中學(xué)數(shù)學(xué)中的適應(yīng)性問題舉偶

何建東 俞菊妃

(浙江省紹興市越州中學(xué)，312075) (浙江省紹興文理學(xué)院附中，312000)

縱覽近年來的中高考以及數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題,我們常能看到這樣一類問題,要求學(xué)生即時(shí)接受題目給出的新事物,根據(jù)平時(shí)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí),去適應(yīng)新情況,進(jìn)行探索,求得結(jié)果.我們把這一類問題稱之為“適應(yīng)性問題”.

“適應(yīng)性問題”具有情境新、立意新、形式新等特點(diǎn),一般需要學(xué)生具備較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力.通過閱讀題意,即時(shí)理解新的概念、公式、規(guī)則等,然后按照“從新情境中獲取信息——分析處理信息——轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題——獲得原問題的解答”的步驟進(jìn)行“邊適應(yīng)邊解答”式的問題解決[1].

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師若能將此類問題進(jìn)行歸類整理,為學(xué)生作專門系統(tǒng)性的講析,可以讓學(xué)生增強(qiáng)適應(yīng)能力,提高對(duì)此類問題的解決效率．本文根據(jù)筆者廿多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),歸納整理出以下七類“適應(yīng)性問題”,試分別舉例評(píng)析.

一、適應(yīng)一種“新運(yùn)算”

例1對(duì)正實(shí)數(shù)x,y,定義運(yùn)算“*”:x*y=axy+b+7,已知1*2=989, 2*3=1 003,則2*9的值為( )

(A)2 009 (B)2 010

(C)2 011 (D)2 012

解析對(duì)于這類臨時(shí)定義的“新運(yùn)算”,解題的關(guān)鍵是將具體的x,y正確地代入等號(hào)右側(cè)的代數(shù)式,將“新運(yùn)算”的要求轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí),從而給予解決.

根據(jù)題意,可列出關(guān)于a,b的方程組

解得a=2,b=980.

故x*y=2xy+987,2*9=210+987=1 024+987=2 011,選C.

例2在正實(shí)數(shù)集上定義一種運(yùn)算“☆”:當(dāng)a≥b時(shí),a☆b=b3;當(dāng)a

解析根據(jù)題意,需要分3≥x和3

若3≥x,則3☆x=x3=27,得x=3;

二、適應(yīng)一個(gè)“新符號(hào)”

例3定義符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù).如，[2.1]=2,[3]=3,[-1.5]=-2.現(xiàn)已知[x]=3,[y]=0,[z]=1,試求[x+y-z]所表示的數(shù)的范圍.

∴1

例4現(xiàn)定義符號(hào)如下:f(x)表示以x為自變量的函數(shù),其中x為任意正數(shù),對(duì)任意正數(shù)x,y恒有f(x·y)=f(x)+f(y)成立.已知f(8)=3,試求f(32)的值.

解析本題所給的符號(hào)f(x)其實(shí)就是高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)符號(hào),若未給出具體的函數(shù)解析式,f(x)是一個(gè)抽象函數(shù).解決這類問題需要學(xué)生有較強(qiáng)的理解能力,其關(guān)鍵是將條件“對(duì)任意正數(shù)x,y恒有f(x·y)=f(x)+f(y)成立”看成為一個(gè)公式,靈活恰當(dāng)?shù)亟o變量x,y進(jìn)行賦值,或者結(jié)合中學(xué)所學(xué)的符合此條件具體某個(gè)基本初等函數(shù)輔助思考.

可先將f(8)按條件形式進(jìn)行變形:f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4),

類似地，有f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2).

∴3f(2)=3,得f(2)=1.

再將所求f(32)變形:f(32)=f(4×8)=f(4)+f(8)=2+3=5.

說明本題所給的函數(shù)f(x)可以用高中數(shù)學(xué)中的對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0,且a≠1)作為具體一個(gè)函數(shù)來輔助分析.由條件f(8)=3易知其中的a=2.常見類似的等式還有f(x+y)=f(x)·f(y)(指數(shù)函數(shù))，f(x+y)=f(x)+f(y)(正比例函數(shù))，f(x·y)=f(x)·f(y)(冪函數(shù))等,此題中的等式還可以推廣為f(x·y·z)=f(x)+f(y)+f(z)，f(xn)=nf(x)等.

