探源頭活水 究問題本質(zhì)
——以圓錐曲線中利用相關(guān)點法探求直線的斜率問題為例

朱麗娟

(江蘇省揚州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校，225002)

對近幾年各地的考題研究發(fā)現(xiàn)，解析幾何的考查多以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的方式呈現(xiàn),斜率問題是高頻考題．其中一類解決斜率問題的方法就是相關(guān)點法．筆者通過這個專題的研究,試圖立足基礎(chǔ),探索解析幾何教學(xué)的良好途徑,也嘗試探索培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的方式.

一、教材探源及拓展

1.教材探源

蘇教版教材選修2-1(2005年6月版)教科書《數(shù)學(xué)》第27頁例2:將圓x2+y2=4上的點橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線.

分析(1)只要求所得曲線上任意一點的坐標(biāo)滿足的方程即可;(2)將圓上點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话胪ㄟ^構(gòu)建已知點和所求點之間的橋梁,求得方程．

解設(shè)所得曲線上任一點坐標(biāo)為(x,y)，圓x2+y2=4上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(x′,y′)，

這就是變換后所得曲線的方程，它表示一個橢圓.

點評如圖1,建立相關(guān)點P，D坐標(biāo)關(guān)系,即建立從已知到未知的橋梁，這就是相關(guān)點法的運用,也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法.

2.習(xí)題拓展

課本第33頁習(xí)題12:橢圓可視為對圓上的點向同一條直徑施行伸縮變換而成.運用橢圓與圓之間的這種關(guān)系,你能根據(jù)圓的面積公式來猜想橢圓的面積公式嗎?

點評這道題需要從橢圓的形成過程出發(fā),類比推出橢圓的面積公式.

3.一個結(jié)論

證明因為點M是弦AB的中點,所以

又A，B都在橢圓上，所以

點評這是圓錐曲線中最常見的結(jié)論之一,應(yīng)用也非常廣泛．其中值為e2-1的形式也適用雙曲線.這里相關(guān)點增加3個:A，B和中點M,由中點公式建立三者之間的關(guān)聯(lián).

二、例說相關(guān)點法探究直線的斜率問題

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

所以直線BN的斜率

解法2設(shè)點M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).直線BM的方程為

例2已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為______.

點評本題抓住了?AF1F2的等腰特征,利用圖形的幾何特征解題,比較簡便.解題中的圖形的識別和使用,也是發(fā)展學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的方法.

三、反思和建議

1.注重問題的歸類和尋根

注重歸類就是要總結(jié)解決一類問題的通性通法,所謂考試就是練習(xí),就是平時解題的表現(xiàn)．如用相關(guān)點法探究斜率問題的關(guān)鍵是相關(guān)點的坐標(biāo)析出和表達.相關(guān)點信息的表達也許方式多元,但解題的一般算法是大同小異的.

尋根指的是題目的來源在哪里,或者說算法從哪里來,又是如何由由簡單的問題變化而來等,也就是注意尋找“源頭活水”.

教學(xué)中,對于新知識的學(xué)習(xí)應(yīng)重視概念理解,凸顯核心概念的多重表征．從數(shù)學(xué)解題的視角看,數(shù)學(xué)解題能力是一種技能，技能訓(xùn)練必須遵循其規(guī)律.技能訓(xùn)練一般有如下幾個階段:一是熟悉規(guī)則,二是熟練化,三是自動化,四是策略化.在解析幾何教學(xué)中,教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解析幾何運算中的策略選擇和優(yōu)化,讓學(xué)生提高解題能力,發(fā)展核心素養(yǎng)．

2.關(guān)注學(xué)生的學(xué),才能更好地教

學(xué)生素養(yǎng)的形成和發(fā)展,都蘊含在學(xué)習(xí)體驗中.以運算素養(yǎng)發(fā)展為例,包括運算對象的選擇,算法的比較,過程的監(jiān)控,解題后的反思等.讓學(xué)生暴露思維,教師再進行認知及元認知知識、技能的指導(dǎo)都是必要的．美國匈菲爾德的研究表明:學(xué)生在問題解決時之所以失敗,常常不是因為缺乏相關(guān)知識和認知策略,而是對認知策略的無效利用．一些教學(xué)實驗也表明:數(shù)學(xué)教師可以幫助學(xué)生有效地使用問題解決策略．當(dāng)然,學(xué)生運算素養(yǎng)的形成不是一蹴而就的,需要其自身的積累和堅持,還有非智力因素的參與.

3.立足基礎(chǔ),加深對解析幾何本質(zhì)的理解

2017年版課標(biāo)指出:通過解析幾何的學(xué)習(xí),讓學(xué)生感受數(shù)與形的結(jié)合,也感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián),加強對數(shù)學(xué)整體性的理解.解題中就應(yīng)體現(xiàn)幾何和代數(shù)的有機結(jié)合,體現(xiàn)以坐標(biāo)為橋梁,用代數(shù)的知識來研究幾何問題的實質(zhì)．因此,教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生抓住圖形屬性，理解定義本質(zhì)，依靠方程工具就是解決問題的良策.