常微分方程組求解的案例式教學(xué)探索

李　穎，　倪谷炎，　周　敏

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系，湖南長沙410073)

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常微分方程組求解的案例式教學(xué)探索

李穎，倪谷炎，周敏

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系，湖南長沙410073)

[摘要]常微分方程在高等數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，在該部分內(nèi)容的教學(xué)過程中引入適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)案例，旨在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的熱情和提高學(xué)生解決實際問題的能力.本文以傳輸線理論中的微分方程—電報方程求解為教學(xué)案例，在給出案例的研究背景和數(shù)學(xué)描述之后，求解電報方程獲得了集總源激勵下的傳輸線終端響應(yīng)，并結(jié)合具體算例分析其物理意義.

[關(guān)鍵詞]常微分方程； 案例式教學(xué)； 傳輸線響應(yīng)

1案例背景

實踐與應(yīng)用是常微分方程的顯著特點，在眾多學(xué)科中都有應(yīng)用常微分方程的方法和理論建立起來的數(shù)學(xué)模型，因此常微分方程的教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)了多學(xué)科知識的交叉和滲透.這就要求教師在教學(xué)過程中不僅要使學(xué)生弄清楚常微分方程的一些基本理論和掌握各種類型方程的求解方法，還要讓學(xué)生了解一些把實際問題歸結(jié)為適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型的途徑和方法，為他們今后運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題打下堅實的基礎(chǔ).在介紹常微分方程類型以及解法時補充相關(guān)的一些科研成果，不但不會增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，反而會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，此外還反映了時代的氣息，培養(yǎng)了學(xué)生的科研意識.從體系上來說，可以達(dá)到將單純的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變成知識、思想方法和應(yīng)用三位一體新知識結(jié)構(gòu)的目的，從而起到素質(zhì)培養(yǎng)、能力提高、技能訓(xùn)練為一體和諧發(fā)展的作用.我們將科研中集總源激勵下的雙導(dǎo)線傳輸線響應(yīng)問題轉(zhuǎn)化成高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中的具體案例，是對常微分方程案例式教學(xué)方式的一種有力嘗試.

傳輸線理論是電磁兼容分析的重要理論，通常采用電報方程及相應(yīng)的傳輸線耦合模型的形式來計算傳輸信號，其計算精度能夠符合大多數(shù)工程應(yīng)用的需要[1-2].一般情況下，傳輸線上的電壓源和電流源可以產(chǎn)生天線模型和傳輸線模型兩種響應(yīng).因此，傳輸線上的總電流分布就等于這兩種模型共同的響應(yīng)電流.但是，在很多電磁兼容分析中，對于只需要研究給定負(fù)載的終端響應(yīng)情況時，計算傳輸線模型電流就已經(jīng)足夠了，因為天線模型電流在負(fù)載終端處消失[2].傳輸線集總激勵是指傳輸線上某些位置有若干個原始激勵源對傳輸線自身產(chǎn)生激勵，這些離散的激勵可以在整個線路里產(chǎn)生響應(yīng).下面幾種情況均可以出現(xiàn)集總電壓或電流激勵現(xiàn)象：計算機系統(tǒng)中時鐘發(fā)生器產(chǎn)生的噪聲，計算機主板上高頻數(shù)字信號和模擬信號之間的干擾，由系統(tǒng)中導(dǎo)體故障產(chǎn)生的短路以及在PCB板上靜電放電產(chǎn)生的沖擊[1].本文對集總源激勵下雙導(dǎo)線傳輸線的負(fù)載電流和電壓響應(yīng)進(jìn)行研究，探討其電報方程，即微分方程組的求解問題.

2案例的數(shù)學(xué)描述

對于集總源激勵的均勻無限長雙導(dǎo)體傳輸線而言，如圖1所示，

圖1　均勻無限長雙導(dǎo)體傳輸線

其對應(yīng)的電報方程[1]為

(1)

其中Z為單位長度阻抗，Y為單位長度導(dǎo)納.由于是均勻傳輸線，傳輸線參數(shù)Z和Y與坐標(biāo)位置無關(guān).因此電報方程(1)實際上是一個常微分方程組.

