阿波羅奧尼斯定理的美妙證明及應(yīng)用

皇杰霖+李世臣

阿波羅奧尼斯定理，又稱三角形中線長(zhǎng)定理，其內(nèi)容表達(dá)為：三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊的平方和等于底邊一半的平方與中線平方和的2倍.其證明方法有很多，常見的有垂線段法、坐標(biāo)系法、余弦定理法等，下面介紹一種簡(jiǎn)單明了，而又引人深思的證明方法.

問題引導(dǎo) 在△ABC中，AM是BC邊的中線，若BC=a，AC=b，AB=c，AM=t.求證：t2=12（b2+c2）-14a2.

思路點(diǎn)撥 如圖1，將公式變形為b2+c2=2t2+212a2，其幾何形式為AB2+AC2=AM2+AM2+MC2+MC2，等號(hào)右邊的形式使我們想到等腰直角三角形兩條直角邊的平方，于是聯(lián)想到能否構(gòu)造直角三角形利用勾股定理來解決問題，這樣就想到了我們熟知的一個(gè)幾何模型：共頂點(diǎn)的兩個(gè)直角等腰三角形.

評(píng)注 因?yàn)閙n2-4m3=m（n-2m）（n+2m），根據(jù)一元三次方程有有理根理論知，±m(xù)、±（n+2m）、±（n-2m）可能是方程的根，經(jīng)檢驗(yàn)它們都不是有理數(shù)域上三次方程的根，所以滿足方程的根不可能通過尺規(guī)作圖，即三等分任意角尺規(guī)不能作圖.

解后反思

通過以上解題過程的探究，我們知道了做題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析，周密思考，慎重求解，要充分挖掘隱含條件，切忌鉆牛角尖，因思維定勢(shì)而導(dǎo)致錯(cuò)誤，要學(xué)會(huì)添加輔助線，把我們學(xué)的相似和全等的知識(shí)運(yùn)用到解題中來.遇到此類問題，首先從已知條件出發(fā)，把所要求或證明的線段轉(zhuǎn)移到同一特殊平面圖形中，其次，要對(duì)問題深入探究，挖掘問題本質(zhì)內(nèi)涵，提煉升華，最后要把獲得的基本結(jié)論或基本模型記錄下來，并試著用它們解決其它問題，學(xué)會(huì)用“發(fā)現(xiàn)——解決——拓展——應(yīng)用”的思維模式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，達(dá)到觸類旁通，靈活運(yùn)用！

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷反思、不斷總結(jié)的過程，在學(xué)習(xí)中常反思、?？偨Y(jié)，對(duì)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)地回顧，我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會(huì)不斷提升.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能生搬硬套，要靈活變通，對(duì)問題要學(xué)會(huì)變式、延伸和拓展，通過觀察與思考，得到更多的結(jié)論，學(xué)習(xí)多種多樣的思維方法和解題技巧，讓數(shù)學(xué)把我們的學(xué)習(xí)與生活變得更加豐富多彩，其樂無窮！