Bernouli不等式的改進(jìn)與應(yīng)用

戴志敏,　馮孝周

(西安工業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 西安710032)

Bernouli不等式的改進(jìn)與應(yīng)用

戴志敏,馮孝周

(西安工業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 西安710032)

[摘要]對一般的Bernouli不等式滿足的條件作了一個新的限定，利用二項式定理和等比數(shù)列的性質(zhì)并采用分類討論的思想證明了一個新的Bernouli不等式，由此不等式證明了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的等額本金還款法和等額本息還款法的差異，并利用數(shù)值計算實(shí)驗驗證了此差異，從而由此結(jié)論給出了針對不同人群的還貸策略.

[關(guān)鍵詞]Bernouli不等式； 二項式定理； 等比數(shù)列； 等額本金還款法； 等額本息還款法

1引言

Bernouli不等式是數(shù)學(xué)中的一個重要不等式，在證明一些重要的不等式，如Young不等式，H?lder不等式、幾何算術(shù)平均不等式等方面發(fā)揮著重要的作用[1]. 除此之外，Bernouli不等式在研究函數(shù)的單調(diào)性、極限、連續(xù)以及級數(shù)的收斂性等方面都有著廣泛的應(yīng)用[2].Bernouli不等式的一般形式[3]，即下面的引理1.

引理1設(shè)x>-1，α<0或者α>1，則有

(1+x)α≥1+αx.

(1)

假若0<α<1，則有

(1+x)α≤1+αx.

(2)

(1) ，(2) 兩式成立的充要條件為x=0.

特別地，當(dāng)α=n∈且n≥1，則成立

1+nx≤(1+x)n.

(3)

進(jìn)一步假定x>0，由函數(shù)ex>1+x, 有

1+nx≤(1+x)n

(4)

更多有關(guān)Bernouli不等式的介紹見文獻(xiàn)[3-4].

以上談到了Bernouli不等式在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用，本篇文章將研究Bernouli不等式如何應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)中兩種常見的還款方式，即等額本金還款法和等額本息還款法差異的比較上.

2新的Bernouli不等式及證明

Bernouli不等式(3)和(4)用來比較等額本金還款法和等額本息還款法的差異是不夠的，為此需給變量x限定一個新的范圍0

定理1設(shè)n為大于等于1的正整數(shù)，且x滿足0

(5)

此不等式的兩邊取等號當(dāng)且僅當(dāng)n=1時成立.

證不等式的左邊不需要證明，只需要證明不等式的右邊.

當(dāng)n=1時，顯然成立.

當(dāng)n>1時，對(1+x)n利用二項式展開定理，

因此

從而有式(5)成立.

3新的Bernouli不等式的應(yīng)用

近年來, 購買商品房已成為我國城鎮(zhèn)居民消費(fèi)的一個重要部分.面對高昂的房價, 絕大多數(shù)購房者選擇了向銀行貸款.在向銀行貸款時，必須考慮兩個因素: 一是還款能力；二是利息支出.目前銀行貸款就還款方式而言，主要有等額本金還款法與等額本息還款法.針對不同的還款辦法，文獻(xiàn)[5]運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Mathematica給出月還款額與利息總額對照表, 并通過對比，比較出這種還款方式的差異.而文獻(xiàn)[6]則用數(shù)學(xué)的方法證明了這種差異.本文將用新的Bernouli不等式來從另一種思路來證明這種差異.

為此，先來對等額本金還款法與按等額本息還款法作一個簡單的介紹.

假設(shè)某人欲向銀行貸款p元，計劃分n期還清貸款，在銀行每期利率保持為x不變的情況下，他有兩種選擇還貸方式.

如果按等額本金還款法，用Xi表示每期還款數(shù)，他每期應(yīng)還款額有下面的計算公式[7-8]，

?

(6)

可以看出按等額本金還款法每期還款數(shù)構(gòu)成了一個遞減的等差數(shù)列，并且如果利率上調(diào)，則每期還款額相應(yīng)增加，利率下調(diào)則相反. 如果用X表示到第n期末還款總額，則有

(7)

如果按等額本息還款法，用Yi表示每期還款數(shù)，他每期應(yīng)還款額有下面的計算公式[7-8]

(8)

可以看出等額本息還款法每期還款額是一個固定數(shù)字.計算

可知利率上調(diào)時，等額本息還款法每期還款額相應(yīng)增加，利率下調(diào)則相反. 如果用Y表示到第n期末還款總額，則有

(9)

為了比較等額本金還款法與等額本息還款法的差異，先來證明下面一個定理.

