漢字的數(shù)學分析

王傳斌 劉菁

摘 要 漢字是中華民族的文化積淀，在其發(fā)展過程中經(jīng)歷了人類智慧的加工，滲透了多種學科知識的潛移默化，呈現(xiàn)出數(shù)學的影響跡象。如果從數(shù)學的角度去分析漢字會獲得另外一種感悟，能更加全面地理解漢字的產(chǎn)生、演變及意義，有效地促進漢字的學與教。

關鍵詞 漢字 量化分析 空間結(jié)構(gòu) 數(shù)學思想 數(shù)學美

漢字，是世界上唯一一種生生不息，歷久彌新的文字?？脊虐l(fā)現(xiàn)，6000年前的半坡遺址就有可以稱為漢字的刻畫符號[1]。漢字是由基本的部件——字形“一丨丿丶乚”構(gòu)造出單字符，再由單字符經(jīng)過有機組合架構(gòu)起來的，漢字或由漢字構(gòu)成的詞語揭示了其表示對象的本質(zhì)，也是人類交流和傳承的工具，成為人類社會信息的載體。漢字在發(fā)展過程中蘊涵著大量的信息，如果從數(shù)學的角度分析，會有更加寬廣和深層的意義。

一、漢字的量化反映

分析漢字時發(fā)現(xiàn)，有些具有相反意義的漢字筆畫數(shù)相同，如上和下都是3畫、大和小都是3畫、凹和凸都是5畫、左和右都是5畫、遠和近都是7畫等；有些含義相反的字筆畫數(shù)相近，如東西、正反等，可以看出先祖在造字和簡化時既考慮到意義相反，也體現(xiàn)平衡意識。

大家熟悉的百家姓、堂號和輩分其實是人類分群的標準，姓既是分類符號，又是識別符號，還是身份的象征，有的姓是數(shù)字的音近或意近或轉(zhuǎn)型，它是數(shù)學應用的典型。如一、乙（音近，聲調(diào)有差異）和單（意近）姓；二、倪（音近“兒”的轉(zhuǎn)意，據(jù)說姓孫和姓兒互相對罵，后來姓兒的改成姓倪）和雙（意近）；三、傘（音近）姓（在山東、河北、東北三省一帶較多，在江蘇贛榆北、山東日照南有一村名叫“傘莊”，村民姓傘，參（叁的轉(zhuǎn)型字，據(jù)《實用姓氏·讀寫簡編》記載，讀shēn，又讀cān。凌迪知《萬姓統(tǒng)譜》：“參，陸終第二子參胡之后?！薄独m(xù)通志·氏族略》中記有參（shēn）徐，宋代人，紹興年間中進士）；四、思（意近）（據(jù)《明史》所載，云南土司有思姓），司（司馬遷）和駟姓；五、吳、鄔、武、烏和伍等；六、柳、劉（音近）和陸（六的大寫，意近）；七、漆、齊、戚、祁、亓（音近）；八、巴（音近）；九、仇（意近）；十、師、石、史、侍（音近）姓等；百、白，柏（音近）姓；千、芊（音近）姓；萬、萬（音近）姓；億通乙；兆（在本溪還是個大家）、趙（音近）姓。這種音近和意近說明古代出現(xiàn)文字時，數(shù)的概念早就出現(xiàn)了，最早認識的最大數(shù)是五，慢慢擴大到十、二十、百千萬億兆等，只不過數(shù)字符號產(chǎn)生的晚一些，可見在賜姓或選姓時已經(jīng)建立與數(shù)字的關系。

漢字整體的分布更有意思。辭海[2]（1987年）收集了16000多個單字（包括繁體字和異體字），漢字的筆畫數(shù)從一畫到三十六。現(xiàn)在電腦里的漢字系統(tǒng)就是利用漢字出現(xiàn)頻率從大到小排列漢字的，在所有漢字中，筆畫數(shù)x與該筆畫的漢字數(shù)y之間存在何種關系？不妨通過統(tǒng)計來研究一下。由于現(xiàn)代漢語字典多數(shù)是以拼音為主線編排的，統(tǒng)計不方便，這里以辭海為本統(tǒng)計，結(jié)果見表1，它顯示出筆畫數(shù)與漢字數(shù)的關系，7～15畫的漢字較多，筆畫數(shù)過少或過多的漢字都比較少。