3常微分方程組的求解

將微分方程組(1)去耦后可得到兩個關(guān)于電壓和電流的波動方程：

(2)

(3)

反向電壓行波和電流行波分別為

該二階微分方程組的通解因此可表示為兩個方向的行波組合

(4)

(5)

接下來探討附加了邊界條件的常微分方程組(1)求解問題.考慮集總電壓源和電流源激勵下的均勻有限長雙導(dǎo)體傳輸線，如圖2所示，雙導(dǎo)體傳輸線線長均為l，兩端端接負(fù)載阻抗為ZL1，ZL2，傳輸線受到x=xs處的串聯(lián)電壓源V0和并聯(lián)電流源I0的激勵.即電報方程(1)附加了x=xs處的邊界條件：電流不連續(xù)差為I0，電壓不連續(xù)差為V0，以及傳輸線兩端負(fù)載1和負(fù)載2處的邊界條件：

V1=-ZL1I1，

V2=ZL2I2，

(6)

其中(6)式中的負(fù)號來自于定義沿線傳播的電流為正.

圖2　任意集總源激勵的有限長端接負(fù)載雙導(dǎo)體傳輸線

設(shè)電報方程(1)的通解為

(7)

(8)

定義傳輸線終端負(fù)載的電壓反射系數(shù)

將其代入(6)再進(jìn)而代入(7)和(8)中，可得a1=ρ1b1，b2=a2ρ2e-2γl.再結(jié)合x=xs處的邊界條件，可得

(9)

(10)

于是，求得帶兩個邊界條件的電報方程(1)的一般解為

(i) x

(11)

(ii) x>xs

(12)

在(11)和(12)中分別令x=0和x=l，可得傳輸線兩個負(fù)載終端上的響應(yīng)電壓和電流為

(13)

(14)

注1上述電壓和電流是線電壓和電流，x=0處負(fù)載電流為線電流的負(fù)值，x=l處負(fù)載電流等于線電流，仍以I1表示x=0處的電流響應(yīng).

注2將傳輸線負(fù)載處的電壓和電流響應(yīng)改寫成另一種矩陣形式

(15)

(16)

其中S1=eγxs(V0+ZcI0)/2，S2=-eγ(l-xs)(V0-ZcI0)/2.方程(15)和(16)即為BLT方程[1].

注3BLT方程最早由Baum，Liu和Tesche三人基于經(jīng)典均勻傳輸線方程推導(dǎo)出來的經(jīng)典方程[3]，并逐漸發(fā)展成為解決強電磁環(huán)境下復(fù)雜系統(tǒng)的電磁干擾與耦合問題的方法.該方程是求解傳輸線響應(yīng)的緊湊矩陣形式，便于編程，易于推廣.在系統(tǒng)電磁兼容分析與電磁干擾研究方面有著廣泛的應(yīng)用[4].

4數(shù)值仿真算例

研究只有電壓源激勵下的傳輸線終端響應(yīng)情況，其結(jié)構(gòu)如圖3所示.

圖3　由集總電壓源激勵的雙導(dǎo)體傳輸線

傳輸線長度l=9米，線半徑a=0.1厘米，線間距d=0.5米，終端負(fù)載Z1=50歐姆，Z2=100歐姆，特性阻抗

自由空間介電常數(shù)ε0=8.85×10-12F/m，自由空間磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m，傳播常數(shù)

情況1作用于xs=2.5米處的電壓源為V0=1.利用微分方程組(1)在傳輸線終端的解——BLT方程(16)求得集總電壓源激勵的雙導(dǎo)體傳輸線終端負(fù)載處的電流響應(yīng)，如圖4和圖5所示.