三、適應(yīng)一種“新圖形”

例5將已知線段AB等分為A0A1,A1A2,A2A3,…,An-2An-1,An-1An,其中A0=A,An=B,點(diǎn)A涂紅色,點(diǎn)B涂藍(lán)色,其它n-1個(gè)點(diǎn)任意涂紅色或藍(lán)色之一.如果一個(gè)等分線段的兩端點(diǎn)有不同顏色,那么稱這條線段為“好線段”.試證:這n條線段中共有奇數(shù)條“好線段”.

解析本題新給出一種“新圖形”——“好線段”.理解其意思:“一個(gè)等分線段的兩端點(diǎn)有不同顏色”是解題的關(guān)鍵.

不妨設(shè)最后一條“好線段”是AkAk+1.若k=0,則僅有一條“好線段”,得證.若k≠0,則Ak與A0同為紅色(否則Ak+1為紅色,由于B為藍(lán)色,則不論Ak+1與B之間有否藍(lán)色點(diǎn),將有新的“好線段”出現(xiàn),與假設(shè)矛盾),注意到Ak與A0之間若有“好線段”,必是紅藍(lán)“好線段”與藍(lán)紅“好線段”成對(duì)出現(xiàn),所以Ak與A0之間有偶數(shù)條“好線段”,加上最后一條,共有奇數(shù)條“好線段”.

四、適應(yīng)一個(gè)“新集合”

例6非空集合G關(guān)于運(yùn)算?滿足:(1)對(duì)任意的a,b∈G,都有a?b∈G；(2)存在e∈G,都有a?e=e?a=a,則稱G關(guān)于運(yùn)算?為“融洽集” .現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算:

①G={非負(fù)整數(shù)},?為整數(shù)的加法；

②G={偶數(shù)},?為整數(shù)的乘法；

③G={平面向量},?為向量的加法；

④G={二次三項(xiàng)式},?為多項(xiàng)式加法；

⑤G={虛數(shù)},?為復(fù)數(shù)的乘法.

其中G關(guān)于運(yùn)算?為“融洽集”的是______(寫出所有“融洽集”的序號(hào))

解析本題是以近世代數(shù)中群的定義為背景命制的,同時(shí)涉及中學(xué)數(shù)學(xué)中的整數(shù)、向量、多項(xiàng)式、復(fù)數(shù)等知識(shí)素材.經(jīng)過命題者的精心設(shè)計(jì)和包裝,以“融洽集”的形式出現(xiàn),展示了一個(gè)全新的問題.解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是閱讀理解“融洽集”的定義,綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法,分別檢查所給答案是否同時(shí)滿足其定義的兩個(gè)條件(滿足需證明,不滿足需舉反例).以下進(jìn)行逐一分析.

①G={非負(fù)整數(shù)},?為整數(shù)的加法,滿足任意a,b∈G,都有a?b∈G；且令e=0,有a?0=0?a=a,所以① 符合要求;

②G={偶數(shù)},?為整數(shù)的乘法,若存在a?e=a×e=a,則e=1,矛盾, ∴② 不符合要求;

③G={平面向量},?為平面向量的加法,取e=0,滿足要求, ∴③ 符合要求;

④G={二次三項(xiàng)式},?為多項(xiàng)式的加法，兩個(gè)二次三項(xiàng)式相加得到的可能不是二次三項(xiàng)式，所以④不符合要求;

⑤G={虛數(shù)},?為復(fù)數(shù)的乘法，兩個(gè)虛數(shù)相乘得到的可能是實(shí)數(shù), ∴⑤ 不符合要求.這樣G關(guān)于運(yùn)算?為“融洽集”的有① ③.

五、適應(yīng)一種“新規(guī)則”

例7有紅、黃、藍(lán)三種顏色的玻璃片,它們的張數(shù)分別是13，15，17.規(guī)定進(jìn)行以下的操作:把兩塊顏色不同的玻璃片上的顏色擦去,涂上第三種顏色,問是否可以通過有限次操作,使得每一塊玻璃片都涂上了同一種顏色?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

解析針對(duì)此類問題,適應(yīng)“新規(guī)則”的要求是解決問題的關(guān)鍵.

不妨假設(shè)某一次調(diào)整之前,三種顏色的玻璃片數(shù)分別是x，y，z,經(jīng)過一次調(diào)整之后,只可能變成以下三種情況之一:

紅黃藍(lán) x-1y-1z+2 x-1y+2z-1 x+2y-1z-1

討論紅、黃兩種顏色玻璃片數(shù)之差,對(duì)比三種情況,分別是:

(x-1)-(y-1)=x-y；

(x-1)-(y+2)=x-y-3；

(x+2)-(y-1)=x-y+3.