表1 筆畫數(shù)與漢字數(shù)統(tǒng)計表

表1已經(jīng)揭示了筆畫數(shù)與漢字數(shù)的基本關系，可以用EXCEL擬合出一個數(shù)學公式為

且x∈[1，36]，公式中16262是漢字（辭海）的總個數(shù)，μ是筆畫數(shù)x的自然對數(shù)的平均值，其值為2.4739，σ是筆畫的自然對數(shù)的標準差，其值為0.3827（平均值和標準差的計算公式與一般統(tǒng)計書的介紹相同，沒有具體列出）。公式中的參數(shù)僅有兩個，反應不同筆畫數(shù)和漢字數(shù)的理論關系，還可與實際統(tǒng)計數(shù)對比（見圖1）。

圖1 不同筆畫漢字的實際數(shù)量（深色）與理論數(shù)量（淺色）的

對比數(shù)

從圖1看理論公式與實際資料統(tǒng)計值擬合得很好，淺柱（理論）與深柱（實際）的基本走勢和具體的數(shù)值都比較接近。一個僅含兩個參數(shù)的理論公式與實際數(shù)據(jù)基本一致，說明這個公式可以刻畫漢字筆畫與數(shù)量的關系，這對于漢字研究顯然有理論價值[3]。

二、數(shù)學運算和空間結(jié)構(gòu)的會意

生活中人們最熟悉的數(shù)字，其產(chǎn)生經(jīng)歷三個階段：首先，在搭配中出現(xiàn)多和少的概念，起初人們不會用數(shù)來表示物體的多少，而是用現(xiàn)在所說的一一對應來進行比較，如狩獵時把工具和獵人一一搭配，搭配的結(jié)果出現(xiàn)多少和同樣多；其次，在比較中產(chǎn)生標準集合，長期重復進行比較，人們認識到有很多種物體集合可以一一對應，是同樣多，如一個人的眼睛和耳朵、手、腳都是同樣多，于是把這些同樣多的物體集合歸為一類，就是現(xiàn)在所說的等價集合類，并從這一類中選一個最熟悉、最方便、最固化的集合作為代表，來表示這一類等價集合的共同特征，稱為標準集合；再次，人們在反復應用標準集合來表示多少的過程中，漸漸把數(shù)從具體物體的集合中抽象出來，如表示“一”，伸出“一個手指頭”，表示“五”，就說“一只手”，后來，隨著文字的發(fā)展，逐漸創(chuàng)造了符號來表示這些抽象出來的數(shù)，如用“一”或“1”表示一個東西（剔除了具體的物體內(nèi)容）。

從數(shù)的產(chǎn)生過程看，數(shù)字“一”是指事字，甲骨文、金文、小篆和楷書都寫成一橫?！岸笔侵甘伦?，表示由混沌分出的天、地兩極，上面的一橫代表“天”，下面的一橫代表“地”?！叭笔侵甘伦?，在“二”的基礎上構(gòu)造出來，上下兩橫代表“天地”，中間的一橫代表“人”?！八摹笔窍笮挝淖郑盟臈l橫線表示，隸變楷書寫為四。“五”是象形文字，交叉之形。“六”是象形字，是“廬”的本字，甲骨文表示房屋的外形框架，有立墻、斜頂，表示房屋的空間維度：四壁、屋頂、地面。“七”是指事字。“八”是會意字?！熬拧笔窍笮挝淖郑駨澢南x子，后來被借用為數(shù)字，古人造字計數(shù)，起于一，極于九，九是最大的個位數(shù)?！笆笔侵甘伦?，以一到十為基礎，其他的數(shù)字都由此演化而來，無窮無盡，所以有了十，就相當于有了全部，“十”在中國是圓滿的象征，俗話說“十全十美”就是典型的運應用[1]。

