四邊形不穩(wěn)定性的思考

郝四柱+朱金玲

1 問(wèn)題的提出

在一次活動(dòng)課上，學(xué)生們探究如何讓六邊形實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定.問(wèn)題是：一個(gè)六邊形鋼架ABCDEF，由6條鋼管連接而成，為了使這一鋼架穩(wěn)固，請(qǐng)你用三條鋼管做對(duì)角線使它固定，你能設(shè)計(jì)兩種不同的方案嗎？

同學(xué)們的思路各種各樣，如圖1的6個(gè)圖形是出現(xiàn)比較多的情況.

前面4種容易判斷.圖1①不穩(wěn)定，圖1②—④都是穩(wěn)定的，并且能夠證明.老師們認(rèn)為后兩種方法含有四邊形，不具有穩(wěn)定性，因而不符合要求（解釋一下，圖形中對(duì)角線用虛線，突出對(duì)角線交點(diǎn)不存在；只保持對(duì)角線的長(zhǎng)度不變）.最后兩種方法本人憑感覺(jué)它們是穩(wěn)定的.幾何畫(huà)板演示之后，驗(yàn)證了這兩個(gè)圖確實(shí)是穩(wěn)定的.但是如何解釋呢？

解鈴還須系鈴人，問(wèn)題必須回到“四邊形的不穩(wěn)定性”上來(lái)，進(jìn)行深度探究，弄清楚四邊形不穩(wěn)定性的內(nèi)在規(guī)律.

眾所周知，三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性.對(duì)于四邊形不穩(wěn)定性，有不少人還會(huì)產(chǎn)生誤解：（1）有人會(huì)說(shuō)，三角形有時(shí)也不具有穩(wěn)定性，你看：如圖2，△ABC，具有AB、AC和∠ABC確定，這樣的三角形可以有兩個(gè)，能穩(wěn)定嗎？

（2）有人還會(huì)說(shuō)：四邊形我能讓它穩(wěn)定；用長(zhǎng)度一定的四根鋼筋，把四邊的頂點(diǎn)依次焊接起來(lái)，這個(gè)四邊形不就穩(wěn)定了嗎？

以上兩種想法都是不正確的.對(duì)于看法（1），把圖形的兩種情況和不穩(wěn)定性混淆了.△ABC1和△ABC2雖然是兩種情況，但是△ABC1運(yùn)動(dòng)變成△ABC2的過(guò)程中，AC長(zhǎng)度和∠ABC度數(shù)至少有一個(gè)發(fā)生變化；也就是說(shuō)這兩情況雖然是存在的，但是不可能通過(guò)連續(xù)變化實(shí)現(xiàn)△ABC1和△ABC2這兩種情況的相互轉(zhuǎn)換.對(duì)于看法（2）涉及到頂點(diǎn)的連接方式問(wèn)題：頂點(diǎn)處必須是可動(dòng)的，如同四肢的關(guān)節(jié)一樣.否則穩(wěn)定性研究無(wú)從談起.

那么四邊形不穩(wěn)定性有哪些內(nèi)在的規(guī)律？

課本中有四邊形不穩(wěn)定性的明確定義：四邊形具有不穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，當(dāng)一個(gè)四邊形的四邊的長(zhǎng)度確定時(shí)，這個(gè)四邊形的形狀、大小不唯一確定.如圖3，不妨讓一邊AB固定，四邊長(zhǎng)度確定，此時(shí)四邊形形狀變化時(shí)，點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑的圓（?。?，點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)B為圓心、BC為半徑的圓（?。?在邊BC、AD上的固定點(diǎn)的軌跡也是圓.

此時(shí)四邊形ABCD中，CD上的某個(gè)固定點(diǎn)的軌跡又是什么？是圓（?。?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2017/02/14/zxsx201505zxsx20150512-2-l.jpg" style="">

顯然四邊形ABCD如果是平行四邊形，在AB確定的情況下，圖形變化過(guò)程中有cos（α-β）=1，R=r；此時(shí)點(diǎn)P的軌跡顯然是圓.但是對(duì)于四邊形ABCD不是平行四邊形的時(shí)候，點(diǎn)P的軌跡通過(guò)幾何畫(huà)板演示發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P在直線CD上的不同位置的點(diǎn)的軌跡如圖4.顯然軌跡不是一個(gè)圓，而是一個(gè)封閉圖形.那么四邊形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中除了平行四邊形外，是否還有其它點(diǎn)的軌跡是圓？也就是說(shuō)：有cos（α-β）為定值呢？答案是沒(méi)有，證明如下.

