輕松玩“轉(zhuǎn)”勾股定理

沈曉霞

轉(zhuǎn)化是將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題.勾股定理研究的是平面直角三角形中三邊之間的關(guān)系，但在學(xué)習(xí)過(guò)程中時(shí)常會(huì)遇到立體圖形上的問(wèn)題，這時(shí)就要考慮到運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，把立體圖展開成平面圖形，再利用平面幾何的知識(shí)進(jìn)行求解.

例1 ? 如圖1所示，有一根高為2 m的木柱，它的底面周長(zhǎng)為0.3 m，為了營(yíng)造喜慶的氣氛，老師要求小明將一根彩帶從柱底向柱頂均勻地纏繞7圈，一直纏到起點(diǎn)的正上方為止，問(wèn)小明至少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的一根彩帶？

【分析】將一張直角三角形的紙片在鉛筆上纏繞七圈，將紙片展開，發(fā)現(xiàn)彩帶的長(zhǎng)相當(dāng)于直角三角形的斜邊長(zhǎng)（如圖2），可以利用勾股定理求出彩帶的長(zhǎng).

解：∵BC為木柱的高，

∴BC=2 m.

又∵木柱的底面周長(zhǎng)為0.3 m，

∴AC的長(zhǎng)為0.3×7=2.1（m）.

在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=22+2.12=8.41，=2.9.

因此彩帶的長(zhǎng)為AB=2.9 m.

【點(diǎn)評(píng)】遇到一些空間問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)動(dòng)手實(shí)際操作一下，建立實(shí)物模型，這是建立空間概念的良好訓(xùn)練方法，而對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題中常用的思路.

例2 ?如圖3，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2 cm和4 cm，高為5 cm，若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑是________cm.

【分析】要求立體圖形中的最短路徑首先要化曲為直，即將長(zhǎng)方體側(cè)面展開成如圖4所示，則PA=2+4+2+4=12（cm），兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理便可解決.

解：PA=2+4+2+4=12（cm），

∵Rt△PAQ中，∠A=90°，

∴PQ2=PA2+AQ2，

∴PQ2=122+52=169，

∵PQ>0，∴PQ=13 cm.

【點(diǎn)評(píng)】很多數(shù)學(xué)新問(wèn)題往往是通過(guò)形或數(shù)的逐步轉(zhuǎn)化，化歸為一個(gè)比較熟悉容易的問(wèn)題，從而達(dá)到解決原問(wèn)題的目的.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）