中小學課本上還用到阿拉伯數(shù)字、羅馬數(shù)字和希臘數(shù)字[4]。阿拉伯數(shù)字1到9都是指事字（用構(gòu)造符號表示），而從10開始又體現(xiàn)十進制計數(shù)法的（位值）原則。而更有意思的是羅馬數(shù)字，Ⅰ（一）、Ⅴ（五）、Ⅹ（十）、L（五十）、C（一百）、D（五百）、M（一千）等都是指事字，采用加減法原則計數(shù)，前小后大為減法，前大后小或相等為加法，于是Ⅱ、Ⅲ分別表示二、三，Ⅳ表示四（5-1=4），而Ⅵ表示六（5+1=6），類似的Ⅸ表示9，而Ⅺ表示11，1990年北京第十一屆亞洲運動會的會徽就是這個符號。漢字表示數(shù)時把單位保留，如古書頁碼一千零五十四，阿拉伯數(shù)字表示為1054，而羅馬數(shù)字表示為MLIV，易見它們的差異。另外數(shù)學書上還有希臘計數(shù)法，如α、β、γ、δ等?！蛾P于出版物上數(shù)字用法的試行規(guī)定》于1995年12月13日由國家技術監(jiān)督局正式作為國家標準頒布，從1996年6月1日起實施。

數(shù)字與漢字的區(qū)分。如俗語“八竿子打不著的朋友”，比喻關系疏遠或沒有關系，如何理解呢？原來“八”是“丿ヽ”的左右結(jié)合，“八”的一撇和捺分別看作兩根竹竿，由于上頭不連接，說成是“打不著”，“朋友”是人，而“人”是上頭連起來的，用“八”和“人”的不同（上頭的緊密程度）去說明某人并不是自己的好朋友。

漢字的數(shù)學結(jié)構(gòu)分析。漢字分為單體字和組合字，在由單體字構(gòu)造組合字的過程中，人們吸收了大千世界的自然規(guī)律和生活中的人生感悟，這種自然規(guī)律涉及數(shù)學的知識。如古代把日常生活的五種物質(zhì)：金、木、水、火、土元素稱為五行，五行相生相克構(gòu)成宇宙萬物及各種自然現(xiàn)象變化的基礎，由這五種要素相生可派生出很有意思的字。如“水”和“木”相生，由變形的“水”和“木”構(gòu)成“沐”；“林”是兩個樹（木）并肩，無上下結(jié)構(gòu)；上下都有火，火更旺，構(gòu)成“炎”，無左右結(jié)構(gòu)。再如鑫、森、淼、焱、垚等，它們是由三個同體字遵循三角形結(jié)構(gòu)構(gòu)造出來的，體現(xiàn)三角形穩(wěn)定性，上面一個字，下面兩個字，基礎扎實，穩(wěn)于泰山，很少有上面兩個字，下面一個字，也很少有四個同體字采用四邊形構(gòu)造一個新字的，因為四邊形具有不穩(wěn)定性，即使有這樣結(jié)構(gòu)的漢字，按照漢字由繁入簡的規(guī)律逐漸消失，雖然“綴”右邊是四個“又”構(gòu)成的，但依靠左邊的“纟”形成左右結(jié)構(gòu)，還是穩(wěn)定的。很少見到五行中的幾個相克的異體字構(gòu)造新字的，如“火”與“水”相克，叫“水火不相容”，沒看到過它們的組合字。這就是自然認知理念在造字中的體現(xiàn)。

漢字在數(shù)學的空間位置中領悟。某校圖書館廣場上的篆字石刻，正面是兩個字“思”、“想”，如果從字面理解，“思想”顯得簡單，但結(jié)合橫向方位理解，“思”在左邊，“想”在右邊，合起來是“左思右想”那就意義非凡了。另外一塊石刻“天”在上、“公”在下，字面理解就是“天公”，如果結(jié)合縱向方位理解，“天”的下面是“公”，也就是“天下為公”，那是孫中山先生倡導的理念，可見，設計者從數(shù)學的空間方位獲得靈感，吸收了上下左右的感悟，巧妙地把相關漢字“左、右、下、為”借助于數(shù)學的空間概念展現(xiàn)出來，真是匠心獨運。

三、一筆畫的展現(xiàn)

