矩陣跡的妙用

賈利新

(信息工程大學(xué)理學(xué)院，鄭州450001)

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矩陣跡的妙用

賈利新

(信息工程大學(xué)理學(xué)院，鄭州450001)

[摘要]通過例子論述了矩陣跡在特征值問題、行列式計(jì)算以及矩陣性質(zhì)證明中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞]矩陣; 跡； 行列式； 特征值

1引言

本文中，Mm,n(C)和Mn(C)分別表示全體m×n和n階復(fù)方陣的集合.設(shè)

A=(aij)∈Mn(C)，

(ii) 設(shè)A,B∈Mn(C)，α,β是兩個(gè)復(fù)數(shù)，則tr(αA+βB)=αtr(A)+βtr(B)；

(iii) 設(shè)A∈Mm,n(C)，B∈Mn,m(C)，則tr(AB)=tr(BA)；

(iv) 設(shè)A∈Mm,n(C)，則A=O當(dāng)且僅當(dāng)tr(AA*)=0.

2矩陣的特征值問題

解法1注意到rankA=1，因此A至多只有一個(gè)非零特征值.因?yàn)?/p>

例3計(jì)算n階矩陣

的特征值.

例4計(jì)算矩陣

的特征值.

解

觀察到其第一列與第二列和為零，第一列與第三列和為零，第一列與第四列相同，即

同時(shí)三個(gè)列向量(1,1,0,0)T,(1,0,1,0)T,(1,0,0,-1)T線性無關(guān)，因此0至少為A-I的三重特征值，由于tr(A-I)=4，因此A-I的特征值為0,0,0,4，從而A的特征值為1,1,1,5.

3計(jì)算行列式問題

解令

解令

(na+(x-a))(x-a)n-1.

4矩陣性質(zhì)的證明問題

因此

存在.

兩側(cè)令n→∞，便有

例8設(shè)A是n×n復(fù)矩陣，則A=A*的充要條件是A2=A*A(或A*2=A*A).

證必要性顯然.以下證明充分性，由于A2=A*A，所以A*2=A*A，

tr(A-A*)(A-A*)*=tr(AA*-A2-A*2+A*A)

=tr(AA*-A*2)=trAA*-trA*2=trA*A-trA*2

=tr(A*A-A*2)=0.

A*2=A*A時(shí)的證明是類似的.

本文列舉的8個(gè)例題，采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法有的是很難求解的，有的計(jì)算量是十分大的，引入矩陣跡這一工具后，問題的求解過程十分簡(jiǎn)潔.盡管大多數(shù)高等代數(shù)教材關(guān)于矩陣跡的論述并不多，但教師在授課中要重視這部分內(nèi)容，要有針對(duì)性地選配一些例題供學(xué)生參考，使學(xué)生體會(huì)矩陣跡的妙用.

[參考文獻(xiàn)]

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[2]楊字胥，高等代數(shù)習(xí)題解[M]. 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1984.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

The Application of the Trace of Matrice

JIALi-xin

(Institute of Sciences, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China)

Abstract:The applications of matrix trace in eigenvalue problem, computation of determinate,and the proof of matrix properties are discussed by examples.

Key words:matrice; trace; determinate; eigenvalue

[收稿日期]2013-12-09

[中圖分類號(hào)]O151.21

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)02-0097-04