常微分方程課程分階段教學(xué)研究

李新服+張廣

摘 要 針對(duì)常微分方程課程的特點(diǎn)及授課存在的問(wèn)題，采取分階段教學(xué)，即把教學(xué)過(guò)程分為基礎(chǔ)知識(shí)講解、綜合題講解、實(shí)際案例講解、學(xué)生講解四個(gè)階段，并在各個(gè)階段授課中強(qiáng)調(diào)科學(xué)思考方法的滲透，旨在提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、自主研究與創(chuàng)新的能力。

關(guān)鍵詞 常微分方程；分階段教學(xué)；數(shù)學(xué)建模

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2016）22-0080-03

Research on Staged Teaching of Course Ordinary Differential Equations//LI Xinfu， ZHANG Guang

Abstract In this paper， according to the features of the course Ordi-nary Differential Equations and the problems in the procedure of tea-

ching， we divide the teaching process for this course into four stages：

basic knowledge explanation， comprehensive title explanation， ac-

tual case explanation and students explain. In each stage the scientific

thinking methods are emphasized in order to improve the students ability to analyze and solve problems， and the ability of independent

research and innovation.

Key words ordinary differential equations； staged teaching； mathe-matical modeling

1 前言

常微分方程課程是數(shù)學(xué)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)核心課程，其先修課程為數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)。這門(mén)課程的特點(diǎn)是知識(shí)點(diǎn)較整、應(yīng)用廣泛，學(xué)完這門(mén)課，學(xué)生應(yīng)該可以試著寫(xiě)科研論文，是本科畢業(yè)論文的一個(gè)非常好的選題素材。因此，通過(guò)常微分方程課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)具備解決問(wèn)題、自主學(xué)習(xí)與研究、創(chuàng)新的能力。

但是就筆者講授這門(mén)課程所觀察，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)運(yùn)用得不好，自主學(xué)習(xí)研究能力更不樂(lè)觀。因此，關(guān)于這門(mén)課程的教學(xué)改革非常重要。在這方面，國(guó)內(nèi)專(zhuān)家已有很多實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和理論研究結(jié)果[1-4]。在借鑒上述教學(xué)方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合常微分方程課程的特點(diǎn)及授課中存在的問(wèn)題，在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行分階段教學(xué)的嘗試，并在各個(gè)階段授課中重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思考能力。

2 常微分方程課程介紹

課程定位與目標(biāo) 常微分方程屬于數(shù)學(xué)分析的一支，在整個(gè)數(shù)學(xué)大廈中占據(jù)重要位置，是定性理論、穩(wěn)定性理論、動(dòng)力系統(tǒng)等后續(xù)數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)。常微分方程的研究還與其他學(xué)科或領(lǐng)域結(jié)合出現(xiàn)各種新的分支，如控制論，種群生態(tài)學(xué)、分支理論、脈沖微分方程等。常微分方程所研究的模型來(lái)自于物理、力學(xué)、社會(huì)、生物、化學(xué)及氣象等，是數(shù)學(xué)中與應(yīng)用密切相關(guān)的學(xué)科，其自身也在不斷發(fā)展中，學(xué)好常微分方程基本理論與方法，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用均非常重要。因此，通過(guò)常微分方程這門(mén)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)具備解決問(wèn)題、自主學(xué)習(xí)與研究、創(chuàng)新的能力。

課程教學(xué)內(nèi)容 常微分方程包含的內(nèi)容很多，不同教材的側(cè)重點(diǎn)有所不同。天津商業(yè)大學(xué)使用王高雄等編寫(xiě)的教材[5]，主要包括以下內(nèi)容。

1）一階微分方程的初等解法：變量分離方程與變量變換、線性微分方程與常數(shù)變易法、恰當(dāng)微分方程與積分因子、一階隱式微分方程與參數(shù)表示。

2）一階微分方程的解的存在定理：解的存在唯一性定理與逐步逼近法、解的延拓、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理、數(shù)值解。

