如何培養(yǎng)初中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力

蔡正全

【摘 要】本論文探討了在新課標(biāo)下如何培養(yǎng)初中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。在新課標(biāo)下如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，是全面提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。

【關(guān)鍵詞】培養(yǎng);初中學(xué)生;數(shù)學(xué);推理能力

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）提出了10個(gè)核心概念：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。課程改革要求：我們的數(shù)學(xué)教學(xué)要徹底摒棄傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單記憶、移植與運(yùn)用，而要讓學(xué)生在獲取新知識(shí)的過(guò)程中應(yīng)用推理，積極思考，反復(fù)體驗(yàn)，不斷感悟，從而把握知識(shí)的來(lái)龍去脈與內(nèi)在關(guān)聯(lián)，形成自我對(duì)數(shù)學(xué)新知的個(gè)性化理解，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”的實(shí)現(xiàn)提供條件。推理是由一個(gè)判斷或多個(gè)判斷推出一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程。推理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理，具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)對(duì)發(fā)展推理能力的作用，人們?cè)缫颜J(rèn)同并深信不疑。在整個(gè)義務(wù)教育階段，對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是內(nèi)容學(xué)習(xí)和目標(biāo)達(dá)成的一條主線，也是一個(gè)逐漸提升的長(zhǎng)期過(guò)程。在新課標(biāo)下如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，是全面提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵，那么怎樣達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力的目標(biāo)呢？

一、激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣

興趣是人們力求認(rèn)識(shí)事物和探求知識(shí)的心理傾向，它能激發(fā)和引導(dǎo)人們?cè)谒枷敫星楹鸵庵旧先ヌ剿鞲鞣N事物的底蘊(yùn)，直接影響一個(gè)人工作效力和智力的發(fā)揮?？茖W(xué)研究表明：一個(gè)人做好感興趣的工作，他的全部才能可發(fā)揮80%以上;做不感興趣的工作， 能力發(fā)揮20%， 由此可見(jiàn)濃厚興趣的重要性。愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“興趣是最好的老師”。只有學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力才能事半功倍。結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，介紹數(shù)學(xué)在現(xiàn)代化建設(shè)中的地位和作用，介紹學(xué)好數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的巨大作用，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)好數(shù)學(xué)既是發(fā)展的需要，又是現(xiàn)實(shí)的需要。

在教學(xué)中應(yīng)該熱愛(ài)自己的學(xué)生，用愛(ài)心去教化他們，縮短師生間的距離，讓學(xué)生感到你是他們的朋友。教學(xué)中使學(xué)生感到輕松愉快，感情親切，使師生感情進(jìn)一步融洽。良好的師生關(guān)系是一堂課的關(guān)鍵，有利于學(xué)生獲得最大限度的進(jìn)步和發(fā)展。數(shù)學(xué)多為抽象、枯燥的數(shù)字符號(hào)，學(xué)生學(xué)起來(lái)感覺(jué)無(wú)味，這也會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因而在教學(xué)中，教師應(yīng)該盡量將書(shū)本上的知識(shí)加以研究使之變?yōu)樯鷦?dòng)有趣的問(wèn)題。教學(xué)中要放手引導(dǎo)學(xué)生高度參與教學(xué)活動(dòng)，讓他們“夠一夠”后能品嘗到擷取知識(shí)“果實(shí)”的樂(lè)趣和獲得成功的愉快，通過(guò)多提問(wèn)、板演、討論等多種方法向?qū)W生提供體驗(yàn)這種愉快心情的機(jī)會(huì)。將數(shù)學(xué)史料適時(shí)溶于教學(xué)中，用生動(dòng)的事例及故事激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

二、明確推理論證的重要性

在小學(xué)階段學(xué)數(shù)學(xué)，由于自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和年齡限制，采取觀察、測(cè)量、實(shí)驗(yàn)等方法，到了初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)光有觀察是不夠的，因?yàn)閺挠^察得到的認(rèn)識(shí)是初步的，往往不全面、不深入。例如：我們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)里觀察過(guò)一些三角形三個(gè)內(nèi)角的和，得到“三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”的結(jié)論，那么是不是所有的三角形都是這樣呢？為什么每個(gè)三角形三個(gè)角的和就必然是180°呢？只用觀察的方法就不夠了，而要在觀察的基礎(chǔ)上，一步一步有理有據(jù)地說(shuō)明理由，這就是推理，從而說(shuō)明了推理的重要性。只有經(jīng)過(guò)推理才能使我們從觀察試驗(yàn)得到的知識(shí)更全面、更深入，而且還可以進(jìn)一步得到新的知識(shí)。

