例談數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的通性通法

楊寶平

通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011版》指出，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決要使學(xué)生經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法.下面以2015年濟(jì)南市學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題第28題為例探討一下數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的通性通法問(wèn)題.

題目 已知，拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）過(guò)點(diǎn)A（1，-1），B（5，-1）與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作平行四邊形CBPQ，若P點(diǎn)在直線BC上方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且平行四邊形CBPQ的面積為30，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，⊙O1過(guò)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn)M為弧ACE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C不與點(diǎn)A、E重合，∠MBN為直角，邊BN與ME的延長(zhǎng)線交于N，求線段BN長(zhǎng)度的最大值.

問(wèn)題（1）：求解拋物線的解析式.

從通性通法的角度來(lái)看該問(wèn)題實(shí)際是對(duì)待定系數(shù)法的考查.初中階段任何一種函數(shù)關(guān)系式的確定都是使用該法，即先根據(jù)題目要求設(shè)相應(yīng)函數(shù)的一般關(guān)系式，然后在圖象上找到相應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)代入形成方程組，求出方程組的解便可以解決問(wèn)題，當(dāng)然如果其中提供的點(diǎn)有特殊性也可以作為問(wèn)題突破口.

解法1：如圖1所示，由題意將A（1，-1），B（5，-1）代入拋物線y=ax2+bx+4得方程組，求出a=1、b=-6，即可求出解析式y(tǒng)=x2-6x+4.

解法2：由題意A（1，-1），B（5，-1）是二次函數(shù)圖象上一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，所以其拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3，由拋物線的對(duì)稱軸公式可得b=-6a，再結(jié)合A、B中的任意一點(diǎn)就可以求a=1、b=-6，進(jìn)而求出拋物線的解析式y(tǒng)=x2-6x+4.

問(wèn)題（2）：求點(diǎn)P的坐標(biāo).

從通性通法角度看，關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題無(wú)非兩條路線，一是在已知函數(shù)關(guān)系式的情況下通過(guò)聯(lián)立方程組求解出點(diǎn)的坐標(biāo)；二是在平面直角坐標(biāo)系中利用圖形的性質(zhì)通過(guò)相關(guān)計(jì)算和證明，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而轉(zhuǎn)化出點(diǎn)的坐標(biāo).在解題的過(guò)程中要緊緊圍繞這兩種思路，這便是該問(wèn)題的通解通法.

解法1 利用平移.

如圖3所示，平行四邊形CBPQ，PQ∥BC，由平行四邊形CBPQ的面積為30，我們可以BC為底可求出其高，將其高沿BC方向進(jìn)行平移，在此過(guò)程中高的一端在BC上移動(dòng)，而另一端的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線.求出該直線解析式為y=-x+10，然后與拋物線解析式y(tǒng)=x2-6x+4聯(lián)立即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（-1，11）和（6，4）.

解法2 利用等底同高.

如圖3所示，過(guò)B作y軸的垂線，垂足為D，△BCD為等腰直角三角形，由等底同高可以求出H坐標(biāo)（3，7），過(guò)H作BC的平行線PQ，求出PQ的解析式，結(jié)合解法1即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)（-1，11）和（6，4）.

解法3 利用點(diǎn)到直線的距離.

如圖4所示，利用鉛垂距離.

過(guò)P作x垂線交直線BC于H，P為拋物線上的一點(diǎn)，所以可以設(shè)P為（m，m2-6m+4），H（m，-m+4）.利用坐標(biāo)差表示出PH的長(zhǎng)，通過(guò)面積為30和點(diǎn)到直線的距離求出P（-1，11）和（6，4）.

解法4 利用面積和差.

我們知道求解面積問(wèn)題一般分為兩種：一是直接方法；一是間接方法.在這里我們從間接的角度處理如下：如圖5所示，P為拋物線上的一點(diǎn)，所以P為（m，m2-6m+4），CP為平行四邊形的對(duì)角線，所以△BCP面積為15，由題意S△BCP=S梯形CDGP-S△BPG-S△BCD，代入相關(guān)量即可求出P（-1，11）和（6，4）.

綜合上述四種解法，我們不難發(fā)現(xiàn)前兩種解法基本沿用函數(shù)路線，通過(guò)聯(lián)立方程組求點(diǎn)的坐標(biāo)，后兩種解法沿用圖形路線利用圖形的性質(zhì)通過(guò)相關(guān)計(jì)算和證明，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而轉(zhuǎn)化出點(diǎn)的坐標(biāo).這要求我們?cè)谌粘５恼n堂教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生這方面的培養(yǎng)，使多數(shù)學(xué)生都能煉就一雙找點(diǎn)、求點(diǎn)的“火眼金睛”.

問(wèn)題（3）：求線段BN長(zhǎng)度的最大值.

從通性通法的角度考慮幾何最值問(wèn)題：一是分析定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，尋求不變的特征或數(shù)量關(guān)系；一是看是否屬于常見模型，若是常規(guī)模型（奶站模型、天橋模型、折疊模型），則調(diào)用模型解決問(wèn)題，若不屬常規(guī)模型，則要結(jié)合要求的問(wèn)題，根據(jù)不變的特征轉(zhuǎn)化基本定理或函數(shù)表達(dá)式解決問(wèn)題.該問(wèn)題屬于第二種幾何最值，所以選擇如下解答方法：

解法1 如圖6所示

在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠NMB=∠EAB，tan∠NMB=tan∠EAB，因此當(dāng)BM取最大值時(shí)BN取得最大值.

解法2 根據(jù)題意∠NMB=∠EAB，∠NBM=∠EBA，可得出△EAB∽△NMB，即可求出BN是BM的正比例函數(shù)關(guān)系式，同樣當(dāng)自變量BM最大時(shí)因變量BN取得最大值.

通過(guò)以上三個(gè)問(wèn)題探討，我們可以看出通性通法在數(shù)學(xué)解題中起到非常重要的作用，而正是這種具有普遍意義的解題方法，卻是在問(wèn)題解決過(guò)程中最實(shí)際、最適用的，也是各地學(xué)業(yè)水平考試的重要考查點(diǎn)，這也勢(shì)必會(huì)成為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決方法發(fā)展的主流.我們知道學(xué)生對(duì)學(xué)業(yè)水平考試的處理過(guò)程是一個(gè)學(xué)生創(chuàng)造的過(guò)程，一個(gè)批判、選擇的過(guò)程，一個(gè)充滿想象、探索和體驗(yàn)的過(guò)程，而通性通法的靈活把握會(huì)對(duì)問(wèn)題的解決起到事半功倍的效果，因此，我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中要把通性通法放在一個(gè)重要的位置，將其滲透于每一堂課之中，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)歸納問(wèn)題解決的通性通法，加強(qiáng)對(duì)通性通法的訓(xùn)練與提高，只有這樣才能真正實(shí)現(xiàn)高效課堂和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的雙重目標(biāo).