3）高階微分方程：線性微分方程的一般理論、常系數(shù)線性微分方程的解法、高階微分方程的講解和冪級(jí)數(shù)解法。

4）線性微分方程組：存在唯一性定理、線性微分方程組的一般理論、常系數(shù)線性微分方程組。

5）非線性微分方程：穩(wěn)定性、V函數(shù)方法、奇點(diǎn)、極限環(huán)和平面圖貌、分支與混沌、哈密頓方程。

課程教學(xué)存在的問(wèn)題 通過(guò)批改作業(yè)、答疑、期末考試及學(xué)生畢業(yè)論文等途徑，發(fā)現(xiàn)通過(guò)常微分方程課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)最基礎(chǔ)部分——方程的初等解法掌握還可以，但是對(duì)稍有難度、綜合性稍強(qiáng)的題目解決得并不好，自主學(xué)習(xí)研究能力更不樂(lè)觀。經(jīng)分析，主要原因有：對(duì)方程的初等解法講解太多，占用太多時(shí)間；對(duì)理論知識(shí)講解太細(xì)太煩瑣，掩蓋了重點(diǎn)；針對(duì)培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題與自主學(xué)習(xí)能力的教學(xué)內(nèi)容設(shè)置太少；對(duì)日后學(xué)習(xí)研究較重要的數(shù)值解與非線性微分方程部分講解太少；綜合性題目布置較少，沒(méi)能督促學(xué)生及時(shí)復(fù)習(xí)總結(jié)，知識(shí)形不成系統(tǒng)；布置的習(xí)題難度不在學(xué)生的學(xué)習(xí)區(qū)，太簡(jiǎn)單或太難，學(xué)生沒(méi)有成就感。因此，如何在有限的課時(shí)內(nèi)將常微分方程的方法原理、思考方式以學(xué)生容易接受的方式講透徹，讓學(xué)生會(huì)利用所學(xué)知識(shí)科學(xué)地思考問(wèn)題、解決問(wèn)題、自主研究，是值得思考的問(wèn)題。

3 分階段教學(xué)法實(shí)施過(guò)程

分階段教學(xué)法簡(jiǎn)介 認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為完整的認(rèn)知過(guò)程是一個(gè)“定向—抽取特征—與記憶中的知識(shí)相比較”的一系列循環(huán)過(guò)程，它依賴(lài)于來(lái)自環(huán)境和知覺(jué)者自身的知識(shí)，而且在人的認(rèn)知過(guò)程中，前后關(guān)系很重要，特別是原有知識(shí)之間、原有知識(shí)和當(dāng)前認(rèn)知對(duì)象之間的關(guān)系[6]。基于這一理論、常微分方程課程的特點(diǎn)及授課存在的問(wèn)題，將該課程的教學(xué)過(guò)程劃分為4個(gè)階段：

基礎(chǔ)知識(shí)講解階段→綜合題講解階段→實(shí)際案例講解階段→學(xué)生講解階段

分階段教學(xué)法具體實(shí)施過(guò)程

第一階段：基礎(chǔ)知識(shí)講解。該階段旨在使學(xué)生掌握基本理論與方法，會(huì)做簡(jiǎn)單習(xí)題。由教師系統(tǒng)講授知識(shí)點(diǎn)，并針對(duì)所講知識(shí)點(diǎn)布置相應(yīng)習(xí)題。

1）對(duì)一階微分方程、高階微分方程、線性微分方程組的精確解求解部分，針對(duì)每種類(lèi)型講解方法原理，講解一個(gè)例題，布置一個(gè)習(xí)題。該部分重點(diǎn)是方法原理。

2）對(duì)數(shù)值解部分，講解原理及數(shù)學(xué)軟件求解命令，演示求解操作過(guò)程，布置兩個(gè)習(xí)題。同時(shí)給學(xué)生預(yù)留拓展資源供學(xué)生自學(xué)。該部分重點(diǎn)是會(huì)用軟件求解。

