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    剖析錯因 前車可鑒

    2015-12-28 19:01陸軍榮
    初中生世界·八年級 2015年12期
    關(guān)鍵詞:高線勾股定理剖析

    陸軍榮

    初學(xué)勾股定理時,常易犯各種各樣的錯誤.下面選擇幾例,供大家參考和反思,讓同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中不犯或少犯這類錯誤.

    一、 思路僵化不變通

    例1 ? 等腰三角形ABC中,AB=AC=20,底邊BC=24,求AB邊上的高CH.

    【錯誤解答】因為CH是三角形的高線,在Rt△ACH和Rt△BCH中,由勾股定理得:AC2-AH2=CH2,BC2-BH2=CH2,于是有202-AH2=CH2,242-BH2=CH2,到此無法得出CH的長.

    【錯誤剖析】借助圖形,在兩個三角形中用勾股定理是正確的,但是最后為什么沒有辦法得出答案,是因為AH 和BH的長都不知道,未知量太多.既然有兩個未知量,那么能否找到它們之間的關(guān)系呢?

    【正確解答】方法一:設(shè)BH=x,那么AH=20-x,以CH2為橋梁,可得方程202-(20-x)2=CH2,

    242-x2=CH2,

    202-(20-x)2=242-x2,

    x=14.4.

    .

    方法二:根據(jù)三角形的高線聯(lián)想到三角形的面積,先作底邊上的高,由勾股定理求出底邊的高線長,得到三角形的面積,再根據(jù)等積法,求出CH的長度.

    如圖2,過A點作AD垂直BC于D點,

    因為AB=AC,

    所以BD=DC=12,

    在Rt△ADC中,根據(jù)勾股定理得,

    AC2=CD2+AD2,

    202=122+AD2,

    所以AD=16.

    所以CH=19.2.

    【點評】題目有多個未知量時,要準(zhǔn)確設(shè)出未知數(shù),根據(jù)它們之間的數(shù)量關(guān)系,表示出其他的量,然后根據(jù)題目中的等量關(guān)系列方程.需要開闊思路,靈活轉(zhuǎn)化.

    二、 漏用逆定理

    例2 ? 如圖3,在C港有甲、乙兩艘漁船,甲船沿北偏東60°方向以每小時8海里的速度航行,乙船沿南偏東以每小時15海里的速度航行,2小時后,甲船到M島,乙船到P島,兩島相距34海里,求乙船航行的方向.

    【錯誤解答】由題意可知,甲船航行距離16海里,乙船航行距離30海里,根據(jù)勾股定理可以求出MP=34,所以△MCP是直角三角形,∠MCP=90°,得到乙船沿南偏東30°的方向航行.

    【錯誤剖析】這道題的答案是正確的,但是解題過程是錯誤的,因為運用勾股定理的前提是直角三角形.對勾股定理概念理解不深刻,而忽視對三角形的形狀進行判定.當(dāng)題目沒有指明直角三角形時,需要先根據(jù)三邊的數(shù)量關(guān)系,運用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀.

    【正確解答】由題意得:

    CM=2×8=16(海里),

    CP=2×15=30(海里),

    ∵在△CMP中,CM2=162=256,

    CP2=302=900,PM2=342=1156,

    ∴PM2=CM2+CP2.

    ∴△CMP是直角三角形,∠MCP=90°,

    180°-90°-60°=30°,

    ∴乙船沿南偏東30°的方向航行.

    【點評】數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)包括概念學(xué)習(xí)、定理公式的學(xué)習(xí)以及解題學(xué)習(xí)三個方面.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念,要善于抓住它的本質(zhì)屬性,學(xué)習(xí)定理公式要抓住定理的內(nèi)在聯(lián)系、定理的適用范圍及類型,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題的實質(zhì)就是在熟練掌握概念與定理公式的基礎(chǔ)上學(xué)會解決矛盾.

    三、 割補不當(dāng)

    例3 ? 如圖4,已知在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=2,CD=1.∠A∶∠C=1∶2,求BC和AD的長.

    【錯誤解答】分析題意找到∠B=∠D=90°,聯(lián)想到勾股定理,連接AC,分別使用勾股定理,發(fā)現(xiàn)應(yīng)用勾股定理缺少一條邊,并且,條件中兩個角的比值無法使用,至此無法解決這個問題,陷入死胡同.

    【錯誤剖析】根據(jù)兩個直角把四邊形用割的方法分成兩個直角三角形,但是不能充分運用條件∠A∶∠C=1∶2,所以分割不恰當(dāng),那怎么辦呢?不妨用“補”的方法.

    【正確解答】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和公式和∠A∶∠C=1∶2,我們可以得出∠A=60°,∠C=120°,要用特殊角就要放入三角形中,從而想到延長AD,BC交于點M,如圖5,分別使用“直角三角形中,30°角所對的邊是斜邊的一半”,用兩個直角三角形邊的關(guān)系求出BC、AD的長.

    【點評】割補法相當(dāng)于我們的加減法,要靈活運用,不要生搬硬套,才能巧妙解題.

    四、 思維定勢致漏解

    例4 ? 已知在△ABC中,AB>AC,AD是中線,AE是高.求證:AB2-AC2=2BC·DE.

    【錯誤解答】如圖6,AE是三角形的高線,由此想到存在三個直角三角形,利用勾股定理表示出兩邊的平方,再用平方差公式就可以得到結(jié)論.

    【錯誤剖析】由于題設(shè)中沒明確指出△ABC的形狀,也沒給出圖形,因此,這個三角形有可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形.所以高線AE既可以在三角形內(nèi)(如圖6),也可以在三角形外(如圖7),還可以與一邊重合(如圖8).這三種情況都要考慮.而這里只證明了其中的一種情況,思維定勢作祟.

    【點評】數(shù)學(xué)思維有習(xí)慣性,但是我們的思維不能固定不變,善于變化也是數(shù)學(xué)思維的特征.正確的思維定式是“先階段,后綜合;勤總結(jié),多溫故”.

    (作者單位:江蘇省常州市蘭陵中學(xué))

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