一筆畫是指一個由線條相連構(gòu)成的圖能夠一筆畫出，且每條線條必須經(jīng)過且僅通過一次。漢字是由基本的筆畫線條構(gòu)成的圖形符號，有的筆畫相連的漢字可以一筆畫成，當然這里僅從數(shù)學的角度研究漢字的趣事，有的要夸張，有的違背了漢字書寫規(guī)則，如所有的字形一、丨、丿、丶、乚都是一筆畫，再如漢字乙、己、弓、幾、廠、了、口、日、凹、凸也是一筆畫，但干、十、工、土、山、田、目、白、自、巴等不能一筆畫，一個漢字具備何種條件能夠一筆畫呢？首先這個漢字的筆畫要相連，還要看漢字中線條相交的點及一條單線的端點，如果有偶數(shù)條線條經(jīng)過的點稱為偶點，有奇數(shù)條線條經(jīng)過的點稱為奇點，一條單線的端點都是奇點，根據(jù)歐拉一筆畫原理：“一個凸聯(lián)通圖奇點個數(shù)是0或2才能一筆畫，否則不能一筆畫”，這里口、日的奇點個數(shù)分別是0或2，可以一筆畫成，而白、田、巴的奇點個數(shù)都是4，工的奇點個數(shù)是6，顯然不能一筆畫。

四、數(shù)學思想的體現(xiàn)

集合概念，“人”是象形字；“從”是會意字，表示跟隨，表明至少有兩人，“從”是具有集合概念的字；“眾”也是會意字，表示至少有三個人才能稱為眾，“眾”是具有集合概念的字；同樣可以分析“木林森”、“火炎焱”、“口呂品”等。

漢字的構(gòu)造體現(xiàn)變換，最典型的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱及其組合。如“林”是由單字“木”左右平移而得；“呂”是由“口”上下平移而生；“十”是由“一”旋轉(zhuǎn)90度疊加而成。

辭海、字典或詞典的漢字編排順序就是典型的分類。目前常用的查字依據(jù)是漢語拼音音節(jié)索引和部首檢字表，這樣就把成千上萬的漢字或詞組進行分類了。如部首查字法是由部首目錄和查字表構(gòu)成的，在部首目錄中一級分類標準為筆畫數(shù)，二級分類標準是筆形丶、一、丨、丿、乚（乛ㄅ乙…），查字表先按筆形排序，再按筆畫數(shù)，然后又是筆形。又如“按姓氏筆畫排序”也是典型的漢字分類。

邏輯體現(xiàn)。漢字不僅僅是一種語言符號，其組成部件和結(jié)構(gòu)方式還記錄了人們對其表示對象客觀而邏輯的認識和反映，主要體現(xiàn)會意上，有時表現(xiàn)在字的構(gòu)造過程具有邏輯推理。如一頭小一頭大是“尖”，人靠著樹是在“休”，從山崖流下的水是“原”（“源”的古字），畫只眼睛就是“目”，畫只鳥就是“鳥”，畫個手、女孩、小孩就是“爪”、“女”、“子”，…

有的漢字在古今對照中顯示真諦，如“想”描繪了人在想的時候的表情和環(huán)境，一個人站在樹下（“木”），瞪著眼睛（“目”），并強調(diào)是在進行精神活動（“心”），這個人是在“想”。“大”是一個相對概念，在比較中才能顯現(xiàn)，金文中的“大”，是一個張開雙臂雙腿的人，人張開雙臂雙腿，占據(jù)的范圍不就“大”了，而甲骨文中的“大”則是一個跑動的人，跑動的人占的地盤還能不“大”?！爸薄笔且粋€原始概念，不能定義，甲骨文的“直”是眼睛上畫一根直線，眼睛看到的“這個”東西就是“直”。

五、數(shù)學美的追求

漢字在追求數(shù)學美的過程中得到創(chuàng)造和發(fā)展，漢字的獨特審美價值表現(xiàn)在空間性的視覺符號，它的魅力不僅僅在于形體的美，更主要的是蘊含著無比豐富的內(nèi)涵，那一個個方塊字是先民心靈的物化，是人生的縮影，是文化的凝聚，是語言、邏輯與文化的哲學組合。

“甲金篆隸草楷行”的演變過程是數(shù)學對稱美的表現(xiàn)。漢字在構(gòu)造過程中體現(xiàn)對稱性，長方形和正方形具有很好的對稱性，漢字從圖畫文字向方塊字轉(zhuǎn)化。約公元前14世紀的殷商后期形成了初步的定型文字，即甲骨文。甲骨文既是象形字又是表音字，至今漢字中仍有一些和圖畫一樣的象形文字。到了西周后期，漢字發(fā)展演變?yōu)榇笞?。大篆的發(fā)展結(jié)果產(chǎn)生了兩個特點：一是線條化，早期粗細不勻的線條變得均勻柔和，它們隨實物畫出的線條簡練生動；二是規(guī)范化，字形結(jié)構(gòu)趨向整齊，逐漸離開了圖畫的原形，奠定了方塊字的基礎。秦朝丞相李斯對大篆加以去繁就簡，改為小篆，它除了把大篆的形體簡化之外，并把線條化和規(guī)范化達到了完善的程度，幾乎完全脫離了圖畫（象形）文字，成為整齊和諧、十分美觀的基本上是長方形的方塊字體，幾乎在同時也產(chǎn)生了形體向兩邊撐開成為扁方形的隸書。

