利用草圖培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想

秦虹

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)草圖 數(shù)形結(jié)合 思想方法

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）10A-0089-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》將滲透數(shù)學(xué)思想方法作為一個明確的教學(xué)目標提了出來，要求教師加強教學(xué)實踐，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。那么，在實際教學(xué)中，如何進行數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透呢？筆者認為，教師應(yīng)從小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)與形的結(jié)合入手，帶領(lǐng)學(xué)生感知數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)思維。何謂數(shù)學(xué)思想方法？它是從某些具體的數(shù)學(xué)認識過程中提煉出的一些觀點，揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，也是人們對數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認識，直接支配著數(shù)學(xué)的實踐活動，這是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識。而數(shù)學(xué)方法，則是解決數(shù)學(xué)問題的方法，即解決數(shù)學(xué)具體問題時所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數(shù)學(xué)問題的策略。對于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來說，數(shù)學(xué)思想是宏觀的，它具有普遍的指導(dǎo)意義，而數(shù)學(xué)方法是微觀的，它是解決數(shù)學(xué)問題的直接、具體的手段。一般來說，前者給出了解決問題的方向，后者給出了解決問題的方法。但由于小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較簡單，所以隱藏的思想和方法很難截然分開，更多反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。如常用的分類思想和分類方法，集合思想和交集方法，在本質(zhì)上都是相通的，所以小學(xué)數(shù)學(xué)通常把數(shù)學(xué)思想和方法看成一個整體概念，即小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個主要對象，數(shù)離不開形，形離不開數(shù)，一方面抽象的數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡單化；另一方面復(fù)雜的形體可以用簡單的數(shù)量關(guān)系表示，讓學(xué)生很容易就找到解決問題的辦法，尤其是在解答應(yīng)用題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，并建立問題鏈接，分析解決問題的路徑，讓學(xué)生深刻理解并借助數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題。

下面筆者就在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生利用畫草圖，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法談一些做法。

一、利用草圖數(shù)形結(jié)合，學(xué)會思考問題

根據(jù)小學(xué)教材的編排體系不難看出，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個主要對象，教材中的數(shù)是通過形來展現(xiàn)的，由此幫助學(xué)生建立直觀形象的概念，理解抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡單化；同時，能夠讓學(xué)生借助簡單的圖形，將復(fù)雜的問題直觀呈現(xiàn)，以此采用簡單的數(shù)量關(guān)系圖，梳理問題中的解決路徑。數(shù)形結(jié)合的思想方法的本質(zhì)，就是讓學(xué)生將數(shù)（量）與（圖）形結(jié)合起來進行分析、研究，最終找到解決問題的辦法的一種思維策略。教學(xué)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在解應(yīng)用題中，借助線段圖的直觀幫助分析數(shù)量關(guān)系。

學(xué)生在高年級時通常會遇到一些較復(fù)雜的題目，如“在200米的路的一旁，每隔5米栽一棵樹（兩端都栽），一共需要栽多少棵樹？”教學(xué)時，教師可組織學(xué)生思考：“我們可以先利用畫圖的方法找找路和樹之間有什么關(guān)系？可以動手畫一畫，想一想，等理清楚了路和樹之間的關(guān)系，你就找到了解決這道題的辦法?！?/p>

學(xué)生在動手畫圖后很容易找出路和樹之間的關(guān)系：

經(jīng)過觀察和比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖二、圖三不屬于兩端都栽，而圖一中樹的棵數(shù)比路分成的段數(shù)多1，再把路分成三段、四段……

學(xué)生從上面的圖中可以歸納出：兩端都栽，樹的棵數(shù)=路的段數(shù)+1。再讓學(xué)生利用同樣的方法尋找圖二、圖三中的規(guī)律。學(xué)生會借助圖形的幫助很快得出：兩端都不栽，樹的棵數(shù)=路的段數(shù)-1；一端栽一端不栽，樹的棵數(shù)=路的段數(shù)。

這樣，學(xué)生理清了路和樹之間的關(guān)系，他們很快列出算式200÷5+1=41（棵）。

以上教學(xué)，教師從直觀的畫圖入手，讓學(xué)生看到數(shù)量關(guān)系的變化，并從中感受到“兩端都栽、兩端都不栽、一端栽”三種形式，從而理清了三種情況下的解決問題路徑，建立了數(shù)形結(jié)合的思維意識。