3）對(duì)一階微分方程解的存在唯一性定理及逐步逼近法一節(jié)，重點(diǎn)提煉出證明存在性的逐步逼近法與證明唯一性的方法，避免過(guò)多證明細(xì)節(jié)把學(xué)生弄糊涂。同時(shí)布置自學(xué)任務(wù)，如查找其他的存在性定理、唯一性定理并比較，鍛煉學(xué)生查閱文獻(xiàn)的能力。

4）對(duì)非線性微分方程一章，重點(diǎn)講授理論方法，布置相應(yīng)習(xí)題。該部分重點(diǎn)是理解基本理論。

在此階段，每講完一章，布置1～2個(gè)綜合性、一題多種解法或稍有難度的題目，以此來(lái)促使學(xué)生查閱并總結(jié)所學(xué)內(nèi)容，把知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)。如可布置習(xí)題：

②求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

第一階段科學(xué)思考方法滲透舉例如下。

1）把問(wèn)題特殊化的思考方法。舉例告訴學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，首先考慮是否能從特殊情況中得到啟示。

【例1】求解高階常系數(shù)齊次線性微分方程：

對(duì)一階常系數(shù)方程有解x=eat，故猜測(cè)高階微分方程有eλt（λ待定）形式的解。

【例2】求一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的基解矩陣。

其中，A=（aij）n×n為n階常數(shù)矩陣，x=（x1，x2，...，xn）僅含一個(gè)方程（n=1）時(shí)，基解矩陣為eat，故猜測(cè)方程組的基解矩陣為eAt。

2）利用聯(lián)系，改造區(qū)別的思考方法。舉例告訴學(xué)生想問(wèn)題時(shí)既要利用事物的聯(lián)系，遇到區(qū)別時(shí)又不要放棄，適當(dāng)修正可能會(huì)有意外發(fā)現(xiàn)。

【例】已經(jīng)學(xué)過(guò)n階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，知道若α為特征方程λn+an-1λn-1+...a1λ+a0=0的單特征根，eαt是微分方程的解；若β為特征方程的k重特征根，eβt，teβt，t2eβt，...，

tk-1eβt是微分方程的k個(gè)線性無(wú)關(guān)解。在求解一階常系數(shù)齊次線性微分方程組的線性無(wú)關(guān)解時(shí)，利用兩個(gè)方程的聯(lián)系，是否有類(lèi)似結(jié)論呢？

經(jīng)驗(yàn)證，若α為系數(shù)矩陣A的單特征根，微分方程組有eαtη形式的解，其中η為對(duì)應(yīng)α的特征向量；若β為系數(shù)矩陣A的k重特征根，eβtη0，teβtη1，t2eβtη2，...，tk-1eβtηk-1并不是微分方程組的k個(gè)線性無(wú)關(guān)解。

那么能否改造一下呢？可以驗(yàn)證其組合eβtη0+teβtη1+

t2eβtη2+...+tk-1eβtηk-1（ηi滿足一定條件）為微分方程組的解[7]。

第二階段：綜合題講解。該階段講解第一階段布置的題目，旨在幫助學(xué)生梳理所學(xué)知識(shí)，教會(huì)學(xué)生如何思考問(wèn)題。并布置幾個(gè)題目作為練習(xí)。

該階段科學(xué)思考方法滲透舉例如下。

1）復(fù)雜簡(jiǎn)單化的思考方法。通過(guò)舉例告訴學(xué)生，遇到解法比較復(fù)雜的時(shí)候，要試著想想是否有簡(jiǎn)單或是簡(jiǎn)潔的解法。

【例】求解方程

這是可轉(zhuǎn)化為分離變量方程的典型類(lèi)型，大多數(shù)學(xué)生（幾乎全部）利用標(biāo)準(zhǔn)做法。

首先求交點(diǎn) ，解得：

作變換，原方程轉(zhuǎn)化為齊次方程

。作變換Z=Y/X，則齊次方程轉(zhuǎn)化為分離變量方程。

解分離變量方程得：Z2-Z+1=cX-2。代回原來(lái)變量，得原方程通解：y2+x2-xy-y+x=c。

可見(jiàn)上述解法較麻煩，要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生找簡(jiǎn)單的解法。下面利用恰當(dāng)微分方程解法：原方程變形為（x-2y+1）dy-（2x-y+1）dx=0，整理得xdy+ydx-2ydy+dy-2xdx-dx=0，分組湊微分得通解xy-y2+y-x2-x=c。可見(jiàn)關(guān)于此題，第二種解法非常簡(jiǎn)單。

