一類七次系統(tǒng)冪零奇點的中心判定

卜玨萍 陶有田

(巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

一類七次系統(tǒng)冪零奇點的中心判定

卜玨萍 陶有田

(巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

研究了一類七次系統(tǒng)三次冪零奇點的中心判定問題。利用Mathematica軟件進行計算并化簡，推導(dǎo)出該七次微分系統(tǒng)原點的前9個擬Lyapunov常數(shù)，并在此基礎(chǔ)上進一步分析討論，從而得出原點成為中心的充要條件。

七次系統(tǒng)；冪零奇點；中心；擬Lyapunov常數(shù)

討論一類特殊的七次微分自治系統(tǒng)

的中心判定問題。其中，原點為三次冪零奇點。由文獻[1]，系統(tǒng)(1）的原點為中心或焦點。

由文獻[3]，對系統(tǒng)(1）可待定形式級數(shù)M(x，y）=y2+x4+o(r4）與正整數(shù)s使得成立。另由文獻[3]中的遞推公式

在Mathematica上計算并化簡得

因為s是正整數(shù)，故可得系統(tǒng)(1）原點的前兩個擬Lyapunov常數(shù)

以下取s=1，并在Mathematica軟件上進一步計算可以得到：

定理1 系統(tǒng)(1）在原點的前9個擬Lyapunov常數(shù)分別為：

由λi=0(i=1，2，…，9）時，可得

或

故由式(7）與(8），得

定理2 系統(tǒng)(1）的原點前9個擬Lyapunov常數(shù)全部為零，即：

條件(9）與(10）其中之一成立。

(i）當式(9）成立時，系統(tǒng)(1）可化為

此時，

因此由對稱原理，系統(tǒng)(1）的向量場對稱于x軸，并且原點為中心。

(ii）當式(10）成立時，系統(tǒng)(1）可化為

此時，

因此由對稱原理，系統(tǒng)(1）的向量場對稱于y軸，并且原點為中心。

根據(jù)以上分析得：

定理3 系統(tǒng)(1）的原點成為中心的充要條件是原點的前9個擬Lyapunov常數(shù)全部為零，即條件(9）與(10）其中之一成立。

[1]Amelikin.B.B.，Lukashivich.H.A.&Sadovski.A.P.Nonlinear Oscillations in Second Systems[M].BGY Lenin∶B.I.Press，1982.

[2]劉一戎，李繼彬.平面向量場的若干經(jīng)典問題[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[3]Alvarez.M.J.&Gasull.A.Cenerating limits cycles from a nilpotent critical point via normal forms[J].J.Math.Anal.Appl.，2006∶271-287.

[4]Liu，Y.R.Theory of center-focus in a class of high order singular points and infinity[J].Sci.in China，2001，（1）∶37-48.

[5]Zhang Qi&Liu Yirong.A cubic polynomial system with seven limit cycles at infinity[J].Applied Mathematics and Computation，2006，（1）∶319-329.

[6]趙倩倩.一類原點為冪零奇點的七次系統(tǒng)的中心判定[J].科技信息，2012，（3）∶301-302.

[7]卜玨萍.一類七次系統(tǒng)三次冪零奇點的中心判定[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報，2014，（6）∶33-35.

ON THE CRITERION OF THE CENTER FOR NILPOTENT SINGULAR POINTS IN A CLASS OF SEVEN-ORDER SYSTEM

BU Jue-ping TAO You-tian
（School of Applied Mathematics，Chaohu College，Chaohu Anhui 238000）

The criterion of the center for three-order nilpotent singular points in a class of seven-order system is studied in this paper.The software，Mathematica，is used to calculate and simplify to derive the first nine quasi-Lyapunov constants of the origin of this differential system.Based on this，we have further discussion and analysis to obtain the necessary and sufficient conditions which make the origin center.

seven-order system；Nilpotent singular point；center；quasi-Lyapunov constant

O175

A

1672-2868（2015）06-0007-03

責任編輯：陳 侃

2015-10-17

巢湖學(xué)院院級自然科學(xué)研究項目(項目編號：XLY-201401）；巢湖學(xué)院院級自然科學(xué)研究項目(項目編號：XLY-201502）；安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計劃重點項目(項目編號：gxyqZD2016285）

卜玨萍(1985-），女，安徽巢湖人。巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，講師。研究方向：微分方程定性理論與分支問題。