遞推數(shù)列問題的命題特色及解法賞析

魯 彬

(江蘇省姜堰第二中學(xué)，225500)

已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第2項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,這個(gè)公式稱為數(shù)列的遞推公式, 這樣的數(shù)列稱為遞推數(shù)列.等差數(shù)列和等比數(shù)列都是特殊的遞推數(shù)列,是高考中常規(guī)題型，而一般的遞推數(shù)列是數(shù)學(xué)競賽中的熱點(diǎn)．近年來,高考的壓軸題出現(xiàn)了新風(fēng)向:把遞推數(shù)列與其他知識交匯命題,通過常規(guī)方法解決遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式.這樣命題既不超綱,又頗有特色.茲分類舉例說明如下.

一、知識交匯，煥發(fā)遞推數(shù)列新活力

1.遞推數(shù)列與排列組合的交匯

例1(2018年江蘇卷第23題)設(shè)n∈N*,對1,2,…,n的一個(gè)排列i1,i2,…,in,如果當(dāng)sit,則稱(is,it)是排列i1,i2,…,in的一個(gè)逆序,排列i1,i2,…,in的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù).例如，對1,2,3的一個(gè)排列231,只有兩個(gè)逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數(shù)為2.記fn(k)為1,2,…,n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù).

(1)略;

(2)求fn(2)(n≥5)的表達(dá)式(用n表示).

解(1)略.

(2)對于一般n(n≥4)的情況,逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)即1,2,…,n,所以fn(0)=1.

逆序數(shù)為1的排列只需將排列1,2,…,n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置即可,所以fn(1)=n-1.

為計(jì)算fn+1(2),當(dāng)1,2,…,n的排列及其逆序數(shù)確定后,將n+1添加進(jìn)原排列,而n+1在新排列中的位置只可能是最后三個(gè)位置.

因此,fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.

當(dāng)n≥5時(shí),

fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)

=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)

點(diǎn)評本題通過新型定義“逆序數(shù)”與遞推數(shù)列交匯,既考查計(jì)數(shù)原理、排列等基礎(chǔ)知識,又考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力,通過本題可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2.遞推數(shù)列與概率的交匯

例2(2019年全國Ⅰ卷理科第21題)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)略;

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.

(i)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

解(2)(i)∵α=0.5,β=0.8,

∴由(1)得,a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,…,7),

故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即(pi+1-pi)=4(pi-pi-1).

又p1-p0=p1≠0,故{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.

(ii) 由(i)，可得

p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.

點(diǎn)評本題將概率與遞推數(shù)列交匯,考生通過數(shù)學(xué)閱讀，從題目中提取有效信息,建立數(shù)學(xué)建模,運(yùn)算求解后判斷試驗(yàn)方案的合理性.通過本題可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模,數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

遞推數(shù)列除了與排列組合、概率知識交匯以外,還可以與立體幾何、解析幾何、分形等知識交匯,這種熱點(diǎn)問題的命題方式和求解過程能夠促進(jìn)學(xué)生獲得“四基”,提高“四能”,也能使學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、教材內(nèi)容賦予遞推數(shù)列新生命

三、常規(guī)解法打開遞推數(shù)列新思路

在數(shù)學(xué)競賽中,特征根法、不動(dòng)點(diǎn)法是解決遞推數(shù)列的常用方法,但畢竟參加數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力,這些方法對一般學(xué)生提出了很高的要求和挑戰(zhàn).因此，下面介紹學(xué)生比較熟悉的“待定系數(shù)法”來解決一類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題.

題型1形如an+1=pan+q(p≠1,pq≠0)的遞推數(shù)列.

例3數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=2an+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解易知an+1+1=2(an+1)且a1+1=2≠0,{an+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故an+1=2n,an=2n-1.

題型2形如an+1=pan+an+b(p≠0,p≠1,a≠0)的遞推數(shù)列.

求解策略令an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y),與原式比較系數(shù)解出x,y,從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an+xn+y}.

例4數(shù)列{an}滿足:a1=4,an+1=3an+2n+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解設(shè)an+1+x(n+1)+y=3(an+xn+y),an+1=3an+2xn+2y-x,∴x=1,y=1,故an+1+(n+1)+1=3(an+n+1),a1+1+1=6≠0,∴{an+n+1}是以6為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,故an+n+1=6×3n-1,∴an=2×3n-(n+1).

題型3形如an+1=pan+an2+bn+c(p≠0,p≠1,a≠0)的遞推數(shù)列.

求解策略令an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=p(an+xn2+yn+z),與原式比較系數(shù)解出x,y,z,從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{an+xn2+yn+z}.

例5數(shù)列{an}滿足:a1=4,an+1=3an+2n2+4n+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解令an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=3(an+xn2+yn+z),得an+1=3an+2xn2+2(y-x)n-x-y+2z,對照原式可知x=1,y=z=3.

∴an+1+(n+1)2+3(n+1)+3=3(an+n2+3n+3),a1+12+3×1+3=11≠0,

∴{an+n2+3n+3}是以11為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.

故an+n2+3n+3=11×3n-1,

∴an=11×3n-1-(n2+3n+3).

題型4形如an+1=pan+qn+1(pq(p-1)(q-1)≠0)的遞推數(shù)列.

例6數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=3n+1+3an,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

題型5形如an+2=pan+1+qan(其中p2+4q≥0)的遞推數(shù)列.

①

②

由① ② 可得

除了待定系數(shù)法以外,解決遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法還有:累加(乘)法、分解因式法、取倒(對)數(shù)法、換元法、歸納猜想法、迭代法等.限于篇幅,這里不再一一贅述.