二元Kundu-Gupta型二點分布參數(shù)的最大似然估計

李國安，　李建峰

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波315211)

二元Kundu-Gupta型二點分布參數(shù)的最大似然估計

李國安，李建峰

(寧波大學(xué)理學(xué)院，浙江寧波315211)

[摘要]討論二元Kundu-Gupta型二點分布的識別性及參數(shù)估計，已知可識最小值的分布時，則參數(shù)可識別；由此得到了參數(shù)的最大似然估計；其中二個參數(shù)的估計量是無偏的，另外一個參數(shù)的估計量的期望不存在；模擬結(jié)果顯示：估計值均穩(wěn)定于真值參數(shù).

[關(guān)鍵詞]二元Kundu-Gupta型二點分布； 識別性； 最大似然估計； 無偏的； 模擬

1引言

眾所周知，二點分布是一個收益分布，二元二點分布是一個最為基本的組合收益分布.我們在滿意度市場調(diào)查研究中，獲得了一個二元二點分布，從文獻檢索中，發(fā)現(xiàn)也有二元二點分布的相關(guān)文獻[1-3]，其中文獻[1]研究的，是一個具自然形式的二元二點分布，在本文中，意圖引入文[1]研究的具自然形式的二元二點分布的特殊情形，依文[4]構(gòu)造二元分布的思路，引入了一個二元Kundu-Gupta型二點分布，然后采用先參數(shù)識別后參數(shù)估計的方式，討論了二元Kundu-Gupta型二點分布的識別性及參數(shù)估計.可以這么說：二元二點分布是所有二元分布中最為簡單的分布，從教學(xué)角度來看，它是講授二元分布之分布函數(shù)、特征函數(shù)、數(shù)字特征、乃至參數(shù)估計的一種最簡單載體；從科研角度來看，參數(shù)估計是求解模型的核心問題之一，而二點分布對應(yīng)的模型是績效模型，即業(yè)績是否達到預(yù)期之評價模型.對于二元及多元分布參數(shù)的估計，類似文獻[5-18]，在已知二元及多元正態(tài)分布參數(shù)估計的情形下，還在研究二元及多元正態(tài)分布參數(shù)的識別性，因為分布參數(shù)的識別性說明分布參數(shù)的可估計性，因此，正常次序是研究分布參數(shù)識別性在先，研究分布參數(shù)估計在后.本文采用從參數(shù)的識別性進而求參數(shù)的最大似然估計路徑，討論這個二元二點分布的識別性及參數(shù)估計.在第一節(jié)，討論了二元二點分布的識別性；在第二節(jié)，討論了二元二點分布的參數(shù)估計.

2二元Kundu-Gupta型二點分布的識別性

二元Kundu-Gupta型二點分布定義如下：

定義1稱(X,Y)服從二元一般型二點分布，是指存在三個相互獨立的三個隨機變量U1，U2，U3，其中

U1～B(1,p1)，U2～B(1,p2)，U3～B(1,p3)；

使得

X=max(U1,U3)，Y=max(U2,U3)，0≤p1≤1，0≤p2≤1，0≤p3≤1，

記作

(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3).

記U=max(X,Y)，定義I=1,2,3分別對應(yīng)于X>Y,Y>X,X=Y時，

引理1若(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)，則U的分布律為

U~B(1,1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)).

證P(U=0) =P(X=0,Y=0)=P(max(U1,U3)=0,max(U2,U3)=0)

=P(U1=0,U2=0,U3=0)=(1-p1)(1-p2)(1-p3).

引理2若(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)，則(U,I)的聯(lián)合分布律為

證P(U=0,I=3) =P(X=0,Y=0)=P(max(U1,U3)=0,max(U2,U3)=0)

=P(U1=0,U2=0,U3=0)=(1-p1)(1-p2)(1-p3)；

同理

P(U=1,I=1) =P(X=1,Y=0)=P(max(U1,U3)=1,max(U2,U3)=0)

=P(U1=1,U2=0,U3=0)=p1(1-p2)(1-p3)，

P(U=1,I=2)=P(X=0,Y=1)=P(max(U1,U3)=0,max(U2,U3)=1)

=P(U1=0,U2=1,U3=0)=p2(1-p1)(1-p3)，

P(U=1,I=3)=P(X=1,Y=1)=P(max(U1,U3)=1,max(U2,U3)=1)

=P(U3=1)+P(U1=1,U2=1,U3=0)=p3+p1p2(1-p3).

