直線與圓錐曲線圍成定面積其弦上定比例點的軌跡

舒陽春

(武漢科技大學國際學院，武漢430081)

直線與圓錐曲線圍成定面積其弦上定比例點的軌跡

舒陽春

(武漢科技大學國際學院，武漢430081)

[摘要]通過一個大學數(shù)學競賽題的推廣，證明了一直線與圓錐曲線所圍成定面積時，其弦上定比例點的軌跡與原圓錐曲線是同一類型的曲線.

[關鍵詞]圓錐曲線； 定面積； 軌跡

本文討論的內容來源于全國大學生數(shù)學競賽(第四屆全國大學生數(shù)學競賽決賽(專業(yè)組)試卷，題1，2013)，原題是這樣的：

設A為一正數(shù)，直線L與雙曲線x2-y2=2(x>0)所圍成的面積為A,

(i) 上述L被雙曲線所截線段的中點的軌跡為雙曲線.

我們發(fā)現(xiàn)上述問題的結論可以推到任何雙曲線及橢圓和拋物線的情況并且不僅對于弦的中點的軌跡是與原曲線同類型，而且得到了對于定比例點的軌跡也都具有與原圓錐曲線相同的類型.本文主要借助于解析幾何中的仿射變換把所討論的曲線化為標準型從而再利用微積分的方法得到這個推廣的結果，細述如下：

定理設Γ是一平面圓錐曲線(圓，拋物線，橢圓之一)，Γ的一般形式為

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(常數(shù)A,B,C不全為0)

(1)

設直線L與曲線Γ相交于兩個點P,Q并位于Γ 一個焦點的同一側. 用S(L) 表示曲線Γ與線段PQ所圍成的面積，R是線段PQ上的點并滿足PR/RQ=(常數(shù)).如果L移動時，S(L) 是一個常數(shù)，則R的軌跡與Γ是同一類型的圓錐曲線.

下面二個引理是解析幾何中熟知的結果(參見文獻[1])

引理1通過正則變換可使由(1)式定義的Γ 具有下列形式之一：

(i) y=px2，

(2)

其中a,b,p是非零常數(shù).

引理2正交變換保持圓錐曲線，直線不變，距離不變；仿射變換不改變線段比例和面積的比值及圓錐曲線的類型.

定理的證明由引理1，只需要討論上面形狀的Γ 曲線.以下分三種情況來對定理進行證明.

(i) Γ ：y=px2.

L:y=k(x-x0)+y0.

記x為L與Γ交點的橫坐標， 那么x滿足 x2=k(x-x0)+y0, 記兩個根有關系 x1

x1+x2=k,x1x2=kx0-y0.

(3)

由直線L,x-軸 x=x1,x=x2所圍成的面積為

由Γ,x-軸, x=x1,x=x2所圍成的面積為

因此

(4)

解出x2得到

(5)

由于PR/RQ=,得到

(6)

將 (5) 代入 (6)式,得到

從而得

(7)

P(a, 1/a),Q(ta, 1/ta).

(8)

其中t>1.于是由L與Γ所圍成的面積為

(9)

(10)

于是由連續(xù)函數(shù)的中值定理，總有唯一的實數(shù)t使得

f(t)=S(L).

取L上的點R(x0,y0) 使得PR/RQ=,有

由(8)式得

(11)

由此得

(12)

先考慮Γ ：x2+y2=1. 設直線與Γ 的兩個交點表示為

P(cos(θ1+θ),sin(θ1+θ)),Q(cosθ1,sinθ1),0≤θ≤π.

(13)

那么圓與直線的所圍成的面積為

(14)

可知有唯一的θ 滿足f(θ)=S，再由L上的點R(x0,y0) 滿足PR/RQ=, 因此，利用(13),有

(15)

因此

從而R的軌跡是一個圓.

x′2+y′2=1,

得到的結果R′ (x′,y′ ) 的軌跡是一個圓，即變換R→R′ 的像是一個圓.那么返回原坐標系知R的軌跡是一個橢圓(或圓).

結合上面的三種情況的討論，得到了定理的證明.

[參考文獻]

[1]邱維聲.解析幾何[M].北京：北京大學出版社:1988.154-156, 202-204, 211.

The Locus of the Point Dividing the Chord of Line Cut by the Quadratic Curve in a Given Ratio

SHUYang-chun

(International School， Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

Abstract:We prove that when a line intersects a quadratic curve with the two points and the area enclosed by the line and the curve is a constant, the locus of the point of the chord of line cut by the curve in a given ratio is the same kind of curve as the original curve.

Key words:quadratic curve； constant area； locus

[中圖分類號]O172

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)04-0120-03