2）問(wèn)題層層剪剝、各個(gè)擊破的思考方法。通過(guò)舉例，告訴學(xué)生遇到問(wèn)題不知如何下手時(shí)，不要慌張，靜下心來(lái)查找資料，把問(wèn)題分解，分別解決每個(gè)小問(wèn)題。

【例】求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

這是一個(gè)二階變系數(shù)齊次線性微分方程，學(xué)生一般會(huì)想到廣義冪級(jí)數(shù)解法，經(jīng)求解發(fā)現(xiàn)很麻煩。引導(dǎo)學(xué)生換種解法，查閱課本發(fā)現(xiàn)關(guān)于這類(lèi)方程的降階法，但是需要事先找到方程的一個(gè)非零解，如何求？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)查閱文獻(xiàn)、網(wǎng)上搜索等途徑查找答案，發(fā)現(xiàn)課本課后題有要找的答案，從而問(wèn)題得到解決。

第三階段：實(shí)際案例講解。該階段詳細(xì)講解兩個(gè)案例，一個(gè)是常微分方程數(shù)學(xué)建模案例，一個(gè)是常微分方程科研論文案例，旨在讓學(xué)生觀摩科學(xué)分析與自主研究的過(guò)程。選取一個(gè)建模案例，詳細(xì)講解分析問(wèn)題、建立模型、利用理論知識(shí)分析并用數(shù)學(xué)軟件求解、對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行分析、對(duì)模型進(jìn)行合理評(píng)價(jià)及進(jìn)一步優(yōu)化的一系列過(guò)程。根據(jù)自己寫(xiě)科研論文的過(guò)程，講解發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、查文獻(xiàn)、解決問(wèn)題、撰寫(xiě)科研論文的整個(gè)過(guò)程。

第四階段：學(xué)生講解。該階段旨在提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題、自主研究的能力。該階段是第三階段的一個(gè)實(shí)訓(xùn)，主要由學(xué)生自己來(lái)完成。學(xué)生根據(jù)興趣自由分組，從題庫(kù)中選題或自由選題，利用幾周的時(shí)間完成題目。學(xué)生講解，教師點(diǎn)評(píng)。題庫(kù)由教師查閱資料分類(lèi)整理完成。

4 結(jié)語(yǔ)

以上是針對(duì)常微分方程這門(mén)課程的特點(diǎn)及授課中存在的問(wèn)題而采取的以培養(yǎng)學(xué)生能力為目的的分階段教學(xué)的授課方式。在講完常微分方程這門(mén)課后，把上述想法與班級(jí)里幾個(gè)學(xué)習(xí)中上等的學(xué)生進(jìn)行探討，學(xué)生一致認(rèn)為很好，因此下學(xué)期準(zhǔn)備嘗試此授課方式，以期達(dá)到良好的教學(xué)效果。參考文獻(xiàn)

[1]韓祥臨，歐陽(yáng)成.《常微分方程》精品課程的教學(xué)改革與教學(xué)實(shí)踐[J].湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（1）：8-11.

[2]劉會(huì)民，那文忠，陶鳳梅.“常微分方程”課程教學(xué)模式的改革與探索[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（1）：72-74.

[3]何春花，鄭群珍，姬利娜.常微分方程課程教學(xué)改革的探索與實(shí)踐[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014（2）：

68-69.

[4]萬(wàn)亮.常微分方程的解法與教學(xué)改革[J].科技創(chuàng)新與應(yīng)用，2013（4）：277.

[5]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[6]王尊亮，卞佳麗.網(wǎng)絡(luò)編程技術(shù)課程分階段教學(xué)策略[J].計(jì)算機(jī)教育，2013（24）：41-44.

[7]丁同仁，李承治.常微分方程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.