一道中考“數(shù)學(xué)建?！痹囶}的賞析和反思

張宇清 云鵬

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)要重視學(xué)生從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生初步形成模型思想，提高應(yīng)用意識和解決問題的能力.利用“數(shù)學(xué)建模”解決應(yīng)用問題，已成為近年來中考的一大熱點(diǎn).2015年淄博市中考數(shù)學(xué)第22題以“修建蓄水池，屋頂收集雨水”為背景，考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，題型新穎，引人注目.筆者作為今年閱卷的親歷者，有幸欣賞到許多優(yōu)秀的解題思路，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了一些典型錯(cuò)例，而這些正是我們研究學(xué)生，反觀自己教學(xué)的極好素材.在此整理出來，與大家分享，同時(shí)體會中考試題的價(jià)值和意義.

1 原題呈現(xiàn)

為充分利用雨水資源，幸福村的小明和相鄰的爺爺家采取了修建蓄水池、屋頂收集雨水的做法.已知小明和爺爺家的屋頂收集雨水面積、蓄水池的容積和蓄水池已有水的容量如下表：

氣象預(yù)報(bào)即將會下雨.為了盡可能多的收集雨水，下雨前需從爺爺家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？

2 解法賞析

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題，首先要把實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)問題明確地表述出來，也就是說，要通過對實(shí)際問題的分析、歸納給出以描述這個(gè)問題的數(shù)學(xué)提法，然后才能使用數(shù)學(xué)的理論和方法進(jìn)行分析，得出結(jié)論，最后再返回去解決現(xiàn)實(shí)的實(shí)際問題.由于實(shí)際問題的復(fù)雜性，往往很難把現(xiàn)成的數(shù)學(xué)理論直接套用到這些實(shí)際問題上，這就必須要在數(shù)學(xué)理論和所要解決的實(shí)際問題之間構(gòu)建一個(gè)橋梁來加以溝通，以便把實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)明確地表示出來，這個(gè)橋梁就是“數(shù)學(xué)模型”，這個(gè)橋梁的構(gòu)建過程就是“數(shù)學(xué)建?！?以下從數(shù)學(xué)建模的角度來梳理本題的多種解法.

2.1 構(gòu)建數(shù)與式模型

數(shù)與式是最基本的數(shù)學(xué)語言，是描述和表達(dá)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的重要策略之一.應(yīng)用數(shù)與式解題的關(guān)鍵是弄清題意，理解題中的關(guān)鍵詞、句的含義，準(zhǔn)確地列出算式，將日常文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，構(gòu)建數(shù)與式模型，解決實(shí)際問題.

解法1 小明家蓄水池剩余容積：50-34=16（m3），爺爺家蓄水池剩余容積：13-11.5=1.5（m3），小明和爺爺家總共最多可收集雨水：16+1.5=17.5（m3），小明家可收集雨水爺爺家可收集雨水=160120=43，小明家可收集雨水：47×17.5=10（m3），爺爺家可收集雨水：37×17.5=7.5（m3），下雨前需從爺爺家的蓄水池中抽?。?6-10=6（m3），或7.5-1.5=6（m3）.答：先從爺爺家的蓄水池中抽取6立方米的水注入小明家的蓄水池，才能收集盡可能多的雨水.

2.2 構(gòu)建方程（組）模型

本題以文字和圖表的形式呈現(xiàn)題干內(nèi)容，要求考生能閱讀、理解給出的材料，構(gòu)建方程（組）模型.關(guān)鍵是要對試題的信息進(jìn)行觀察、比較、歸類、識別、提取、篩選，尋找問題中的已知量、未知量之間的等量關(guān)系，建立方程，從而找出最佳方法，準(zhǔn)確、快捷地解題.

解法2 設(shè)下雨前需從爺爺家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，根據(jù)題意得：160120=50-（34+x）13-（11.5-x），解得：x=6，經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的根.答：略.

解法3 50-（34+x）160=13-（11.5-x）120，其他同解法2.

解法4 設(shè)屋頂每平方米收集雨水a(chǎn)m3，下雨前需從爺爺家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，根據(jù)題意得：（34+x）+160a=50，

2.3 構(gòu)建不等式（組）模型

在現(xiàn)實(shí)世界中，正如相等關(guān)系一樣，不等關(guān)系也是普遍存在的，許多問題中，很難確定（有時(shí)也不需要）具體的數(shù)值，則可挖掘?qū)嶋H問題所隱含的數(shù)量關(guān)系，建立不等式（組）模型，進(jìn)而解決實(shí)際問題.

