巧思妙想 靈活運(yùn)用

潘成洲

勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著重要的作用.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的“靈魂”，在運(yùn)用勾股定理解題時(shí)，若能正確地把握數(shù)學(xué)思想方法，則可開(kāi)闊思路，解題更加簡(jiǎn)便快捷.現(xiàn)將幾種常見(jiàn)思想方法總結(jié)如下：

一、 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中所隱含的條件.勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的定理，它的驗(yàn)證和應(yīng)用，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

例1 ? 有一直立標(biāo)桿，它的上部被風(fēng)吹折，桿頂著地，離桿腳20 cm，修好后又被風(fēng)吹折，因新斷處比前次低了5 cm，且標(biāo)桿頂著地處比前次遠(yuǎn)10 cm，求標(biāo)桿的高.

【分析】依題意作圖如圖1，數(shù)形結(jié)合求解.設(shè)第一次吹折后下段AB的長(zhǎng)為x cm，上段BC的長(zhǎng)為y cm，第二次吹折后下段AD的長(zhǎng)為（x-5） cm，上段DE的長(zhǎng)為（y+5） cm，依題意得，

y2-x2=202， ? ? ? ? ? ? ? ? ①（y+5）2-（x-5）2=302， ②

只要求出x+y的值即求出標(biāo)桿的高而不必單獨(dú)求x與y的值.

解：設(shè)第一次吹折后下段AB的長(zhǎng)為x cm，上段BC的長(zhǎng)為y cm，

第二次吹折后下段AD的長(zhǎng)為（x-5） cm，

上段DE的長(zhǎng)為（y+5） cm，依題意得，

y2-x2=202， ? ? ? ? ? ? ? ?①（y+5）2-（x-5）2=302，②

由②-①得，10（x+y）=500，

∴x+y=50.

故標(biāo)桿的高為50 cm.

【點(diǎn)評(píng)】利用三邊的平方關(guān)系或輔助線結(jié)合生活常識(shí)可獲得直角三角形，進(jìn)而可求邊長(zhǎng)或面積.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的重要思想方法，它可以使抽象的知識(shí)轉(zhuǎn)化為形象的圖形，從而處理起來(lái)更直觀、容易，應(yīng)該引起同學(xué)們的重視.

二、 方程思想

例2 ?在△ABC中，AB=10，AC=6，∠C=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，M、N分別為直角三角形的直角邊與AC、BC的交點(diǎn).

（1） 如圖2，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，求BN的長(zhǎng).

（2） 當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，即點(diǎn)M在AC上（不與A、C重合），猜想圖3中AM2、CM2、CN2、BN2這四條線段滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你得出此結(jié)論的理由.

【分析】（1） Rt△ABC中，已知AB=10，AC=6，可由勾股定理直接求出BC=8.不難發(fā)現(xiàn)連接AN可證AN=BN，在Rt△ACN中已知AC及AN與CN的數(shù)量關(guān)系，可設(shè)BN=x，則CN=8-x，由勾股定理得到方程62+（8-x）2=x2即能解出BN.

（2） 觀察題中線段都含有平方，聯(lián)想到勾股定理，但發(fā)現(xiàn)不能直接得出數(shù)量關(guān)系，只能添加輔助線構(gòu)造全等將BN轉(zhuǎn)化為AE，使得AM、AE和CM、CN存在兩個(gè)直角三角形中，利用勾股定理則有AE2+AM2=EM2、CN2+CM2=MN2的數(shù)量關(guān)系，再由EM、NM相等建立等量關(guān)系便能解決問(wèn)題.

解：（1） 連接AN.

∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴BC2=AB2-AC2=64，

∵BC>0，

∴BC=8，

∵OA=OB，

∠AON=∠BON，ON=ON，

∴△OAN≌△OBN（SAS），∴AN=NB.

設(shè)BN=x，則CN=8-x.

∵Rt△ACN中，∠C=90°，

∴AC2+CN2=AN2，∴62+（8-x）2=x2，

（2） 延長(zhǎng)NO到E，使EO=NO，連接AE、EM、MN.

∵OB=OA，

∠NOB=∠EOA，ON=OE，

∴△NOB≌△EOA（SAS），

∴BN=AE，∠B=∠EAO，∴AE∥BC，

∴∠EAC+∠C=180°.

∵∠C=90°，∴∠EAC=90°，

∵M(jìn)O垂直平分EN，∴EM=MN.

∵AE2+AM2=EM2，CN2+CM2=MN2，

∴AM2+BN2=CN2+CM2.

【點(diǎn)評(píng)】我們發(fā)現(xiàn)“方程”是解決勾股定理計(jì)算問(wèn)題的有效工具，思路清晰，解題簡(jiǎn)便.我們也體會(huì)到直角三角形與等腰三角形有著密切的聯(lián)系，把研究等腰三角形轉(zhuǎn)化為研究直角三角形，轉(zhuǎn)化的思想是研究問(wèn)題的一種策略.

三、 整體思想

例3 ? 已知a、b、c分別是Rt△ABC的兩條直角邊和斜邊，且a+b=14，c=10，則S△ABC=_______.

【分析】一般的想法，要求直角三角形的面積，先求出其兩條直角邊a、b，則S△ABC即可求出，但這樣求a、b非常繁雜，甚至在現(xiàn)階段不可能.如果注意到：S△ABC=ab，那么只要求出ab這一整體就可以了.

解：由a+b=14，兩邊平方得：a2+2ab+b2=196，所以ab=，

根據(jù)勾股定理，a2+b2=c2.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用整體思想，有時(shí)可以直奔主題，少走彎路，使問(wèn)題的解決更方便、快捷，在一定程度上，體現(xiàn)了解題者的目標(biāo)意識(shí).

（作者單位：江蘇省常州市蘭陵中學(xué)）