萬(wàn)變不離其宗

蔣云紅

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的就是靈活運(yùn)用，“變”才是數(shù)學(xué)的靈魂.看到“變”，很多同學(xué)會(huì)產(chǎn)生恐懼，其實(shí)我們只要熟練掌握核心概念、定理，抓住其形變而神不變之處，問(wèn)題就能迎刃而解.下面我們以“勾股定理”這一章中的一道課本例題為例，對(duì)它進(jìn)行一些變式探究.

原題 ? （蘇教版教材八上第86頁(yè)例1）《九章算術(shù)》中有一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”意即：一根竹子，原高一丈，蟲(chóng)傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子3尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面多高？

教材中有詳細(xì)解答過(guò)程，此處不作贅述.

【變式1】一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的比是3∶4∶5，它的周長(zhǎng)是60，求這個(gè)三角形的面積.

【思路點(diǎn)撥】一般我們看到比例，可設(shè)一份為k，則三邊分別是3k、4k、5k，根據(jù)周長(zhǎng)是60，得到k=5，從而三邊分別是15、20、25，但要求三角形面積，本題還要用到勾股定理的逆定理.

解：設(shè)一份為k，則三邊長(zhǎng)分別是3k、4k、5k，有3k+4k+5k=60，∴k=5，

∴三邊的長(zhǎng)分別是15、20、25，

又∵152+202=625，252=625，

∴152+202=252，

∴ 它是直角三角形，斜邊長(zhǎng)為25.

∴它的面積是15×20=150.

答：這個(gè)三角形的面積是150.

【說(shuō)明】變式1已知的是三邊比例關(guān)系，若要求面積，一般三角形則必須求出一邊及該邊上的高，若特殊一點(diǎn)可運(yùn)用勾股定理的逆定理說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形，問(wèn)題也能迎刃而解.

【變式2】如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以BD為折痕，將梯形ABCD折疊，使AD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1.

（1） 求證：BE=DE;

（2） 若AB=2，AD=3，BC=5，求△CDE的面積.

【思路點(diǎn)撥】

1. 圖形中出現(xiàn)了角平分線（折疊出現(xiàn)了角相等）、平行線，容易得到等腰三角形;

2. 找到合適的直角三角形，巧用勾股定理，用方程思想求解.

解：（1） ∵折疊，∴∠ADB=∠BDA1，A1B=AB=2，A1D=AD=3，

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，

∴∠BDA1=∠DBE，∴BE=DE.

（2） ∵折疊，

∴A1B=AB=2，A1D=AD=3，∠A=∠A1=90°.

在Rt△A1BE中，設(shè)BE=DE=x，則A1E=3-x，

根據(jù)勾股定理得，x2=（3-x）2+22，

【說(shuō)明】折疊前后的兩個(gè)圖形是全等圖形，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，另外還要注意多觀察圖形，找到合適的直角三角形，利用勾股定理列方程求邊長(zhǎng).

【變式3】如圖4所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求線段EF的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，考慮到三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD.

解：連接AD.

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°.

∵∠BAC=90°，AD為△ABC的中線，

∴AD=DC=DB.

∵AB=AC，AD為△ABC的中線，

∴AD⊥BC，∴∠BAD=∠B=∠C=45°.

∵∠EDA+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，∴∠EDA=∠CDF.

∴△AED≌△CFD（ASA），∴ AE=FC=5.

同理：AF=BE=12.

在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得：

EF 2=AE 2+AF 2=52+122=132，∴EF=13.

【說(shuō)明】通過(guò)此題，我們可以了解：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中，再用勾股定理求解.

我們?cè)诰毩?xí)過(guò)程中若能有意識(shí)地進(jìn)行變式拓展訓(xùn)練，通過(guò)對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行多角度、多層次的演變探究，使一道題變成一類題，一類題變成多類題，在不同角度、不同層次、不同背景下構(gòu)建對(duì)勾股定理的認(rèn)知，定能提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

（作者單位：江蘇省常州市翠竹中學(xué)）