諸多領(lǐng)域中有著重要的應用價值.

中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計學科教學中的一個難點，學生難以短時間內(nèi)理解，為了使學生掌握定理并能很好的運用定理解決問題，不少教師在其教學方法上進行了探討.案例式教學是教學改革的有效方式[2]，它不同于傳統(tǒng)的教學方法，是一種以案例為基礎(chǔ)的教學，教師在教學中扮演著設計者和激勵者的角色，引導激發(fā)學生積極參與分析問題和解決問題，加深學生對中心極限定理的理解和應用.本文將重點研究如何選取貼近現(xiàn)實生活的實例，并按照“案例導入、提出問題、分析求解和思考拓展”的順序， 由易而難、逐漸深入的對相關(guān)模型和應用進行講授分析.

2案例導入

案例1(住宅小區(qū)用電規(guī)劃問題)城市設計院對某住宅小區(qū)設計時估算用電負荷，設該小區(qū)有300戶居民，晚5∶30-7∶30每戶居民使用電器總功率Xi~U(1，3) (單位:kW)， 則該小區(qū)用電負荷設計至少多大才能以0.99的概率保證居民正常用電？

引導學生分析設用電負荷設計為hkW，記Y為該小區(qū)總電器功率(單位：kW)，則

(1)

注意到 X1，X2，…，X300相互獨立，即由

P{Y≤h}≥0.99，

求h.于是，需要知道300個獨立的隨機變量和的分布，那么這大量隨機變量和的分布該如何計算呢？

案例2(競爭問題)假設北京與廣州之間有兩個不同航空公司的航班，兩個航班的機型、出發(fā)到達時間及價格都相同. 現(xiàn)假定有500位乘客選乘哪一航班是相互獨立且是等可能的，且飛機的成本入座率是75%，問飛機設置多少座位可使航班虧損的概率控制在0.05？

引導學生分析記X為500人中選乘某航班的人數(shù)，設飛機設有s個座位.由題意，由P{X<0.75·s} =0.05，求s，注意到X服從二項分布B(500，0.5)，但直接求s計算非常復雜，無法求出.若將X看成500個兩點分布的和，那么大量隨機變量和的分布的極限分布會是什么分布呢？

案例3(觀察實驗)

(i) n個獨立同均勻分布的隨機變量的和的分布

圖1　獨立同均勻分布的隨機變量的和的分布圖

(ii) n個獨立同泊松分布的隨機變量的和的分布

圖2　獨立同泊松分布的隨機變量的和的分布圖

引導學生觀察兩組分布圖，直觀地看出獨立隨機變量和的分布的趨向——正態(tài)分布.

3提出中心極限定理

中心極限定理研究的是在什么條件下，獨立隨機變量和的極限分布是正態(tài)分布.為使學生真正理解中心極限定理的內(nèi)涵，解釋以下四個問題：

(i) 為什么中心極限定理研究和的極限分布，而不是精確分布？

(ii) 為什么獨立隨機變量和的極限分布是正態(tài)分布，而不是別的分布？

(iii) 如何描述極限分布是正態(tài)分布？

(iv) 為什么稱為中心極限定理，這個“中心”是什么意思？

3.1　列維-林德貝格中心極限定理

(ii)?i，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，0<σ2<∞.

(2)

并具有應用形式

(3)

或者

(4)

3.2　隸莫佛-拉普拉斯中心極限定理

(5)

一般在實際應用中， 若X~B(n，p)，當n較大時， 可使用如下近似公式

(6)

或者

(7)

4分析求解

案例1求解因為Xi~U(1，3)，所以EXi=2，DXi=1/3，可以求得

EY=600，DY=102，

由列維—林德貝格定理知

因此

查表得Φ(2.33)=0.9901，求得h≥623.3，即該小區(qū)用電負荷設計至少為623.3千瓦時，才能以0.99的概率保證居民正常用電.

