揭開迷霧 追根溯源
——例說(shuō)圓錐曲線中條件 “直線與橢圓的交點(diǎn)”的多元表征

張 震

(江蘇省常州市戚墅堰實(shí)驗(yàn)中學(xué)，213011)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)非常重要的一個(gè)內(nèi)容,既是高考的熱點(diǎn)也是難點(diǎn).學(xué)生在處理圓錐曲線章節(jié)內(nèi)容時(shí)常常感覺頭緒很多,似乎有很多種解法,卻不知該如何選擇.歸根結(jié)底，這是圓錐曲線中某些條件表征的多元化給學(xué)生帶來(lái)的困惑.要想解決這一問(wèn)題就需要學(xué)生透過(guò)一題多解的現(xiàn)象,追溯條件多元化表征的本質(zhì).

本文將通過(guò)“直線與橢圓的交點(diǎn)”這一圓錐曲線中最為常見的條件的多元表征來(lái)闡述上述觀點(diǎn).

(1+2k2)x2-4ck2x+2c2(k2-1)=0.

其中Δ=16c2k4-4·2c2(k2-1)(1+2k2)=16c2k4-8c2(2k4-k2-1)=8c2(1+k2)>0.

又因?yàn)閗>0,所以k=1.

表征分析解法1是利用斜率k設(shè)出直線方程,然后將橢圓方程與直線方程聯(lián)立,通過(guò)求解方程組得出A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),從而直接表征“A，B兩點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)”這一條件.此方法雖然直接易得,但是龐大的計(jì)算量卻常常令學(xué)生望而卻步.

(1+2k2)x2-4ck2x+2c2(k2-1)=0.

其中Δ=16c2k4-4·2c2(k2-1)(1+2k2)=16c2k4-8c2(2k4-k2-1)=8c2(1+k2)>0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

解得k2-1=0.

又因?yàn)閗>0,所以k=1.

表征分析解法2與解法1的解題依據(jù)是一樣的,都是根據(jù)曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,但與解法1不同的是在表征“A，B兩點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)”這一條件時(shí),抓住了A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的整體關(guān)系,即通過(guò)聯(lián)立所得方程的韋達(dá)定理來(lái)刻畫.這樣的表征方法,優(yōu)化了解法1中求解坐標(biāo)時(shí)運(yùn)用求根公式帶來(lái)的復(fù)雜運(yùn)算.

① ② 代入③ ④ 得

因?yàn)锳,B在橢圓上,且點(diǎn)F是橢圓右焦點(diǎn),所以，由向量坐標(biāo)運(yùn)算及橢圓的焦半徑公式，可得

表征分析解法4是一個(gè)非常漂亮的解答方法,它一方面是延續(xù)了解法3的思路,即通過(guò)坐標(biāo)來(lái)表征“A，B兩點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)”這一條件;另一方面是對(duì)解法3的優(yōu)化,即立足點(diǎn)F是橢圓右焦點(diǎn)這一特殊情況,通過(guò)橢圓的第二定義得出的焦半徑公式來(lái)表征“點(diǎn)在橢圓上”這一條件.從解答過(guò)程可以看出,這樣巧妙的表征方法使得問(wèn)題求解過(guò)程得到簡(jiǎn)化:未知量從4個(gè)減少為2個(gè),方程組的次數(shù)從2次降低為1次,從而運(yùn)算變得非常簡(jiǎn)單,問(wèn)題的求解速度得到了大大地提高.

解法5如圖1,取左焦點(diǎn)F1,連結(jié)AF1,BF1.

在?AF1F中,

在?BF1F中,

因?yàn)閏os∠AFF1+cos∠BFF1=0,

化簡(jiǎn)得

表征分析解法5的思路與前面幾種解法完全不同,此解法中用第一定義即橢圓上的點(diǎn)滿足到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)來(lái)表征“A，B兩點(diǎn)在橢圓上”,用相鄰補(bǔ)角的余弦值互補(bǔ)即cos∠AFF1+cos∠BFF1=0來(lái)表征“A，B兩點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)F的直線上”,通過(guò)兩次余弦定理來(lái)建立邊長(zhǎng)之間的關(guān)系,最終得出所求傾斜角的大小,進(jìn)而得出所求斜率.

解法6如圖2所示,分別過(guò)A，B作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為A′，B′,過(guò)A作BB′的垂線,垂足為M.

設(shè)AF=x,BF=3x,

表征分析解法6從解答過(guò)程來(lái)看應(yīng)該是六種解法中最為簡(jiǎn)單的方法,究其原因可以發(fā)現(xiàn)，表征“A，B兩點(diǎn)在橢圓上”是運(yùn)用的橢圓第二定義,在表征“A，B兩點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)F的直線上”運(yùn)用的是線段長(zhǎng)度關(guān)系即AB=AF+FB=4x,然后通過(guò)解直角三角形得出結(jié)果.這一解法十分簡(jiǎn)潔精彩,將橢圓第二定義的比值完美地融合在直角梯形和直角三角形等一些特殊的圖形中,將幾何法的優(yōu)勢(shì)得以凸顯.