解法9 設(shè)下雨前需從爺爺家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，根據(jù)題意得：34+x+160a≤50，

2.4 構(gòu)建函數(shù)模型

函數(shù)反映了事物之間的廣泛聯(lián)系，揭示了現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和運(yùn)動(dòng)、變化規(guī)律.對于現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的最優(yōu)化問題，如用料最省、成本最低、利潤最大等，可透過實(shí)際背景，建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題.本題中“盡可能多的收集雨水”啟發(fā)我們，可以試探著通過構(gòu)建函數(shù)模型解決問題.

解法10 設(shè)屋頂每平方米收集雨水xm3，小明和爺爺家最多可收集雨水ym3，根據(jù)題意得：y=34+160x+11.5+120x，整理得：y=280x+45.5，因?yàn)閥的最大值為50+13=63，此時(shí)，280x+45.5=63，解得：x=116，所以，160×116=10，50-10-34=6，或120×116=7.5，7.5-（13-11.5）=6（m3）.答：略.

縱觀以上10種解法，解法1是算術(shù)方法，其他解法皆屬于代數(shù)方法.解法1運(yùn)用了兩數(shù)和、兩數(shù)差模型、比例模型，思路清晰、目標(biāo)明確；其他解法也各有所長，其中方程（組）模型用得最多.同樣是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，算術(shù)方法和代數(shù)方法的最大區(qū)別就在于思考問題的方向不同.打個(gè)比方，如果未知數(shù)在對岸，那么算術(shù)方法，好象摸著石頭過河找到未知數(shù)，代數(shù)方法好象用繩索將對岸的未知數(shù)捆好拉過河來，二者的思考方向剛好相反.

3 錯(cuò)例剖析

在閱卷中，我們發(fā)現(xiàn)了大量錯(cuò)解，最典型的有以下兩種：

錯(cuò)解1 小明家蓄水池剩余容積：50-34=16（m3），爺爺家蓄水池剩余容積：13-11.5=1.5（m3），小明和爺爺家總共最多可收集雨水：16+1.5=17.5（m3），下雨前需從爺爺家的蓄水池中抽?。?7.5-11.5=6（m3）.答：略.

這種解法很有迷惑性，前三步都是正確的，最后一步毫無道理，卻陰差陽錯(cuò)得到了正確的結(jié)果.閱卷老師稍不留神就會錯(cuò)批.說出來道理又特別簡單，因?yàn)樵谶@種解法中，有兩個(gè)至關(guān)重要的量“小明和爺爺家屋頂收集雨水的面積”根本就沒有用到.得出正確結(jié)果只是一種巧合.

錯(cuò)解2 設(shè)下雨前需從爺爺家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，根據(jù)題意得：50-（34+x）=13-（11.5-x），解得：x=7.25.很顯然，這種解法也忽略了“小明和爺爺家屋頂收集雨水的面積”這兩個(gè)重要的條件.

為什么這兩類同學(xué)都會忽略“小明和爺爺家屋頂收集雨水的面積”這兩個(gè)重要的條件呢，究其原因，最根本的就是沒看懂題，不理解“修建蓄水池、屋頂收集雨水”的真正含義，把“修建蓄水池”和“屋頂收集雨水”這兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的事件割裂開來.題目本身的敘述并沒有問題，但學(xué)生由于缺乏實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，卻很難準(zhǔn)確地理解題意.如果命題者把問題描述的更通俗一些，或許對學(xué)生的理解會有所幫助.比如可以這樣敘述“為充分利用雨水資源，幸福村的小明和相鄰的爺爺家采取了修建蓄水池、屋頂收集雨水的做法.他們兩家屋頂四周都設(shè)置了“虹吸管”（一種排水系統(tǒng)），能夠?qū)⑽蓓數(shù)挠晁ㄟ^水管收集到地面的蓄水池里.”

4 閱卷啟示

我國北方長期缺水，嚴(yán)重影響人們的生活和經(jīng)濟(jì)發(fā)展.因此把雨水作為重要水資源加以收集利用，實(shí)行綜合治理已經(jīng)成為一個(gè)重要的新興課題.命題者從數(shù)學(xué)的角度，引領(lǐng)大家關(guān)注社會熱點(diǎn)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題，是這道中考題的一大亮點(diǎn).

