基于ARMA模型的氣溫衍生品定價(jià)研究

郭建國(guó)+牛珊

[摘 要] 我國(guó)幅員遼闊，各地區(qū)地理差異很大，天氣因素時(shí)空分布不均，天氣異常變化幅度較大，亟需開(kāi)發(fā)出適用于我國(guó)國(guó)情的天氣衍生品以應(yīng)對(duì)天氣風(fēng)險(xiǎn)，天氣衍生品的創(chuàng)新有著巨大的發(fā)展空間。通過(guò)沈陽(yáng)市近50年的歷史日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)，采用基于ARMA的時(shí)間序列方法構(gòu)建了一個(gè)具有很好擬合優(yōu)度的氣溫預(yù)測(cè)模型，并以此為基礎(chǔ)對(duì)天氣衍生品進(jìn)行定價(jià)。這需要加快氣象數(shù)據(jù)服務(wù)的公開(kāi)和政府的支持，嚴(yán)格監(jiān)管天氣衍生品的開(kāi)發(fā)及其市場(chǎng)運(yùn)行，以推進(jìn)我國(guó)天氣衍生品的開(kāi)發(fā)及市場(chǎng)發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] ARMA模型；天氣衍生品；定價(jià)研究

[中圖分類(lèi)號(hào)] F713.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] B

一、引言

天氣因素是人類(lèi)歷史上最難以控制和預(yù)測(cè)的不確定性因素之一。天氣變化會(huì)影響產(chǎn)業(yè)和企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)?？梢哉f(shuō)，各行各業(yè)的財(cái)務(wù)狀況幾乎都與天氣有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。

天氣衍生品的出現(xiàn)，給人們應(yīng)對(duì)天氣風(fēng)險(xiǎn)提供了一條有效途徑。天氣衍生品的核心問(wèn)題是天氣衍生品的定價(jià)問(wèn)題，而天氣預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確選取是實(shí)現(xiàn)天氣衍生品合理定價(jià)的關(guān)鍵。本文擬在已有研究的基礎(chǔ)上，以基于溫度的天氣衍生品作為研究對(duì)象，通過(guò)構(gòu)建ARMA時(shí)間序列模型對(duì)溫度變化過(guò)程進(jìn)行建模，并采用蒙特卡羅仿真方法對(duì)天氣衍生品進(jìn)行定價(jià)，以便為我國(guó)開(kāi)發(fā)天氣衍生產(chǎn)品提供一定思路。

二、數(shù)據(jù)與研究方法

（一）數(shù)據(jù)來(lái)源與預(yù)處理

本文數(shù)據(jù)的采樣區(qū)間為沈陽(yáng)市1963年1月1日至2014年12月31日的日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)，剔除了所有閏年2月29日的記錄，共計(jì)18980項(xiàng)數(shù)據(jù)。經(jīng)過(guò)Eviews軟件處理，得到沈陽(yáng)市日平均氣溫趨勢(shì)圖，見(jiàn)圖1。

圖1沈陽(yáng)市日平均氣溫變化圖（1963/01/01-2013/12/31）

由圖1可以看出，沈陽(yáng)市日平均氣溫呈現(xiàn)出明顯的周期性，類(lèi)似正弦函數(shù)，季節(jié)效應(yīng)明顯。

（二）模型的設(shè)定

由前文分析可得，沈陽(yáng)市日平均氣溫?cái)?shù)據(jù)的變動(dòng)過(guò)程具有明顯的周期性，其變化路徑類(lèi)似于正弦函數(shù)，可用sin（ωt+？漬）的形式表示。t表示時(shí)間，以天為單位，取t=1，2，3……，？漬為相角。日平均氣溫的季節(jié)性變化周期為一年，剔除閏年2月29日的氣溫?cái)?shù)據(jù)后，?。繚n=2？仔/365。此外，受溫室效應(yīng)影響，每年的氣溫都會(huì)有微量上升，可以合理假設(shè)這種微弱的變化是線(xiàn)性的，用Bt表示。因此，日平均氣溫的變化過(guò)程可以表示為：

Tt=A+Bt+Csin（ωt+？漬）+εt （1）

其中，Tt為時(shí)間t的日平均氣溫，A、B、C和？漬為未知參數(shù)，εt為殘差項(xiàng)，?。繚n=2？仔/365。

為便于參數(shù)估計(jì)，對(duì)式（1）作如下等式變換：

Tt=A+Bt+C[sin（ωt）cos？漬+cos（ωt）sin？漬]+εt （2）

整理可得：

Tt=A+Bt+Ccos？漬sin（ωt）+Csin？漬cos（ωt）+εt （3）

由于cos？漬和sin？漬是常數(shù)，因此可將式（3）看成一個(gè)線(xiàn)性方程：

Tt=a+bt+csin（ωt）+dcos（ωt）+εt （4）

從而有：

A=aB=bC=■？漬=arctan（d/c） （5）

其中，？漬=2？仔/365。

三、估計(jì)與結(jié)果分析

（一）ARMA模型的估計(jì)

用Eviews軟件對(duì)方程（4）進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果見(jiàn)表1、表2：

表1 初步估計(jì)結(jié)果

由表1的分析結(jié)果可得，雖然各變量的系數(shù)都十分顯著，但D-W檢驗(yàn)值僅為0.57，說(shuō)明模型存在嚴(yán)重的序列相關(guān)性，需要對(duì)其進(jìn)行修正，故而引入ARMA模型。當(dāng)引入ARMA（2，2）后，D-W值達(dá)到2.001897，說(shuō)明基本不存在序列相關(guān)，各系數(shù)也十分顯著，模型的擬合效果很好。見(jiàn)表2。

