淺談函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的習(xí)題課設(shè)計(jì)

徐陽棟

摘要：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容中占有重要的位置。本文從概念的回顧、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判定、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的計(jì)算以及函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開等方面來設(shè)計(jì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及冪級(jí)數(shù)的習(xí)題課，并通過具體例子說明立體、習(xí)題精選的原則。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析;函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);冪級(jí)數(shù);一致收斂性;展開式

中圖分類號(hào)：O17 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）24-0178-03

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課。由于該課程中的概念抽象、邏輯性強(qiáng)、知識(shí)點(diǎn)關(guān)系緊密，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往感覺到很困難，特別是在學(xué)到級(jí)數(shù)、反常積分這幾塊內(nèi)容時(shí)。盡管教師在課堂講授時(shí)詳細(xì)講解了概念的內(nèi)涵以及不同概念之間的關(guān)系，給出了定理的邏輯關(guān)系以及嚴(yán)格證明，但不少同學(xué)還是應(yīng)用已學(xué)知識(shí)分析問題，遇到習(xí)題特別是一些綜合性的習(xí)題還是不知從何下手。因此，在數(shù)學(xué)分析中，在習(xí)題課上安排一些重要內(nèi)容還是很有必要的。習(xí)題課主要是起到學(xué)生對(duì)問題的疑問和知識(shí)鞏固的作用，是課堂講授的補(bǔ)充與深化。習(xí)題課的核心是總結(jié)、鞏固和提升已學(xué)知識(shí)。教師應(yīng)充分利用習(xí)題課幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解，揭示數(shù)學(xué)分析課程蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的抽象能力、邏輯推理能力、歸納總結(jié)能力和計(jì)算能力等。

本文以函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為例介紹筆者在該內(nèi)容習(xí)題課中的一些做法。這部分的重點(diǎn)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判定、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)以及冪級(jí)數(shù)展開式的計(jì)算。

1 概念、結(jié)論、方法的回顧與總結(jié)

習(xí)題課一開始應(yīng)先復(fù)習(xí)和鞏固相關(guān)概念、定理和基本方法。教師在課堂上可借助提問等手段，啟發(fā)學(xué)生積極思考，理清概念之間的關(guān)系。先回顧函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義與等價(jià)定義、判別方法及其和函數(shù)的性質(zhì)，并且討論為什么要研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。同時(shí)回顧冪級(jí)數(shù)和函數(shù)以及一般函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的計(jì)算思想與方法。下面就是按照一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)兩方面內(nèi)容來分別進(jìn)行總結(jié)。冪級(jí)數(shù)∑a ?（x-x ?） ? 求 其 和 函 數(shù)S（x）？搖收斂半徑R= ? ? ?？搖？搖收斂區(qū)間：（x ?-R，x ?+R）收斂區(qū)域：考慮收斂區(qū)間的端點(diǎn)解析性質(zhì)？搖連續(xù)性：S（x）在（x ?-R，x ?+R）內(nèi)連續(xù).又若冪級(jí)數(shù)在x ?-R或x ?+R處收斂，則S（x）在[x ?-R，x ?+R）連續(xù).可積性：S（x）在（x ?-R，x ?+R）內(nèi)可積且冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分，即 ? ? ?S（t）dt= ? ? ?∑a ?（t-x ?） ?dt=∑ ? ? ?a ?（t-x ?） ?dt=∑ ?（x-x ?） ?可導(dǎo)性：S（x）在（x ?-R，x ?+R）內(nèi)可積且冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即 ?S（x）= ?∑a ?（x-x ?） ?=∑ ?a ?（x-x ?） ?=∑na ?（x-x ?） ?？搖方法：主要利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的解析性質(zhì)，四則運(yùn)算和恒等變形等方法去掉系數(shù)a ?，再利用 ?（x-x ?） ?= ?公式.？搖 函 數(shù)f（x） 展 開 成 冪 級(jí) 數(shù)？搖直接方法（依賴已知函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)）→步驟（1）a ?= ?（2）形式上： ? ?（3）討論余項(xiàng)R ?（x）→0，？坌x∈（x ?-R，x ?+R）？搖間接方法（變量代換、四則運(yùn)算、恒等變形、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分）？搖

2 幾種常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

3 相關(guān)的練習(xí)題

為使學(xué)生更好地理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法，熟悉冪級(jí)數(shù)和函數(shù)以及函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的計(jì)算，習(xí)題課上教師應(yīng)結(jié)合這些課程的核心內(nèi)容精選例題講解、例題練習(xí)，通過讓學(xué)生在黑板上做題目等方式，使學(xué)生在解題過程中感受到其中的數(shù)學(xué)方法與思想。

在常規(guī)課堂教學(xué)中，我們給出下面的例子來考查學(xué)生對(duì)上述內(nèi)容的理解程度。

例1：討論下列函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所示區(qū)間是否一致收斂。

上面的幾個(gè)小例子分別可以通過函數(shù)列一致收斂的等價(jià)定義、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性）、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法（狄利克雷判別法和柯西判別法）來求解。這些例子讓學(xué)生理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂是根據(jù)其部分和函數(shù)列的一致收斂性而來的，并且要知道函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂與收斂的區(qū)別，更要掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本判別法。

例2：求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)域。

上面兩個(gè)小例子是讓學(xué)生掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)域的基本求法（正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的柯西判別法）。

例3：試將下列函數(shù)按x的冪展開成冪級(jí)數(shù)。

這個(gè)例子就是要讓學(xué)生熟悉并靈活應(yīng)用常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。

例4：確定冪級(jí)數(shù)的收斂域并求和函數(shù)。

這個(gè)例子要求學(xué)生掌握并靈活冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)（求導(dǎo)、積分符號(hào)與求和符號(hào)的交換的原則），并讓學(xué)生了解在求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的基礎(chǔ)上能求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，比如下面的例子。

例5：應(yīng)用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)求級(jí)數(shù)。

總之，習(xí)題課不僅要回顧、歸納、總結(jié)重要的概念和定理等內(nèi)容，同時(shí)教師還應(yīng)通過對(duì)習(xí)題、例題的精選、探討、推廣和總結(jié)來讓學(xué)生理解解題的邏輯思維過程，感受到在求解過程中豐富的數(shù)學(xué)方法與思想，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維、抽象思維、發(fā)散思維、邏輯推理等能力，使學(xué)生可以舉一反三、融會(huì)貫通地綜合運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)解決相應(yīng)的問題。

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