從足球海報(bào)看數(shù)學(xué)公式

朱國(guó)軍　葉軍

2013年11月4日，廣州恒大俱樂(lè)部貼出了亞冠決賽第二回合的海報(bào)，主題是“11月9日，我們共同解答，冠軍終歸這里”。海報(bào)中列出兩個(gè)恒等式代表恒大與首爾第二回合的預(yù)測(cè)比分。海報(bào)的寓意是，決賽終將以3：0奪冠。

11月9日，比賽當(dāng)日，廣州恒大隊(duì)最終以主場(chǎng)1：1戰(zhàn)平首爾FC，以總比分3比3奪得亞冠冠軍?，F(xiàn)實(shí)雖然和理想相去甚遠(yuǎn)，但預(yù)測(cè)畢竟只是預(yù)測(cè)，這個(gè)有點(diǎn)僥幸的結(jié)果對(duì)中國(guó)足球來(lái)說(shuō)，已經(jīng)足夠慶賀一下了。恒大奪冠，對(duì)中國(guó)足球和大部分球迷來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是難得的喜訊，讓很多數(shù)學(xué)好或者不好的球迷一起去重溫這份海報(bào)。一時(shí)間，一份足球海報(bào)擔(dān)任了數(shù)學(xué)科普的角色，數(shù)學(xué)以一種奇特的姿態(tài)展示在世人面前。勉強(qiáng)得到的冠軍畢竟還是冠軍，怎么說(shuō)總讓這兩個(gè)奇特的式子獲得了向大眾一露微笑的機(jī)會(huì)，其“教學(xué)效果”好像比數(shù)學(xué)老師在黑板上講n遍好得多。那么這兩個(gè)式子的意思究竟是什么呢？

左邊的是拉馬努金恒等式，結(jié)果等于3；右邊的是歐拉公式eπi+1=0。

拉馬努金（1887～1920），印度數(shù)學(xué)家。家境貧困，少年時(shí)代即顯示出對(duì)數(shù)學(xué)較強(qiáng)的直覺(jué)和洞察能力，10歲進(jìn)入中學(xué)，通過(guò)自學(xué)的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，14歲左右就顯示出自身的數(shù)學(xué)天才。成年以后，他的數(shù)學(xué)成果引起英國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈代（G.H.Hardy）的關(guān)注，經(jīng)引薦，拉馬努金到英國(guó)跟隨哈代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，接受系統(tǒng)的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，后因健康問(wèn)題回國(guó)，不久去世。拉馬努金的數(shù)學(xué)天才以偉大的洞察力著稱(chēng)于數(shù)學(xué)界，簡(jiǎn)單地說(shuō)，拉馬努金不是“證明”數(shù)學(xué)公式，而是直接“發(fā)現(xiàn)”公式。如下面的與圓周率有關(guān)的級(jí)數(shù)公式：

無(wú)人知道拉馬努金短暫的一生對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的損失究竟有多大，哈代在回憶中評(píng)價(jià)他和這位學(xué)生的合作，說(shuō)和拉馬努金的合作是“我一生中最浪漫的事件”。

國(guó)際上主要有兩項(xiàng)拉馬努金為名的獎(jiǎng)：SASTRA Ramanujan Prize和The Ramanujan Prize。前者由拉馬努金的故鄉(xiāng)在2005年創(chuàng)立，頒發(fā)給年齡不超過(guò)32歲的年輕數(shù)學(xué)家，獎(jiǎng)金一萬(wàn)美元。2006年的獲獎(jiǎng)?wù)?，是澳大利亞的華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒。后者The Ramanujan Prize由ICTP（國(guó)際理論物理中心）2005年創(chuàng)立，頒發(fā)給發(fā)展中國(guó)家的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。獲獎(jiǎng)?wù)叩哪挲g不超過(guò)45歲，清華數(shù)學(xué)中心訪問(wèn)學(xué)者張偉榮獲2010年SASTRA Ramanujan獎(jiǎng)。

下面的故事能充分說(shuō)明拉馬努金對(duì)數(shù)字的敏感和洞察力。有次拉馬努金生病，哈代前往探望。哈代說(shuō)：“我乘出租車(chē)來(lái)，車(chē)牌號(hào)碼是1729，這個(gè)數(shù)沒(méi)什么意思。”拉馬努金答道：“不，那是個(gè)很有趣的數(shù)。在可以表示為兩個(gè)數(shù)的立方之和，而且僅有兩種表達(dá)方式的數(shù)之中，1729是最小的。”（即1729=13+123=93+103，后來(lái)這類(lèi)數(shù)被趣稱(chēng)為“的士數(shù)”）哈代的好友，同樣是數(shù)學(xué)家的利特爾伍德聽(tīng)了這個(gè)故事后評(píng)價(jià)說(shuō)：“每個(gè)整數(shù)都是拉馬努金的朋友?！?/p>

如果把所有的根號(hào)擦去，剩下的數(shù)字是：1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，8…相當(dāng)于在自然數(shù)列1，2，3，4，5…相鄰兩個(gè)數(shù)之間中插入1。掌握這一規(guī)律，不需要很多的數(shù)學(xué)知識(shí)，你也能把拉馬努金恒等式隨意寫(xiě)下去，它們的值都等于3。

網(wǎng)上有人指認(rèn)，書(shū)寫(xiě)恒大比分的筆是一種“名牌鋼筆”，而書(shū)寫(xiě)首爾隊(duì)比分的筆不過(guò)是普通的圓珠筆，此中意味，似乎不言自明。廣告設(shè)計(jì)者若真的在書(shū)寫(xiě)工具上企圖給出某種暗示，以求迎合國(guó)內(nèi)球迷的求勝心理，似乎毫無(wú)必要。要知道，歐拉公式eπi+1=0，其數(shù)學(xué)內(nèi)涵，絲毫不比前一個(gè)公式遜色：在一個(gè)簡(jiǎn)短的式子中，把數(shù)學(xué)中最常用的5個(gè)數(shù)e（自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.718281828…也是一個(gè)無(wú)理數(shù)）、π（圓周率）、i（虛數(shù)單位）、1、0連接起來(lái)，該公式被評(píng)為“最美的數(shù)學(xué)公式”。只不過(guò)，要給廣大球迷順便科普一下歐拉公式，好像沒(méi)那么容易。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）