直線與圓錐曲線圍成定面積其弦上定比例點(diǎn)的軌跡

舒陽(yáng)春

(武漢科技大學(xué)國(guó)際學(xué)院，武漢430081)

直線與圓錐曲線圍成定面積其弦上定比例點(diǎn)的軌跡

舒陽(yáng)春

(武漢科技大學(xué)國(guó)際學(xué)院，武漢430081)

[摘要]通過(guò)一個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的推廣，證明了一直線與圓錐曲線所圍成定面積時(shí)，其弦上定比例點(diǎn)的軌跡與原圓錐曲線是同一類型的曲線.

[關(guān)鍵詞]圓錐曲線； 定面積； 軌跡

本文討論的內(nèi)容來(lái)源于全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(第四屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽(專業(yè)組)試卷，題1，2013)，原題是這樣的：

設(shè)A為一正數(shù)，直線L與雙曲線x2-y2=2(x>0)所圍成的面積為A,

(i) 上述L被雙曲線所截線段的中點(diǎn)的軌跡為雙曲線.

我們發(fā)現(xiàn)上述問(wèn)題的結(jié)論可以推到任何雙曲線及橢圓和拋物線的情況并且不僅對(duì)于弦的中點(diǎn)的軌跡是與原曲線同類型，而且得到了對(duì)于定比例點(diǎn)的軌跡也都具有與原圓錐曲線相同的類型.本文主要借助于解析幾何中的仿射變換把所討論的曲線化為標(biāo)準(zhǔn)型從而再利用微積分的方法得到這個(gè)推廣的結(jié)果，細(xì)述如下：

定理設(shè)Γ是一平面圓錐曲線(圓，拋物線，橢圓之一)，Γ的一般形式為

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(常數(shù)A,B,C不全為0)

(1)

設(shè)直線L與曲線Γ相交于兩個(gè)點(diǎn)P,Q并位于Γ 一個(gè)焦點(diǎn)的同一側(cè). 用S(L) 表示曲線Γ與線段PQ所圍成的面積，R是線段PQ上的點(diǎn)并滿足PR/RQ=(常數(shù)).如果L移動(dòng)時(shí)，S(L) 是一個(gè)常數(shù)，則R的軌跡與Γ是同一類型的圓錐曲線.

下面二個(gè)引理是解析幾何中熟知的結(jié)果(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1])

引理1通過(guò)正則變換可使由(1)式定義的Γ 具有下列形式之一：

(i) y=px2，

(2)

其中a,b,p是非零常數(shù).

引理2正交變換保持圓錐曲線，直線不變，距離不變；仿射變換不改變線段比例和面積的比值及圓錐曲線的類型.

定理的證明由引理1，只需要討論上面形狀的Γ 曲線.以下分三種情況來(lái)對(duì)定理進(jìn)行證明.

(i) Γ ：y=px2.

L:y=k(x-x0)+y0.

記x為L(zhǎng)與Γ交點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 那么x滿足 x2=k(x-x0)+y0, 記兩個(gè)根有關(guān)系 x1

x1+x2=k,x1x2=kx0-y0.

(3)

由直線L,x-軸 x=x1,x=x2所圍成的面積為

由Γ,x-軸, x=x1,x=x2所圍成的面積為

因此

(4)

解出x2得到

(5)

由于PR/RQ=,得到

(6)

將 (5) 代入 (6)式,得到

從而得

(7)

P(a, 1/a),Q(ta, 1/ta).

(8)

其中t>1.于是由L與Γ所圍成的面積為

(9)

(10)

于是由連續(xù)函數(shù)的中值定理，總有唯一的實(shí)數(shù)t使得

f(t)=S(L).

取L上的點(diǎn)R(x0,y0) 使得PR/RQ=,有

由(8)式得

(11)

由此得

(12)

先考慮Γ ：x2+y2=1. 設(shè)直線與Γ 的兩個(gè)交點(diǎn)表示為

P(cos(θ1+θ),sin(θ1+θ)),Q(cosθ1,sinθ1),0≤θ≤π.

(13)

那么圓與直線的所圍成的面積為

(14)

可知有唯一的θ 滿足f(θ)=S，再由L上的點(diǎn)R(x0,y0) 滿足PR/RQ=, 因此，利用(13),有

(15)

因此

從而R的軌跡是一個(gè)圓.

x′2+y′2=1,

得到的結(jié)果R′ (x′,y′ ) 的軌跡是一個(gè)圓，即變換R→R′ 的像是一個(gè)圓.那么返回原坐標(biāo)系知R的軌跡是一個(gè)橢圓(或圓).

結(jié)合上面的三種情況的討論，得到了定理的證明.

[參考文獻(xiàn)]

[1]邱維聲.解析幾何[M].北京：北京大學(xué)出版社:1988.154-156, 202-204, 211.

The Locus of the Point Dividing the Chord of Line Cut by the Quadratic Curve in a Given Ratio

SHUYang-chun

(International School， Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China)

Abstract:We prove that when a line intersects a quadratic curve with the two points and the area enclosed by the line and the curve is a constant, the locus of the point of the chord of line cut by the curve in a given ratio is the same kind of curve as the original curve.

Key words:quadratic curve； constant area； locus

[中圖分類號(hào)]O172

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0120-03