表2 ARMA模型估計(jì)結(jié)果

結(jié)合上述公式，得到a=80.18138，b=0.017793，c=-42.53233，d=-172.7380，結(jié)合式（5），從而可以得出日平均氣溫變化的模型為：

Tt=80.18138+0.017793t-177.89721sin（ωt+1.32937）+μt

μt=1.381625μt-1-0.405027μt-2+εt-0.573243εt-1-0.291102εt-2 （6）

其中，？漬=2？仔/365。

（二）ARMA模型估計(jì)結(jié)果的驗(yàn)證

用分析所得的ARMA模型對(duì)沈陽(yáng)市2014年的日平均氣溫值進(jìn)行預(yù)測(cè)，可以看到擬合效果非常好。見(jiàn)圖2。

圖2 模型預(yù)測(cè)結(jié)果

四、基于溫度的天氣期貨定價(jià)

參照雷晶晶對(duì)天氣期貨的定價(jià)方法，本文只考慮基于溫度的天氣衍生品合約的賠付特征，以HDDs為研究對(duì)象，探討基于溫度的天氣期貨的定價(jià)問(wèn)題。HDDs的表達(dá)式為：

HDDs=max（0，（Tref - Tiavg））

其中，i=1，2，3，…為指定的天數(shù)，Tiavg為第i天的日平均氣溫，Tref為基礎(chǔ)氣溫，根據(jù)我國(guó)國(guó)情，取Tref =18℃。

假設(shè)T為合約到期日，C為合約名義價(jià)值，S（T）為到期時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的實(shí)際價(jià)格，F(xiàn)（t）為遠(yuǎn)期合約在時(shí)刻t的價(jià)值，r為常數(shù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

理論上，當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)，期貨合約與遠(yuǎn)期合約有相同的到期日和交割日時(shí)，期貨合約價(jià)格等于遠(yuǎn)期合約價(jià)格，即

F（t）=C×E[S（T）] （7）

以HDDs期貨合約為例，預(yù)期合約的終值即預(yù)期的HDDi之和，HDDs期貨價(jià)格為：

E[S（T）]=■Ti=0E[HDDi]=E[■Ti=0max（0，（Tref - Tiavg）] （8）endprint

對(duì)于時(shí)刻t，HDDs期貨合約的價(jià)格為：

F（t）=C×E[■ti=0max（0，（Tref - Tiavg）+■Ti=t+1max（0，（Tref - Tiavg） （9）

在（9）式中，由于時(shí)刻t之前的氣溫?cái)?shù)據(jù)是已知的，故■ti=0max（0，（Tref - Tiavg）為已知數(shù)，僅■Ti=t+1max（0，（Tref - Tiavg）需要通過(guò)蒙特卡羅仿真獲得。

以沈陽(yáng)市2014年1月1日至1月31日作為合約期限，采用蒙特卡羅法，計(jì)算出在這一期限內(nèi)的HDDs的累計(jì)值。經(jīng)過(guò)100000次模擬后，模擬值波動(dòng)范圍已經(jīng)很小，達(dá)到仿真要求。

表3 沈陽(yáng)市2014年1月份累積模擬相對(duì)誤差值

由此可得HDDs期貨合約的價(jià)格為：

F（t）=C×E[■ti=0max（0，（Tref - Tiavg）+■Ti=t+1max（0，（Tref - Tiavg）=100×823.2=82320

即在2014年1月1日，沈陽(yáng)市2014年1月份的累積取暖指數(shù)HDDs期貨合約價(jià)格為82320元。

五、推進(jìn)天氣衍生品開(kāi)發(fā)及市場(chǎng)發(fā)展的政策建議

我國(guó)幅員遼闊，各地區(qū)地理差異很大，天氣因素時(shí)空分布不均，天氣異常變化幅度較大，亟需開(kāi)發(fā)出適用于我國(guó)國(guó)情的天氣衍生品以應(yīng)對(duì)天氣風(fēng)險(xiǎn)，因此天氣衍生品的創(chuàng)新有著巨大的發(fā)展空間。在我國(guó)開(kāi)發(fā)天氣衍生品，需要有關(guān)方面提供有利支持：

（一）加快氣象數(shù)據(jù)服務(wù)的公開(kāi)。氣象數(shù)據(jù)屬于國(guó)家重要的海量基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，一般研究機(jī)構(gòu)難以獲取。希望氣象部門(mén)能以公共服務(wù)品的形式公開(kāi)氣象數(shù)據(jù)資料。

（二）加強(qiáng)政府的支持力度。開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)天氣衍生品，需要大量氣象學(xué)、金融學(xué)及數(shù)據(jù)分析等方面的專(zhuān)業(yè)人才，并承擔(dān)較大風(fēng)險(xiǎn)，故而需要政府給予一定的政策支持。

（三）嚴(yán)格監(jiān)管天氣衍生品的開(kāi)發(fā)及其市場(chǎng)運(yùn)行。發(fā)揮市場(chǎng)監(jiān)管作用，加強(qiáng)行業(yè)自律，加大法律監(jiān)管力度，營(yíng)造良好的環(huán)境以促進(jìn)天氣衍生品的推廣與發(fā)展。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]劉瑋.2012年全球?yàn)?zāi)害回顧與應(yīng)對(duì)（二）[N].中國(guó)保險(xiǎn)報(bào)，2013-01

[2]陳靖.天氣期貨在中國(guó)的開(kāi)發(fā)及應(yīng)用[J].上海金融，2004（12）：10-13

[3]韓金山，譚忠富，劉嚴(yán).略論發(fā)展我國(guó)的天氣風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)[J].國(guó)際電力，2004，8（6）：10-13

[4]雷晶晶.天氣衍生品定價(jià)模型淺析[J].青年科學(xué)，2010（1）：：1-3

[責(zé)任編輯：王鳳娟]endprint