三、樹(shù)立學(xué)生學(xué)好推理論證的信心

因?yàn)橥评碚撟C的過(guò)程就是證明，在初中一提到證明，學(xué)生就聯(lián)系到幾何，對(duì)于證明，學(xué)生感到不知所措，因?yàn)樵谛W(xué)數(shù)學(xué)中，接觸的是計(jì)算題、問(wèn)答題，好像沒(méi)有證明題。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者首先告訴學(xué)生，別擔(dān)心，其實(shí)你們小學(xué)計(jì)算題中也包括證明。例如：計(jì)算+=？，學(xué)生都知道等于=，筆者接著問(wèn)學(xué)生，為什么等于呢？學(xué)生答出利用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和同分母分?jǐn)?shù)相加所得，既然你們能說(shuō)出其中的理由，就說(shuō)明了你們?cè)谛W(xué)已經(jīng)具有一定的推理能力。另外 ，告訴學(xué)生，證明題有時(shí)比計(jì)算題更具一定的方向性，因?yàn)橛?jì)算題只有條件沒(méi)有結(jié)果，而證明題既有條件，又有結(jié)論，只不過(guò)要你說(shuō)出如何從條件到結(jié)論的理由罷了！

四、注意培養(yǎng)的階段性

推理能力的培養(yǎng)，不是一天、兩天就能辦到的，是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，因而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別在幾何教學(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)的階段性。如第一階段只要求學(xué)生回答是不是，而不要求說(shuō)明道理;第二階段只回答一個(gè)根據(jù)的問(wèn)題（根據(jù)某個(gè)公理或定理）;第三階段要求學(xué)生先用文字語(yǔ)言敘述推理過(guò)程，再對(duì)照翻譯成使用符號(hào)推理的格式;第四階段要求學(xué)生會(huì)進(jìn)行一兩步推理，會(huì)寫出簡(jiǎn)單命題的已知和求證;第五階段對(duì)學(xué)生進(jìn)行證明的正規(guī)訓(xùn)練。只有這樣才能逐步地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

五、注意所學(xué)知識(shí)的比較和歸納

因?yàn)橥评磉^(guò)程就是一個(gè)論證過(guò)程， 它必須要有理論依據(jù)，而數(shù)學(xué)推理論證的依據(jù)是已知條件和學(xué)生已學(xué)過(guò)的定義、定理、公理等。這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中善于總結(jié)和歸納，如果學(xué)生不歸納總結(jié)，學(xué)生所學(xué)的知識(shí)是松散的、零碎的，沒(méi)有形成網(wǎng)絡(luò)化，這就給推理論證帶來(lái)了一定的困難。在平時(shí)的教學(xué)中，每學(xué)一節(jié)、一章，筆者都讓學(xué)生前后聯(lián)系，分門別類進(jìn)行歸納、總結(jié)和比較。另外，對(duì)于一些證明方法，要求學(xué)生進(jìn)行歸納、總結(jié)。例如：證兩條線段相等，證兩條直線平行，證兩角相等，證兩線垂直有哪些方法等等。

六、注意教師的示范性

在培養(yǎng)學(xué)生的推理論證方面，注意教師的示范性，具體表現(xiàn)在：講證明題時(shí)，教師一方面要告訴學(xué)生如何去分析，要求學(xué)生先看結(jié)論，再看條件，這樣在實(shí)際做題時(shí)，就能快速抓住要害。例如：求證有一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，在具體證明時(shí)，學(xué)生往往先看條件，后看結(jié)論，導(dǎo)致審題不清，錯(cuò)誤地認(rèn)為證明兩個(gè)小的直角三角形全等，如果從后面結(jié)論入手，就不會(huì)出現(xiàn)上述錯(cuò)誤，另外，教師在板書(shū)證明格式時(shí)要有條理性，這樣有助于學(xué)生推理能力的形成。endprint

