四“巧”助你攻“堡壘”

張正青

本章主要研究勾股定理及其逆定理，包括它們的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中，是否能夠利用勾股定理及其逆定理，靈活地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法，找到方便快捷的解題思路，是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵.

一、 巧分類

勾股定理公式的作用在于已知直角三角形三邊中的兩邊，可以求出第三邊，但是當(dāng)題目中沒(méi)有給出圖形或者所給出的邊長(zhǎng)指向不明確時(shí)，很有可能造成多解的情況，這時(shí)候需要我們對(duì)已知情況進(jìn)行準(zhǔn)確分類.

例1 ?已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)為多少？

【分析】直角三角形邊長(zhǎng)3和4并沒(méi)有表明是直角邊還是斜邊，需分兩種情況進(jìn)行討論.

解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分類討論思想在勾股定理中的使用，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的邊準(zhǔn)確分類.

二、 巧轉(zhuǎn)化

勾股定理的應(yīng)用前提是直角三角形，當(dāng)題目所提供給我們的是多邊形或立體圖形時(shí)，這就需要我們將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，將立體圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問(wèn)題，從而利用勾股定理來(lái)解決.

例2 ?如圖1，長(zhǎng)方體的高為3 cm，底面是邊長(zhǎng)為2 cm的正方形. 現(xiàn)有一螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體側(cè)面到達(dá)頂點(diǎn)C處，小蟲(chóng)走的路程最短為多少厘米？

【分析】螞蟻行走的路線是一條不在同一平面內(nèi)的折線，要計(jì)算它的長(zhǎng)度，就要想法把它放到一個(gè)平面內(nèi).比較幾種展開(kāi)方法，將右側(cè)面展開(kāi)所得的距離最短.如圖2，將右側(cè)面展開(kāi)，根據(jù)“兩點(diǎn)間線段最短”找到最短距離是長(zhǎng)方形的對(duì)角線，然后用勾股定理進(jìn)行解答.

解：如圖2，將右側(cè)面展開(kāi)，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”可得出：

點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短距離即為線段AB的長(zhǎng)，而長(zhǎng)方形的高AD和兩條底邊之和DB以及線段AB恰好構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，則線段A

∴螞蟻?zhàn)叩穆烦套疃虨? cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體圖形上的路線問(wèn)題，我們可以用“化曲為直”的方法找到最短路徑，利用勾股定理來(lái)解決.線路很多，最短路線卻是唯一的.要弄清最短的路線，不妨借助實(shí)物演示，效果將更佳.

三、 巧選擇

用勾股定理求線段的長(zhǎng)度，很多時(shí)候不能直接計(jì)算，題目中給我們的圖形又比較復(fù)雜，存在多個(gè)直角三角形，同學(xué)們總為找不到合適的直角三角形而困惑.這就需要我們仔細(xì)分析圖形之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)闹苯侨切蝸?lái)構(gòu)造方程，從而順利解題.

例3 ?如圖3，將長(zhǎng)方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點(diǎn)D落在BC邊的F處，AB=CD=8 cm，BC=AD=10 cm，求EC的長(zhǎng).

【分析】圖3中共有4個(gè)直角三角形，其中的Rt△ABF的三邊都是可求的，設(shè)EC為x后，只有Rt△EFC的三邊是可直接用含有x的式子來(lái)表示的，因此鎖定目標(biāo)為Rt△EFC.然后利用勾股定理建立方程來(lái)解答.

解：設(shè)EC=x，由折疊可知，

AF=AD=10，EF=DE=DC-EC=8-x，

在Rt△ABF中，

則FC=BC-BF=10-6=4，

在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，

即x2+42=（8-x）2，

解得x=3，∴EC=3 cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題呈現(xiàn)的問(wèn)題背景為長(zhǎng)方形中的折疊類問(wèn)題，解此類題型需要我們由折疊尋找其中的等量關(guān)系，關(guān)鍵卻是選擇恰當(dāng)?shù)闹苯侨切?，然后運(yùn)用勾股定理列出方程進(jìn)行解答.

四、 巧構(gòu)造

運(yùn)用勾股定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，找到題目中所隱藏的數(shù)學(xué)模型往往是其中的難點(diǎn).需要我們認(rèn)真審題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與直角三角形有關(guān)的模型，然后利用勾股定理解直角三角形.

例4 ?如圖4，某公園有這樣兩棵樹(shù)，一棵樹(shù)高8 m，另一棵樹(shù)高2 m，兩樹(shù)之間相距為8 m，請(qǐng)問(wèn)一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢沿直線飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，需要飛行多少米？

【分析】根據(jù)題意，要以AB為邊構(gòu)建合適的直角三角形，把求線段的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直角三角形邊長(zhǎng)的問(wèn)題解答.

解：連接點(diǎn)A、點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B向較高的樹(shù)所在的直線作垂線段，垂足為C，可得到Rt△ABC，其中AC=8-2=6，BC=8.

在Rt△ABC中，

∴小鳥(niǎo)需要飛行10 m.

【點(diǎn)評(píng)】勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，我們應(yīng)對(duì)實(shí)際問(wèn)題仔細(xì)分析，并恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立與直角三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)勾股定理解決問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學(xué)）