從閱卷情況來看，此題得分率不高，滿分為8分的題，平均分卻不足2分，而且出現(xiàn)了大量的0分卷.可見，此題有一定的難度，區(qū)分度較高，具有較強(qiáng)的選拔功能.反思這道題的難度，和一些更加復(fù)雜的應(yīng)用題相比，難度并不算太大.但為什么會出現(xiàn)大量0分呢？問題出在“新”上.因?yàn)檫@是一道原創(chuàng)題，是一道新題.對很多學(xué)生來講，“新”題就意味著是難題，特別是對那些缺乏數(shù)學(xué)建模能力的學(xué)生.通過這道中考題可以讓我們看到試題創(chuàng)編者的獨(dú)具匠心，源于課本知識而又融合數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生既有似曾相識之感而又需努力接受挑戰(zhàn)，讓我們感受數(shù)學(xué)模型之美，也體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模之效.數(shù)學(xué)建模給學(xué)生們再現(xiàn)了一種微型的科研過程，這對學(xué)生們今后的學(xué)習(xí)和工作無疑會有很好的影響，也對學(xué)生的能力提出了更高層次的要求.數(shù)學(xué)建模能力已成為學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)中不可或缺的能力，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)也成為教師的一個(gè)研究課題.

5 深度思考

5.1 關(guān)于設(shè)問的兩點(diǎn)設(shè)想

就當(dāng)前的教學(xué)狀況看，穩(wěn)妥起見可以在此題的設(shè)問環(huán)節(jié)把“為了收集盡可能多的雨水”改為“為了收集盡可能多的雨水（即保證同時(shí)注滿兩池水）”，如此設(shè)計(jì)的好處是，便于學(xué)生找到等量關(guān)系，照顧到更多的學(xué)生理解題意；但這樣設(shè)計(jì)的缺陷也是明顯的，讓學(xué)生失去了尋找模型的機(jī)會.

也可以膽子再大一點(diǎn)，將“為了盡可能多的收集雨水，下雨前需從爺爺家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？”的設(shè)問再開放一些：“為了盡可能多的收集雨水，在現(xiàn)有條件下，應(yīng)該怎么辦？”讓學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施的過程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題.

這樣一來，使這個(gè)問題中的模型思想得到了充分體現(xiàn).但一方面考慮到學(xué)生要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)解決問題，同時(shí)也考慮到問題本身的難度，風(fēng)險(xiǎn)較大.當(dāng)然，中考題不如此呈現(xiàn)，不等于我們的教學(xué)不能如此實(shí)施.

5.2 對當(dāng)前教學(xué)的一點(diǎn)建議

我們知道，一個(gè)活生生的問題情境包含的信息往往是多元的.通常需要我們綜合運(yùn)用各種信息才能準(zhǔn)確表達(dá)、理解問題，并綜合運(yùn)用不同信息，合理轉(zhuǎn)化，建立方程、函數(shù)等模型，靈活解決問題.教學(xué)中，教師要通過研究問題的探究過程、解題思路的獲得過程，來幫助學(xué)生深化對數(shù)學(xué)概念規(guī)律的理解，掌握探究解決問題的科學(xué)方法，領(lǐng)悟各種數(shù)學(xué)思想對問題解決過程的統(tǒng)帥調(diào)控作用.為什么學(xué)生在面對這些綜合性的實(shí)際問題時(shí)的表現(xiàn)不容樂觀？很重要的一個(gè)原因是我們在平時(shí)的教學(xué)中，對綜合信息的數(shù)學(xué)化轉(zhuǎn)化過程重視不夠，從而造成在面對問題時(shí)不知道問題的實(shí)際意義對應(yīng)的數(shù)學(xué)要義是什么，反映在數(shù)學(xué)模型上的特征是什么，從而導(dǎo)致了從生活到數(shù)學(xué)、從數(shù)學(xué)到生活兩個(gè)環(huán)節(jié)瓶頸效應(yīng)的產(chǎn)生，筆者認(rèn)為這才是數(shù)學(xué)應(yīng)用能力仍然較弱的根本原因.

教學(xué)中，教師若能選取類似本文提到的這樣的好題，留給學(xué)生足夠的時(shí)間思考，提供學(xué)生展示自己想法的機(jī)會，并組織學(xué)生對不同思路進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^和討論，學(xué)生就能自然地把題目涉及到的相關(guān)知識加以聯(lián)系，構(gòu)建成一個(gè)整體，達(dá)到靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的程度.這樣做，會比機(jī)械地重復(fù)大量的訓(xùn)練題目的效果要好很多.進(jìn)行類似于此題的“一題多解”的教學(xué)，不僅有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，提高解題能力，而且也有利于開闊學(xué)生的視野，有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用水平.

作者簡介 張宇清，中學(xué)高級教師.淄博市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人、淄博市優(yōu)秀教師.曾獲市級優(yōu)質(zhì)課評選第一名，省優(yōu)質(zhì)課評選一等獎(jiǎng)，多次執(zhí)教市級觀摩課、公開課.參與主編十余本教輔用書，40多篇論文在國家及省級刊物發(fā)表.