用定義導(dǎo)航數(shù)學(xué)思考

蔡衛(wèi)兵

以已有的知識為基礎(chǔ)，設(shè)計一個陌生的數(shù)學(xué)情景，并給出一個新的定義，要求使用新給出的定義作出某種判斷或計算、推理、遷移，我們不妨稱這類試題為“新定義”試題.這類問題關(guān)鍵在于閱讀，核心在于理解，目的在于應(yīng)用.其重點考查考生的閱讀理解能力、接受能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動探究的品質(zhì).縱觀北京市2012年至2015年的中考數(shù)學(xué)試卷，“非常距離”、“關(guān)聯(lián)點”、“有界函數(shù)、邊界值”、“反稱點”閃亮登場；縱觀寧波市2011年至2015年的中考數(shù)學(xué)試卷，“奇異三角形”、“n階準(zhǔn)菱形”、“和諧四邊形”、“三分線”、“智慧角”更是猶如一棵“常青樹”屢見不鮮，但這些考題區(qū)分度比較大，學(xué)生的得分率比較低.事實上，“給什么，用什么”是解答這類試題的基本思路，通過不斷地回到定義去進行數(shù)學(xué)閱讀、信息獲取和加工以及反思概括，強化對概念之間聯(lián)系的關(guān)注，從而讓定義導(dǎo)航數(shù)學(xué)思考，使問題的解答在定義的啟發(fā)下拾級而上.

1 撥云見霧取真經(jīng)

有些新概念包含4個要素，即概念的名稱、定義、例子和屬性.有時為更簡潔地反映異類對象在數(shù)與形方面內(nèi)在、固有的屬性，還會引進反映本質(zhì)特征的符號和圖形來表示定義的內(nèi)涵.

例1 （2014年北京卷第25題）對某一個函數(shù)給出如下定義，若存在實數(shù)M>0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足-M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值，例如，圖1中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.圖1

（1）分別判斷函數(shù)y=1x（x>0）和y=x+1（-4

（2）若函數(shù)y=-x+1（a≤x≤b，b>a）的邊界值是2，且這個函數(shù)的最大值也是2，求b 的取值范圍.

（3）將函數(shù)y=x2（-1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時滿足34≤t≤1？

此題中有兩個新的概念，一個是有界函數(shù)，這個新概念中包含實數(shù)M>0的存在性和函數(shù)值y滿足-M≤y≤M的任意性，抽象難理解，通過數(shù)形結(jié)合借助直觀的圖像便能獲得圖形語言，有界函數(shù)的圖像必須夾在平行于x軸的兩條平行線之間；另一個是邊界值，在所有滿足條件的M中M的最小值，這對新概念的理解是只停留在直接性理解層次，往往在解答問題時不會用這個概念，只有深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，能揭示概念之間的聯(lián)系，把握邊界值概念中的M是指什么，來源于何處？如何求M的最小值，這與函數(shù)有何關(guān)系？透過現(xiàn)象看本質(zhì)，函數(shù)的邊界值M0就是函數(shù)的最小值、最大值的絕對值中較大的一個，撥云見霧取真經(jīng)，邊界值問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.因此在數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想的引領(lǐng)下進行解答：

2 回歸本源化矛盾

“新定義”壓軸題為有效地檢測出學(xué)生在新概念的學(xué)習(xí)活動中的一系列表現(xiàn)，往往設(shè)計成一個有條理的分層級問題串，各小題之間會按某種邏輯遞進展開，在探究和應(yīng)用環(huán)節(jié)時易受其他信息的干擾，學(xué)生在解題過程中會忽視一些關(guān)鍵屬性和概念之間的聯(lián)系.

例2 （2015年寧波卷第25題）如圖2，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，如果∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時始終滿足OA·OB=OP2，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角.

此題清晰地展示了一類課題學(xué)習(xí)的研究模式：定義——問題——判斷——探究——應(yīng)用.問題涉及單動點和旋轉(zhuǎn)問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系等知識，要求學(xué)生通過閱讀理解、判斷推理、操作計算、分類討論等方式進行即時的學(xué)習(xí)和研究.問題的設(shè)置起點低、梯度明顯，有利于不同層次學(xué)生的發(fā)揮，有利于考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和潛能.第（3）問重視學(xué)生對新知識的理解和應(yīng)用能力，而學(xué)生關(guān)注的重點在反比例函數(shù)y=3x和條件BC=2CA，忽視∠AOB的智慧角∠APB的頂點P的特征而無從下手.

回歸本源化矛盾，不但可以促進對新概念本質(zhì)屬性的把握，而且還會強化學(xué)生對概念之間聯(lián)系的關(guān)注，∠AOB的智慧角∠APB的頂點P在∠AOB的平分線上，要求點P的坐標(biāo)，只需求出OP的長度，而∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時始終滿足OA·OB=OP2，因此將問題轉(zhuǎn)化為綜合運用相似三角形、反比例函數(shù)等知識求OA·OB的值.因此在智慧角定義的導(dǎo)航下進行思考和解答：

3 “新定義”壓軸題的教學(xué)思考

“回到定義去”是一種元認(rèn)知監(jiān)控，即對思維的起點和方向進行思維監(jiān)控，并適時調(diào)控自己認(rèn)知的過程，這是波利亞怎樣解題表中的一條基本原則.對于立意鮮明、背景深刻、情境新穎、設(shè)問靈活的“新定義”壓軸題，由我們曾經(jīng)學(xué)過的定義派生出新定義，雖然在題目的外表上作了變化，而實際還是用已學(xué)過的知識和方法來解決問題，變的是我們對題目的認(rèn)識，不變的是我們對新題型解決的方法和數(shù)學(xué)思想.但因具有信息量大，學(xué)生不易深入理解新定義與各小題之間的內(nèi)在聯(lián)系以及問題中其他信息的干擾，所以我們更應(yīng)仔細(xì)閱讀，撥云見霧取真經(jīng)，不斷地把文字語言、符號語言、圖形語言相互轉(zhuǎn)化，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抽絲剝繭現(xiàn)原形，同時不斷地“回到定義去”，回歸本源化矛盾，真正把握新概念的本質(zhì)屬性，關(guān)注新概念之間的聯(lián)系，在定義的導(dǎo)航下對問題的認(rèn)識得到加深，解題思路得到拓展，解題效率得到提高.

李邦河院士曾說過“數(shù)學(xué)，根本上是玩概念的”.象本文一定意義上也是在倡導(dǎo)“玩概念”，對于引導(dǎo)重視概念教學(xué)無疑是十分有利的，關(guān)注學(xué)生參與和體驗，注重學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、類比、拓展、遷移能力的培養(yǎng)，能夠轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)換，擴展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生掌握知識的水平.特別是在解題教學(xué)中，它可以是新的概念、新的運算、新的符號、新的圖形、新的定理或新的操作規(guī)則與程序、新的情境等等，注重學(xué)法指導(dǎo)，引導(dǎo)“學(xué)生回到定義去”，如果能及時地“回到定義去”，則往往能有效地達(dá)到解決問題的目的，讓定義導(dǎo)航著我們的數(shù)學(xué)思考，是一個重要的解題策略.然而，要使學(xué)生養(yǎng)成“回到定義去”的思考習(xí)慣，則需要平時在“做”的過程和“思考”的過程中不斷積累.

參考文獻(xiàn)

[1] 李夢虎，蔣榮清.學(xué)生解答新概念型問題的困惑及教學(xué)對策[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（12）：51-55.

[2] 賈俊.把關(guān)預(yù)設(shè)新定義 “距離”考題頻登場[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（7）：44-46.