案例2求解因為X服從二項分布B(500，0.5) 易算得：

EX=250，DX=125，

由中心極限定理知

因此

從中解得s≈309.即航空公司選購309個座位的飛機，可使入座率小于75%的概率控制在0.05.

5Matlab實現(xiàn)與拓展思考

利用Matlab軟件強大的計算功能，得到座位數(shù)s與損失概率

的函數(shù)關(guān)系α=f(s)，如圖3所示：

圖3中，橫坐標為設置座位數(shù)，縱坐標為損失概率，顯然隨著座位數(shù)的增多，飛機虧損的概率嚴格單調(diào)遞增，在座位數(shù)333附近的區(qū)間(309，358)內(nèi)數(shù)值變化劇烈，正好符合正態(tài)分布“中間大兩頭小”的特性.隨著座位數(shù)的減小，損失的概率趨于0.

圖3　座位數(shù)與虧損概率函數(shù)關(guān)系圖

思考拓展1飛機座位越少越好嗎？

分析不是.座位少可能引起乘客人員的損失，所以應該是在飛機控制在較低虧損可能性的情況下，使飛機的收益最大化.讓同學課后思考，比較普通的空客客機A330與南航巨無霸A380，在競爭中，誰盈利的可能性更大.

思考拓展2同一航線上如果有多個航空公司競爭，如何設置飛機座位？

分析設有m個航班競爭n位乘客，航班的成本入座率為k， 選乘某個航班的顧客數(shù)X服從二項分布B(n， 1/m)，航空公司給定一個虧損風險a， 座位數(shù)設為s， 據(jù)題意：由

P{X

求 s.

由中心極限定理知

所以有

(8)

進而得到s=g(α，k，n，m)關(guān)系式為

(9)

當給定α=0.05， k=0.75， n=1000 時，計算出s=g1(m)如圖4所示.

圖4　座位數(shù)s與航班數(shù)m的函數(shù)關(guān)系圖

由此可以看出，競爭者增多，只要機型選擇適當，仍可保證航班的盈利.引導學生思考類似問題，比如某地區(qū)多家電影院競爭觀眾的座位設置問題以及某區(qū)域幼兒園的規(guī)模設置問題等.

6結(jié)論

案例式教學研究中，城市用電規(guī)劃問題和競爭問題是我們生活中常見問題.采用中心極限定理來解決上述問題，引導學生對實際問題進行觀察分析，建立實際例題與中心極限定理之間的聯(lián)系，獲得實用而簡單的統(tǒng)計分析方法和結(jié)論.實際上，生活中有許多事物，都可以用概率的眼光去發(fā)現(xiàn)研究.通過對實例的分析，意在培養(yǎng)學生自覺主動地用課堂上悟到的思想去分析他所見到的，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，是大學數(shù)學教師的責任和追求.

[參考文獻]

[1]范玉妹，王萍，汪飛星，李娜.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 2版.北京：機械工業(yè)出版社，2012.

[2]徐群芳.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課堂教學的探索與實踐[J]. 大學數(shù)學，2010，26(1):10-13.

The Study on Case-based Teaching Method of

Central Limit Theorem

CHENXue-hui，ZHAOLu-tao,ZHANGZhi-gang

(School of Mathematics and Physics， University Of Science and Technology Beijing， Beijing 100083， China)

Abstract:An actual case is chose for central limit theorem by case-based teaching method， which is the issue on reasonable planning of electricity usage and the competitive consideration. Moreover it will motivate the interests of students and guide them to find and solve problems. Practices in class indicated that case teaching method deepened the comprehension on central limit theorem， widen their views. It has important significance for the improvement of class teaching， curricula construction and capacity improving of teachers and students.

Key words:central limit theorem; the problem of competition; normal distribution; case-based teaching

[基金項目]北京高等學校青年英才計劃項目(YETP0386)

[收稿日期]2015-02-15

[中圖分類號]O21

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)02-0114-05