說明任何兩色的玻璃片數(shù)之差在操作前后,被3除的余數(shù)相同,而初始狀態(tài)上,紅、黃兩色玻璃片數(shù)之差為2,不能被3整除,故最終每塊玻璃片不可能涂上同一種顏色(如藍(lán)色),否則將有另兩種顏色的玻璃片數(shù)之差為0,將能被3整除.

六、適應(yīng)一類“新數(shù)”

例8將正整數(shù)N接寫在每一個(gè)正整數(shù)的右面,如果得到的新數(shù)都能被N整除,那么稱N為“魔術(shù)數(shù)”,在小于130的正整數(shù)中,“魔術(shù)數(shù)”的個(gè)數(shù)是多少?

解析本題的知識(shí)范疇為整數(shù)和整除,利用整除性質(zhì)進(jìn)行考慮是解決問題的關(guān)鍵.

設(shè)a為“魔術(shù)數(shù)”,把它接寫在任一正整數(shù)的右面,得到一個(gè)新數(shù),按a的位數(shù)分類討論:

(1)若a是一位數(shù),則可將新數(shù)表示為10x+a,能被a整除,即對(duì)任一正整數(shù)x,10x都能被a整除,即10應(yīng)是a的倍數(shù),這樣的a只能是1,2,5共3個(gè);

(2)若a是兩位數(shù),則可將新數(shù)表示為100x+a,能被a整除,即對(duì)任一正整數(shù)x,100x都能被a整除,即100應(yīng)是a的倍數(shù),這樣的a只能是10,20,25,50共4個(gè);

(3)若a是三位數(shù),則可將新數(shù)表示為1 000x+a,能被a整除,即對(duì)任一正整數(shù)x,1 000x都能被a整除,即1 000應(yīng)是a的倍數(shù),又a<130,這樣的a只能是100,125共2個(gè).

所以,符合條件的“魔術(shù)數(shù)”共有3+4+2=9個(gè).

七、適應(yīng)一種“新數(shù)組”

例9如果一個(gè)正整數(shù)的每個(gè)素?cái)?shù)因數(shù)都至少是二重的(即每個(gè)素?cái)?shù)因數(shù)乘方次數(shù)都大于或等于2),那么稱這個(gè)正整數(shù)為“漂亮數(shù)”.如果兩個(gè)相鄰的正整數(shù)都是“漂亮數(shù)”,那么稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)組為“孿生漂亮數(shù)組”.例如相鄰的正整數(shù)8,9就構(gòu)成一個(gè)“孿生漂亮數(shù)組”,請(qǐng)你再找出兩個(gè)“孿生漂亮數(shù)組”來.

解析根據(jù)題意,“孿生漂亮數(shù)組”是由兩個(gè)相鄰的“漂亮數(shù)”構(gòu)成,而兩個(gè)“漂亮數(shù)”的乘積仍然是“漂亮數(shù)”,因此,可以考慮借助已知的一個(gè)“孿生漂亮數(shù)組”尋找解題突破口.

設(shè)(n,n+1)是一個(gè)“孿生漂亮數(shù)組”,可知4n(n+1)仍然是“漂亮數(shù)”.

而4n(n+1)+1=4n2+4n+1=(2n+1)2是一個(gè)完全平方數(shù),必也是“漂亮數(shù)”.

所以 (4n(n+1),4n(n+1)+1)也是一個(gè)“孿生漂亮數(shù)組”.

已知(8,9)是一個(gè)“孿生漂亮數(shù)組”,

當(dāng)n=8時(shí),4n(n+1)=288,4n(n+1)+1=289,故(288,289)為一個(gè)“孿生漂亮數(shù)組”.

又當(dāng)n=288時(shí),4n(n+1)=332 928,4n(n+1)+1=332 929,故(332 928,332 929)也為一個(gè)“孿生漂亮數(shù)組”.

隨著數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的發(fā)展,“適應(yīng)性問題”將越來越多地進(jìn)入教師和學(xué)生的視野.如果我們能做一個(gè)有心人,將這一類問題進(jìn)行及時(shí)的收集和整理,必將為數(shù)學(xué)教學(xué)和研究注入新的活力.