圖4　終端x=0處的負(fù)載電流響應(yīng)　　　　　　　圖5　終端x=9m處的負(fù)載電流響應(yīng)

從圖4和圖5可以看出，電流波形發(fā)生了振蕩現(xiàn)象，這是由于終端不匹配，在傳輸線中存在諧振造成的，它對應(yīng)于負(fù)載上的反射波.

情況2作用于xs=2.5米處的電壓源為雙指數(shù)電磁脈沖

如圖6所示.利用BLT方程的時域形式求得集總電壓源激勵的雙導(dǎo)線傳輸線終端負(fù)載處的瞬態(tài)響應(yīng)，如圖7所示.

圖6　雙指數(shù)電磁脈沖波形　　　　　　　圖7　終端x=9m處的負(fù)載電流瞬態(tài)響應(yīng)

從圖7可以看出，在x=9m處直到時刻t=2.1×10-8s才有響應(yīng)，說明源信號到達(dá)終端有時延現(xiàn)象.在時刻t=5.1×10-8s形成第1個最強尖峰，對應(yīng)從x=9m端的一個往返時間.

由此可知，BLT方程在分析傳輸線頻域與時域響應(yīng)時均具有計算簡便又能得到準(zhǔn)確的結(jié)果的優(yōu)勢.

5 總結(jié)

由于案例的作用旨在引起學(xué)生勇于實踐，深入探索教學(xué)案例中的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生解決實際問題的能力.因此在常微分方程的教學(xué)過程中引入案例是對傳統(tǒng)課堂教學(xué)的有利補充，以期解決學(xué)生缺乏創(chuàng)造性的頑疾，同時對提高教師的授課效果，擴展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性的具有積極意義，是一種教學(xué)方式的有力嘗試.

本文基于傳輸線理論結(jié)合數(shù)學(xué)建模和常微分方程求解知識，解決了集總源激勵下雙導(dǎo)體傳輸線的響應(yīng)問題.首先給出了案例的研究背景以及數(shù)學(xué)描述.接下來，對雙導(dǎo)線系統(tǒng)的電報方程求解，并針對電壓源激勵傳輸線時頻響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值仿真計算.教學(xué)案例中所獲得的數(shù)值仿真結(jié)果可用于分析電磁干擾問題，從而為傳輸線干擾信號抑制提供技術(shù)指導(dǎo).

[參考文獻(xiàn)]

[1]Tesche F M， Ianoz M V and Karlsson T. EMC analysis methods and computational models[M]. New York: John Wiley & Sons， 1997.

[2]Ushida H. Fundamentals of coupled lines and multiwire antenns[M]. Japan， Sendi: Sasak Press， 1967.

[3]Baum C E， Liu T K， and Tesche F M. On the analysis of general multiconductor transmission-line networks[J]. Interaction Notes 350， 1978: 230-331.

[4]Parmantier J P， Alliot J C， Labaune G， and Degauque P. Electromagnetic coupling on complex systems: topological approach[J]. Interaction Notes 488， 1990:1-14.

Case Teaching Investigation of Solving Ordinary Differential Equations

LIYing，NIGu-yan，ZHOUMin

(College of Science， National University of Defense Technology， Changsha 410073， China)

Abstract:Ordinary differential equations play an extremely important role in advanced mathematics. The purpose of the introduction of appropriate teaching cases during the teaching process of advanced mathematic is to stimulate students’ enthusiasm to study ordinary differential equations and improve students’ ability to solve pratical problems. The solution of telegrapher’s equations in transmission line theory was taken for case study as a form of differential equations. After the research background and mathematical description of case are introduced, the terminal responses of the transmission line under lumped sources excitation is acquired by solving the telegrapher’s equations Moreover, their physical significance was analyzed with the adoption of computational examples.

Key words:ordinary differential equations; case teaching; response of the transmission line

[基金項目]公共基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系列研究生一流課程體系建設(shè)項目

[收稿日期]2014-04-28

[中圖分類號]O13；G642.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)01-0097-05