知錯(cuò)能改，善莫大焉

薛麗萍

勾股定理是幾何的一個(gè)基本定理，是解決幾何問(wèn)題的重要工具之一，也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的紐帶.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，往往會(huì)有一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).現(xiàn)在我們一起來(lái)整理勾股定理易錯(cuò)題型，找出錯(cuò)因，在糾錯(cuò)中學(xué)習(xí)勾股定理.

一、 定理理解不透徹，定勢(shì)思維來(lái)影響

同學(xué)們?cè)诠垂啥ɡ淼睦斫馍?，往往?huì)受思維定勢(shì)的影響，不認(rèn)真審題，忽略其關(guān)鍵點(diǎn)，草率出手而出錯(cuò).

例1 ? 已知某直角三角形的三邊分別是3、4、x，則x2的值為_(kāi)______.

【錯(cuò)因分析】3、4、5是同學(xué)們最先接觸、印象最深的一組勾股數(shù)，當(dāng)看到直角三角形兩邊是3和4時(shí)，受思維定勢(shì)的影響，自然而然地認(rèn)為第三邊一定是5，故x2的值為25.實(shí)際上，在直角三角形中沒(méi)有明確哪邊是斜邊時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論考慮全面.

【正解】3不可能作為斜邊;當(dāng)4是斜邊時(shí)，x2=7;當(dāng)x是斜邊時(shí)，x2=25.故x2=7或25.

【感悟】勾股定理很容易，其中一角是直角;應(yīng)用注意三條邊，分清哪條是斜邊;直角邊要平方和，斜邊平方等于它.

二、 一目十行，錯(cuò)加條件留遺憾

數(shù)學(xué)解題時(shí)看到熟悉的圖形，很多同學(xué)往往粗略審題，忽略了題目的條件和與熟悉的圖形的細(xì)微差別，把未知的結(jié)論當(dāng)已知條件直接使用，導(dǎo)致錯(cuò)解.

例2 ? 如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=4 cm，BC=3 cm，CD=12 cm，AD=13 cm，試求四邊形ABCD的面積.

【錯(cuò)因分析】同學(xué)們?cè)诮鉀Q此題時(shí)，往往會(huì)有這樣的疑惑：我的答案是正確的，為什么不得分呢？那是因?yàn)楸绢}中只知△ABC是直角三角形，大多數(shù)同學(xué)錯(cuò)誤地理解為△ACD也是直角三角形，直接利用直角三角形的面積公式求解.而實(shí)際上△ACD的形狀需要根據(jù)其三邊長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理的逆定理作出判斷.

【正解】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=5 cm，∵AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD是直角，∴四邊形ABCD的面積=4×3+×5×12=36.

【感悟】解題不能憑經(jīng)驗(yàn)，審清題意多留心，要證直角有方法，勾股定理逆定理！

三、 根據(jù)條件來(lái)作圖，考慮全面防漏解

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同學(xué)們處理常見(jiàn)的圖形和條件時(shí)，往往容易忽視非常規(guī)圖形，造成漏解，甚至解答錯(cuò)誤.我們應(yīng)排除定向思維產(chǎn)生的錯(cuò)解，周密地考慮問(wèn)題，用分類(lèi)討論的思想方法來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題.

例3 ? 在△ABC中，AB=15，AC=20，BC邊上的高AD=12，求BC的長(zhǎng).

【錯(cuò)因分析】本題沒(méi)有直接給出符合條件的示意圖，需要同學(xué)們先根據(jù)題意畫(huà)出符合要求的圖形再解答.在作出示意圖分析問(wèn)題時(shí)，我們往往習(xí)慣性地將△ABC理解成銳角三角形，沒(méi)有全面判斷三角形的形狀，出現(xiàn)漏解情況.在畫(huà)示意圖的過(guò)程中，我們要根據(jù)條件，考慮所作點(diǎn)或線的呈現(xiàn)順序，如第一步由AB=15可確定線段AB，第二步由AC=20確定點(diǎn)C時(shí)，要考慮點(diǎn)C的位置.當(dāng)位于AB的左側(cè)，形成的∠ABC為鈍角，如圖2;當(dāng)位于AB的右側(cè)，形成的∠ABC為銳角，如圖3.

【正解】如圖2，當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，在Rt△ACD和Rt△ABD中，由勾股定理得CD2=AC2-AD2=256，BD2=AB2-AD2=81，∴CD=16，BD=9，故BC=7;如圖3，當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，可求得BC=25.

【感悟】在勾股定理的學(xué)習(xí)中，要養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，重視知識(shí)的呈現(xiàn)過(guò)程，運(yùn)用分類(lèi)討論思想，突破思維定勢(shì)，避免漏解.

四、 直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)有誤區(qū)，嚴(yán)謹(jǐn)計(jì)算現(xiàn)事實(shí)

例4 ? 如圖4，一架長(zhǎng)2.5米的梯子AB，斜靠在豎直的墻AC上，梯子的底部B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯子的底端也將向外移0.4米嗎？

【錯(cuò)因分析】同學(xué)們沒(méi)有通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎寂c計(jì)算，憑直覺(jué)會(huì)認(rèn)為如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，而梯子的長(zhǎng)度是不變的，那么梯子的底端肯定也要向外移0.4米.事實(shí)上，直覺(jué)往往會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，我們需要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)計(jì)算B1B的長(zhǎng)度來(lái)判斷梯子的底端移動(dòng)的距離.

【正解】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=2.4，∴A1C=2，Rt△A1B1C中，由勾股定理得B1C=1.5，∴B1B=0.8，∴梯子的底端應(yīng)向外移0.8米.

【感悟】看似簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，不能光憑直覺(jué)，只有轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度，才能呈現(xiàn)事實(shí)真相.

剖析解數(shù)學(xué)題的易錯(cuò)點(diǎn)，對(duì)于培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，提高解題能力具有重要意義，讓我們知錯(cuò)能改，輕松應(yīng)對(duì)勾股定理！

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）