特別的：當(dāng)四邊形是梯形且BC∥AD時(shí)，那么α-β=0，隨著圖形的變化，那么這種平行的位置關(guān)系發(fā)生變化，α-β也不可能是定值.

所以，除了平行四邊形之外的其它四邊形均不可能有α-β是定值.也就是說(shuō)：只有平行四邊形的情況下，CD邊上的點(diǎn)P（異于C、D）的軌跡才是圓，否則，根據(jù)（1）可知：點(diǎn)P軌跡方程是圍繞一個(gè)中心運(yùn)動(dòng)，但是半徑不斷發(fā)生變化的方程，其圖形是一種有中心的封閉圖形（或其一部分）不妨稱之為變圓.

4 問(wèn)題的拓展

推論1：根據(jù)結(jié)論（2）可知：當(dāng)四邊形ABCD以一邊AB固定，其它邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，①直線AD、BC上的任意一點(diǎn)（除A、B外）運(yùn)動(dòng)的軌跡是：半徑和圓心都固定的確定的圓.

②直線CD上的點(diǎn)（除點(diǎn)C、D外）運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓心確定但半徑不斷變化的一種似圓非圓的變圓（或變圓的一部分）.

③如果某個(gè)點(diǎn)E是以BC（或AD為定邊）而被固定的點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)E的軌跡是一個(gè)圓.

④如圖6某個(gè)點(diǎn)E是以CD為定邊，CE、DE邊長(zhǎng)確定三角形CDE，當(dāng)四邊形ABCD以AB不動(dòng)其他部分運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的軌跡是圓心和半徑都改變的變圓.

根據(jù)推論可知：顯然五邊形需要且只需要任意2條對(duì)角線就能把五邊形固定.

那么對(duì)于六邊形至少需要3條對(duì)角線才能把六邊形固定.如圖1①—④易于發(fā)現(xiàn)是否是固定的了.

對(duì)于如圖1的⑤⑥兩圖，是否穩(wěn)定呢？

如圖7就是圖1⑤，讓△ABF固定不動(dòng)，根據(jù)推論1③可知：當(dāng)四邊形BCEF圖形變化時(shí)，點(diǎn)D的軌跡是變圓，點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是不斷變化的，所以一旦AD長(zhǎng)度確定，那么點(diǎn)D確定，整個(gè)圖形就固定了了.說(shuō)明這種情況下是穩(wěn)定的.

對(duì)于圖1⑥情況，即：圖8，由于一時(shí)找不到一個(gè)固定不變的三角形，故只能另用它法.

我們首先畫(huà)出六邊形ABCDEF然后畫(huà)出A′B′，使得A′B′=AB，然后以B′為圓心BC為半徑畫(huà)圓，在圓上找一點(diǎn)為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C′，以A′、C′分別為圓心，AD、CD為半徑確定點(diǎn)D′，進(jìn)而確定點(diǎn)E′、F′，顯然當(dāng)點(diǎn)C′繞圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F′的運(yùn)動(dòng)軌跡是變圓，用幾何畫(huà)板驗(yàn)證了這一點(diǎn)（如圖9）.所以點(diǎn)A′F′長(zhǎng)度一旦確定，則點(diǎn)F′也就確定，因而六邊形就是穩(wěn)定的圖形了.

推論2：對(duì)于四邊形只需增添一條對(duì)角線即可穩(wěn)定.對(duì)于五邊形，只需增添兩條對(duì)角線即可穩(wěn)定.對(duì)于六邊形增添3條對(duì)角線，還需考慮放置的方法才能穩(wěn)定.相應(yīng)的對(duì)于n邊形，至少需要（n-3）條對(duì)角線方可穩(wěn)定，最簡(jiǎn)潔的放置方法是從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n-3）條對(duì)角線即可.