常微分方程新的可解類型及在經(jīng)濟學中的應用

胡啟蒙

摘 要：常微分方程有很多種，而且在初等數(shù)學中我們就已經(jīng)學過。像對數(shù)方程、指數(shù)方程、三角方程、二次方程等都屬于常微分方程的行列。比如我們初高中時就學過的二元一次方程組，是最簡單的常微分方程了。在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，我們將常微分方程和經(jīng)濟緊密的聯(lián)系在一起，常微分方程的運用的幫助下經(jīng)濟理論的研究取得了很多的進展。尤其是最近幾十年，大多經(jīng)濟學家都把經(jīng)濟學與數(shù)學結十分緊密的結合起來。利用數(shù)學作為輔助的手段，讓經(jīng)濟科學和管理科學的研究變得簡潔、清晰和精確。

關鍵詞：常微分方程；可解類型；成本和利潤核算

常微分方程是代數(shù)中最簡單但是亦是最重要的一類方程組，常微分方程是我們在解決日常經(jīng)濟生活問題中非常重要的工具，常微分方程的作用也非常之多，比如在航天領域、自動化領域、電子通信領域、化學反應研究領域等，科學前沿的方方面面都需要用到常微分方程來解決研究中的問題。許多難解的問題，解法中的式子最后都能化成常微分方程，所以常微分方程對于計算數(shù)學是極其重要的。遇到問題時，我們需要在已知條件中找出已知數(shù)和未知數(shù)的關系，并利用已知的關系列出方程，然后進行求解，逐步推出我們需要的未知數(shù)的值。

常微分方程式在經(jīng)濟學中的最重要的應用是其在公司成本與利潤核算中的應用，成本與利潤的常微分方程雖然簡單易懂，但是其突破了傳統(tǒng)的計算能力，運用計算機的運算能力，在短時間內(nèi)可以完成人力幾天甚至幾個月的工作量，是現(xiàn)代科技力量對商業(yè)最大的貢獻之一?？梢哉f這一方程式在計算機中的運用是商業(yè)核算精準化和便捷化的最大保證，帶來了現(xiàn)代商業(yè)會計核算、審計核算的革命。

數(shù)學知識運用到商業(yè)是古已有之，但是微分方程在商業(yè)計算中的應用，只能計算到資本市場的完全興起，我們了解的最著名的例子莫過于電《大空頭》里幾位銀行家合作做空資本市場的舉動，雖然電影演繹的精彩絕倫，妙趣橫生，但是現(xiàn)實中的事實遠比電影來的精彩。2007年-2008年之前，john Paulson作為一個籍籍無名的對沖基金經(jīng)理人，與華爾街精英圈無緣。在他四十歲的時候成立自己的基金公司，經(jīng)過十年的默默打拼，2003資產(chǎn)規(guī)模才達到15億美元，這在精英云集的華爾街連二流都算不上，當然這是他還沒遇上他的同學Paolo Pellegrini之前，2004年10月，兩人才正式合伙，雖然Paulson當時只給了Pellegrini一個初級分析師的職位，但是對于畢業(yè)于哈佛大學的Pellegrini來說這已經(jīng)足夠了。當?shù)谝淮蜳ellegrini向Paulson建議用CDS工具做空美國房地產(chǎn)時，相信Paulson也是驚詫不已的，但是Pellegrini在大量基礎研究的基礎上，通過大量的模擬計算，說服了自己的老同學同時也是自己雇主的Paulson，Pellegrini向Paulson展示的美國房地產(chǎn)走勢圖，像一張藏寶圖一樣展示在他的面前，讓他看到了做空美國房地產(chǎn)的美好前景和巨額利潤收入。

沒有微分方程的大規(guī)模運算和Pellegrini精準的分析頭腦，把一張市場走勢圖擺在任何人的面前，他們都無法看到里面蘊藏的巨大財富。Pellegrini作出那張美國房地產(chǎn)走勢圖被譽為價值“200億美金”，可想而知。

后來，在現(xiàn)實生活的應用中，人們又發(fā)現(xiàn)，往往解決問題并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程組在什么情況下會出現(xiàn)什么類型的解，就能滿足一些生產(chǎn)生活的需要了。比如，給定一個方程，我們需要知道該方程在什么情況下存在解，什么情況下不存在解；或者，在給定方程的前提下，能夠知道在什么條件下能求出幾組通解，而哪些通解是對于我們求出所需特解有價值、有作用的。往往我們現(xiàn)在關注的多是這樣的問題，而不僅僅限于尋找微分方程的解上。常微分方程的作用非常之多，比如在航天領域、自動化領域、電子通信領域、化學反應研究領域等，科學前沿的方方面面都需要用到常微分方程來解決研究中的問題。研究常微分方程的新的可解類型，是幫助我們在各個學科中，處理難題，突破難關的重要途徑。所以我們需要對常微分方程的新的可解類型進行更深的研究，通過對方程組的解析來促進各個學科的蓬勃發(fā)展。

在經(jīng)濟學領域中，分租制和定額制在現(xiàn)代商業(yè)公司管理中作為兩種最基本的管理模式的根本，受到各種研究者的青睞，要想分清這兩種模式那個更加實用高效，必須用到常微分方程的計算方式，這也是數(shù)學對現(xiàn)代經(jīng)濟學的巨大貢獻之一，計算出了分租制和定額制的優(yōu)劣之后，現(xiàn)代公司才可以在此基礎上選擇適合本身的管理模式，才會衍生出現(xiàn)代意義上的國有公司，股份制公司，代理人公司和有限責任公司等各種形式，讓我們明白了商業(yè)市場的運行子單位是怎樣的構成部分。

許多微分方程要求求出方程的近似解，并且保證一定范圍內(nèi)的精確度就可以，人類的科技在不斷發(fā)展，所需要的精確度也會越來越高，而隨著數(shù)學學科的進步，能夠求出的精確度也會越來越高，才能適應其他學科對于數(shù)學手段的需求。尋找常微分方程的新的可解類型是研究微分方程的科學家們、數(shù)學家們一直努力的目標。目前，已知的可解類型并不多，在變化眾多的方程組中，目前已知的可解類型相比之下，還是屈指可數(shù)的，還需要通過大量的研究才能判斷和解決其他的可解類型的常微分方程。

結束語：微分方程就是指未知數(shù)以導數(shù)的形式與已知數(shù)產(chǎn)生關系，也就是說，在微分方程中未知數(shù)是以導數(shù)形式存在的。這樣的方程的求解過程可能非常復雜，對于求解的方法要求比較特殊。我們就可以利用微積分的知識求出一些微分方程的近似解。常微分方程的作用非常之多，是我們在解決日常經(jīng)濟生活問題中常用的一種手段。常微分方程的運用在的幫助下經(jīng)濟領域中取得了很大的進步，是企業(yè)的很多工作變得簡單、清晰，在常微分方程的幫助下人們對經(jīng)濟規(guī)律認識精確度有了很大提高。尤其是近年，常微分方程在生活，經(jīng)濟領域的運用也越來越多。常微分方程作為輔助手段，讓管理科學和經(jīng)濟科學的研究做到了簡潔和精確。著名的數(shù)學家華羅庚先生就是將經(jīng)濟數(shù)學理論與生產(chǎn)實踐活動很好結合的典范。數(shù)學方法，特別是常微分方程進入入經(jīng)濟科學的領域，成為了研究和分析社會經(jīng)濟現(xiàn)象與社會經(jīng)濟發(fā)展的有力工具。

（作者單位：沈陽師范大學）

參考文獻：

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