漢字是二維平面上的符號，有的漢字是“軸對稱”、“中心對稱”圖形，有的漢字是某一個單字幾次軸對稱或平移的復合，對稱軸有多有少，如木、大、小、羊、金、品、鑫、各有一條對稱軸，關于左右對稱；“卡”是上下兩個字“合”起來成為一個漢字，關于橫線對稱，標志上不去下不來就是卡住了；“林”有一條對稱軸，但又可看成兩次軸對稱的組合或?qū)ΨQ與平移的組合；“米”有兩條對稱軸，日、目有兩條對稱軸，關于上下和左右對稱；“口”是從實物抽象出來的，有四條對稱軸，關于左右上下和對角線對稱。

有的漢字由一個“字符”旋轉(zhuǎn)而得，如“米”既可看成軸對稱的字，又是中心對稱的，類似的還有“呂”。

漢字的簡化過程就是追求數(shù)學的簡單美。秦始皇焚書坑儒，目的就是統(tǒng)一文字，實現(xiàn)了原來多地區(qū)文字的整合。1935年、1964年國家兩次推行簡化漢字，一是對繁體筆畫的“省簡”，二是用同音字或近音字取代，種類和字數(shù)減少，每個字的筆畫也減少，這種簡化過程，漢字從56000多個，到現(xiàn)代漢語通用漢字7000個，再到常用漢字3500個[1]，使得漢字體系更加簡單和經(jīng)濟。

漢字具有和諧美。和諧美是數(shù)學美之一，也是中國傳統(tǒng)文化的精華，漢字在語言、外形以及意義上體現(xiàn)出來的均衡、勻稱、和諧的特點對中華民族以和為貴、追求和諧傳統(tǒng)文化心理影響深遠[5]。其一，漢字的語音具有和諧美，漢字分為平上去入四個不同的聲調(diào)，不同聲調(diào)的音節(jié)交錯搭配，形成抑揚頓挫的特點，使語言具有節(jié)奏感；其二，漢字形體結(jié)構(gòu)具有和諧美，相對西方的線形文字，漢字是表意文字，受萬物方正有形的影響，先祖?zhèn)儼褲h字設計為方方正正，而且在書寫時也置于方框中，制成“田”字格或九宮格，安排筆畫，使寫出的字眉目清秀、大小一致，實現(xiàn)風格的協(xié)調(diào)，如古時篆字“門”寫成體現(xiàn)對稱，但為了避免呆板，追求和諧有時需要變化，如“呂”下大上?。黄淙?，漢字意義的和諧美，如“仁”字的構(gòu)形是以二人會意，《說文解字》“仁，親也，從人，從二”，說明二人相親。

漢字的創(chuàng)造和發(fā)展從直觀向抽象過渡，最早的甲骨文是從實物抽象出的象形文字，看到字就猜出表示何物，發(fā)展到篆字也基本能悟出其意思，但到隸書和楷書已遠離了原來的實物，尤其是行書，進一步抽象，只能強記會意了。

參考文獻

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[2] 辭海編輯委員會.辭海[M].上海：上海辭書出版社，1987.

[3]張學文.漢字筆畫與數(shù)量的數(shù)學公式.http：//kahn.xj.cninfo.net/zhangxw/index.htm，2014-9-28.

[4] M·克萊因著.古今數(shù)學思想（1）[M].上海：上?？茖W技術出版社，1981.

[5] 錢偉.淺析漢字的和諧美[J].中國西部科技，2010（3）.

[作者：王傳斌（1963-），男，江蘇贛榆人，江蘇省連云港師范高等?？茖W校學生處教授，碩士生導師；劉菁（1990-），女，江蘇東海人，連云港市東辛中心小學小學初級教師。]

【責任編輯 郭振玲】