定理2假設(shè)n與x分別滿足條件n>1和0

(10)

(11)

證不等式(10)的證明：首先證左邊.

時，則由Bernouli不等式(1)有

(1+x)1-n>1+(1-n)x((1-n)<0, 0

?(1+x)n-1[1+(1-n)x]<1?(1+x)n-1

再證右邊.由Bernouli不等式(1)

1+nx<(1+x)n(n>1)

故不等式(10)得證.

不等式(11)的證明：

故不等式(11)得證.

4數(shù)值實(shí)驗與結(jié)果分析

由定理2的結(jié)論不難得出這樣的事實(shí): 在保持銀行基準(zhǔn)利率不變的條件下，等額本金還款法雖然首期還款比等額本息還款法高，但每期逐漸遞減，且末期還款與到期還款總額都比后者要少.

下面以買一套商品房貸款80萬元，分別以等額本息還款法與等額本金還款法，以5年為間隔計算25年內(nèi)計算這兩種還貸方法的總利息與每月還款額，假設(shè)銀行當(dāng)前基準(zhǔn)利率為6.55%，則月利率為6.55%/12=5.46‰，結(jié)果列成下表.

表 1　單位：元

從表1來看，數(shù)值計算結(jié)果完全驗證了新的Bernouli不等式在本篇論文中證明的結(jié)果.

盡管利用Bernouli不等式證明了并用數(shù)值計算驗證了等額本金還款法與等額本息還款法的差異，但是實(shí)際選擇何種還款方式應(yīng)綜合多種因素做出適合自己的合理選擇.由于貸款者選用等額本金還款法還款初期壓力比較大, 而等額本息還款法則在整個還款期限內(nèi)還款壓力相對較低.對高收入人群且對貸款利息比較敏感的購房者、自己極有可能提前還款的購房者以及個人認(rèn)為住房貸款利率中途極有可能上調(diào)的購房者，最好選用等額本金還款法.對經(jīng)濟(jì)收入相對緊張的人群、以及個人認(rèn)為住房貸款利率中途極有可能下調(diào)的購房者，選擇等額本息貸款法可以減輕其還貸壓力，從而保證自己的生活不受影響[9].

[參考文獻(xiàn)]

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[2]張學(xué)茂. Bernouli不等式的證明及應(yīng)用[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010,27(3):30-32.

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[4]喬希民.一個新的積分不等式的推廣及應(yīng)用[J].延安大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2005,24(2):21-29.

[5]張學(xué)山,李路,江開忠.購房貸款方案的優(yōu)化問題[J].上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報,2005,19(2):166-171.

[6]李寶鳳.數(shù)學(xué)在借貸中的應(yīng)用[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報,2011,33(2):48-49.

[7]趙玉梅.個人住房按揭還貸方式探析[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報(哲學(xué)社會科學(xué)版)，2008:51-56.

[8]高大成.淺談數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用[J].學(xué)術(shù)研究,2013(8):202-203.

[9]郭蔚.等額本息還款法與等額本金還款法哪種更好[J].遼寧行政學(xué)院學(xué)報,2005,7(3):69-70.

Improvement of Bernouli Inequality and Its and Applications

DAIZhi-min，F(xiàn)ENGXiao-zhou

(School of Science, Xi’an Technological University, Xi’an 710032, China)

Abstract:The general conditions of Bernouli inequality to meet is imposed on a new limit, using the binomial theorem and the properties of the geometric sequence and the idea of using the classification discussing prove a new Bernouli inequality, with which it is proved that the differences of equal principal repayment method and equal installments of principal and interest repayment method in economics; and these differences are verified with numerical experiments, thus the loan policies for different populations are given.

Key words:Bernouli inequality; binomial theorem; geometric sequence; equal principal repayment method; equal installments of principal and interest repayment method

[中圖分類號]O29；F830.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]B

[文章編號]1672-1454(2015)04-0020-05