定理1設(shè)

(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)，(X′,Y′)~BBDG(1,p′1,p′2,p′3)，

若已知U與U′同分布，則所有參數(shù)皆不可識別.

證由(1-p1)(1-p2)(1-p3)=(1-p′1)(1-p′2)(1-p′3)，得所有參數(shù)皆不可識別.

定理2設(shè)

(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)，(X′,Y′)~BBDG(1,p′1,p′2,p′3)，

若已知(U,I)與(U′,I′)同分布，則所有參數(shù)皆可識別.

3二元Kundu-Gupta型二點分布的參數(shù)估計

這里，從定理2出發(fā)，直接獲得了所有參數(shù)的最大似然估計.

定理3設(shè)(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)是總體，(X1,Y1),…,(Xn,Yn)是來自總體(X,Y)的容量為n的樣本，記U=max(X,Y)，定義隨機變量I=1,2,3分別對應(yīng)于X>Y,Y>X,X=Y時；記Ui=max(Xi,Yi)，定義隨機變量Ii=1,2,3分別對應(yīng)于Xi>Yi,Yi>Xi,Xi=Yi時，i=1,…,n，若(U,I)具有以下的聯(lián)合分布

(U1,I1),…,(Un,In)是來自總體(U,I)的容量為n的樣本，則參數(shù)p1，p2，p3的最大似然估計分別為

這里

證似然函數(shù)為

并有似然方程

得

得

即有

代入

得

定義2稱(U,V)服從二元多項分布，是指它有如下的分布律

其中0

定義3稱(U,V,W)服從三元多項分布，是指它有如下的分布律

k=0,…,n-i-j，j=0,…,n-i，i=0,1,…,n，其中0

記作(U,V,W)~TBD(n,p1,p2,p3).

性質(zhì)1若(U,V)~BBD(n,p1,p2)，則U~B(n,p1)，V~B(n,p2).

性質(zhì)2若(U,V,W)~TBD(n,p1,p2,p3)，則

(U,V)~BBD(n,p1,p2)， (U,W)~BBD(n,p1,p3)，

(V,W)~BBD(n,p2,p3)， U~B(n,p1)，V~B(n,p2)，

W~B(n,p3).

性質(zhì)4若(U,V,W)~TBD(n,p1,p2,p3)，則

不存在.

證因為W=0，U≠0，或V≠0時，出現(xiàn)∞項，不存在.

引理3若(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)，則

證由性質(zhì)3

類似可得

證由性質(zhì)4可得.

模擬分析

分別選取三組參數(shù)進行模擬，第一組：p1=0.7,p2=0.2,p3=0.1；第二組：p1=0.3，p2=0.9，p3=0.5；第三組：p1=0.4，p2=0.6，p3=0.8；都得到了估計值穩(wěn)定于真值參數(shù)的結(jié)果，其中第一組參數(shù)所得的模擬結(jié)果如下：

表1　由來自二元隨機變量(X,Y)~BBDG(1,p1,p2,p3)之隨機數(shù)的模擬結(jié)果

實例分析

4結(jié)論

僅是Z的分布已知時，所有參數(shù)皆不可識別，當(dāng)(Z,I)的分布已知時，所有參數(shù)皆可識別，即所有參數(shù)皆可估計，由此得到了參數(shù)的最大似然估計，其中二個參數(shù)的估計量是無偏的，另外一個參數(shù)的估計量的期望不存在.模擬結(jié)果顯示：估計值均穩(wěn)定于參數(shù)真值.

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Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of Kundu-Gupta Bivariate Bernoulli Distributions

LIGuo-an，LIJian-feng

(Department of Mathematics, Ningbo University, Ningbo 315211，China)

Abstract:Maximum likelihood estimation of the parameters of Kundu-Gupta bivariate bernoulli distributions is considered in this paper, using a way of parameters identifiability to parameter estimation, this paper shows: if two random variable have a Kundu~Gupta’s type bivariate binomial distribution, when the distribution of identified minimum is known, then all of parameters are identified; hence, the maximum likelihood estimator of all of parameters are derived.Two of them are unbiased, the mathematical expectation of another one is not exist. Monte Carlo simulations are also performed to verify the maximum likelihood estimator of all of parameters are stable to truth-value respectively.

Key words:a Kundu-Gupta’s type bivariate bernoulli distribution; identifiability; maximum likelihood estimator; unbiased; simulations

[中圖分類號]O212.4

[文獻標(biāo)識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)04-0113-07