二、利用草圖數(shù)形結(jié)合，學(xué)會轉(zhuǎn)換數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)換是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點。學(xué)生受到慣性思維模式的影響，容易迷失方向，在解題時不知道該怎么解。例如，教學(xué)分數(shù)乘除法應(yīng)用題時，學(xué)生常常找不到單位“1”，不知道何時該用乘法，何時該用除法。有基于此，筆者將草圖作為一個重要的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生利用線段圖進行有效分析，讓學(xué)生能夠自主畫出線段圖，使其直觀地呈現(xiàn)出數(shù)量與分率之間的關(guān)系，特別體現(xiàn)在一些需要轉(zhuǎn)換單位“1”的題目中。

例如，“兄弟四人合作修一條路，結(jié)果老大修了另外三兄弟總數(shù)的一半，老二修了另外三兄弟總數(shù)的，老三修了另外三兄弟總數(shù)的，老四修了91米，問這條路長多少米？”學(xué)生一開始不知道如何梳理三者的關(guān)系，對另外三個人的關(guān)系的理解存在誤區(qū)。為此，筆者帶領(lǐng)學(xué)生展開探究：請你畫出一幅線段圖，展示老大和另三人的份數(shù)。學(xué)生由此通過畫圖展示老大是另三人的一半，通過畫圖呈現(xiàn)：（如圖）

通過這樣直觀呈現(xiàn)，將數(shù)與形有機地結(jié)合在一起，學(xué)生能直觀發(fā)現(xiàn)：老大占總數(shù)的，也就是總數(shù)的?；谶@樣的引導(dǎo)，學(xué)生繼續(xù)按照同樣的思路畫圖，馬上能找出老二占總數(shù)的，老三占總數(shù)的，再次通過畫圖呈現(xiàn)出總數(shù)與部分之間的關(guān)系，即91米對應(yīng)的分率是1---，很快問題就解決了。

三、利用草圖數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力

新課標將空間能力的培養(yǎng)列為重點內(nèi)容，要求教師進行直觀引導(dǎo)，幫助學(xué)生建構(gòu)空間概念，發(fā)展空間想象力。在實際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，通過利用草圖，能夠?qū)⒁恍┹^為復(fù)雜的立體圖形進行分解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，幫助學(xué)生解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)圖形題。例如：

這道題的難點，是要有一個立體的空間感受，然后分析問題，找到解決問題的辦法。因而，在思考這道題時，教師要引導(dǎo)學(xué)生從幾個方面探究，將其分成前、后、上、下、左、右六個方向展開觀察，并將觀察到的圖形畫出來，找到相應(yīng)的條件，就能算出這個頒獎臺涂紅油漆和黃油漆的面積分別是多少了。學(xué)生一邊畫圖一邊思考：涂紅油漆的是哪一面？從上面計算是多少？如果從左面是多少呢？右面呢？學(xué)生從上面觀察：發(fā)現(xiàn)上面是由三個正方形組成的長方形，畫出來，得到一個平面圖形，由此可以得到面積為40×40×3=4800（平方厘米）。

學(xué)生再從左面、右面分別觀察，發(fā)現(xiàn)左面和右面是兩個一樣的個長方形，畫出來，得到一個平面圖形，通過平面圖可以得到面積為65×40×2=5200（平方厘米）。

根據(jù)以上觀察到的圖形，學(xué)生很快得到計算結(jié)果：涂紅油漆的面積為4800+5200=10000（平方厘米）。涂黃油漆的是前面和后面。從前面和后面觀察：前面和后面都是由三個長方形組成，畫出來，得到一個平面圖形（如下圖）。

面積為[（65-10）×40+65×40+40×40]×2=12800（平方厘米）。就這樣，這個復(fù)雜的數(shù)學(xué)習(xí)題，通過畫圖，學(xué)生有條不紊地展開直觀分析，有效地解決了問題。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過引導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生利用畫草圖解決數(shù)學(xué)問題，這樣就可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，建構(gòu)解決問題的策略，幫助學(xué)生思考，同時也有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。

（責(zé)編 林 劍）