七、教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生積極思考，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性

教師在教學(xué)中的作用是傳授知識(shí)、解除疑惑。教師在教學(xué)中應(yīng)與學(xué)生平等相處，關(guān)愛(ài)學(xué)生，和學(xué)生打成一片。這樣學(xué)生才敢親近你，把他學(xué)習(xí)中的不足與不懂告訴你，你才能及時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，這樣，教師才能做到及時(shí)解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑。在證明題的教學(xué)中，筆者不僅教會(huì)學(xué)生某道題或某類題的證明， 更是注重培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，一個(gè)題目寫出后，先要求學(xué)生思考幾分鐘，這樣就這幾分鐘，成績(jī)好的學(xué)生，可能將問(wèn)題從整體解決，中等學(xué)生，對(duì)問(wèn)題某一部分有一基本了解， 起碼對(duì)某一問(wèn)題有一些建設(shè)性的認(rèn)識(shí)，基礎(chǔ)較差的學(xué)生，盡管沒(méi)有形成什么有價(jià)值的認(rèn)識(shí)，但至少精力集中，對(duì)問(wèn)題的信息認(rèn)識(shí)比較完全。長(zhǎng)此以往，學(xué)生的推理能力得到了鍛煉和提高。

八、批改學(xué)生作業(yè)時(shí)，注意學(xué)生推理論證的正確性

批改學(xué)生作業(yè)時(shí)，應(yīng)逐題逐步進(jìn)行精批細(xì)改，這樣一方面可以從中發(fā)現(xiàn)一些錯(cuò)誤，促使教師改進(jìn)教學(xué)方法;另一方面可能從中發(fā)現(xiàn)一些好的論證方法。教師把這些好的論證方法摘抄下來(lái)，再次講給學(xué)生聽(tīng)，這不是一個(gè)很好的一題多解的例子嗎？這樣做有利于訓(xùn)練學(xué)生的推理能力。

九、帶領(lǐng)學(xué)生“找規(guī)律”

每年的中考，各省市都會(huì)出現(xiàn)“找規(guī)律”的題型，這其實(shí)也就是推理的應(yīng)用。

如例1、有一串單項(xiàng)式：-x、2x2、-3x3、4x4、……-19x19、20x20

（1）你能說(shuō)出它們的規(guī)律是什么嗎？

（2）寫出第n個(gè)，第（n+1）個(gè)單項(xiàng)式。

例2、觀察下面的幾個(gè)算式：

1+2+1=4

1+2+3+2+1=9

1+2+3+4+3+2+1=16

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25^

根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)你直接寫出下面式子的結(jié)果。

1+2+3+……+99+100+99+……+3+2+1=____。

以上類似問(wèn)題的解決都是通過(guò)觀察、分析、猜想再不斷驗(yàn)證，最后解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的推理能力。

十、鼓勵(lì)學(xué)生象數(shù)學(xué)家一樣地提出猜想

G·波利亞曾指出：數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程是與其他知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣的，在證明一個(gè)定理前，你先得猜想這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全完全做出詳細(xì)的證明之前，你先得猜想證明的思路，你要先把觀察到的結(jié)果加以綜合，然后加以類比，你得一次又一次地嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性成果是論證推理即證明，但這個(gè)證明是通過(guò)推理，通過(guò)猜想而發(fā)現(xiàn)的。

在證明一個(gè)定理之前，先得猜想、發(fā)現(xiàn)一個(gè)命題的內(nèi)容，在完全作出證明之前，先得不斷檢驗(yàn)、完善、修改所提出的猜想。在這一系列的過(guò)程中，需要充分運(yùn)用的是推理，推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)——猜想”，牛頓早就說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”。先猜后證——這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道。在解決問(wèn)題時(shí)，推理的的特征是不按邏輯程序去思考，但實(shí)際上是學(xué)生把自己的經(jīng)驗(yàn)與邏輯推理的方法有機(jī)地整合進(jìn)來(lái)的一種跳躍性的表現(xiàn)形式。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既要強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密性，結(jié)果的正確性，也要重視思維的直覺(jué)，探索性和發(fā)現(xiàn)性，即應(yīng)重視數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)。

例如：在七年級(jí)數(shù)學(xué)“冪的運(yùn)算”性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程中，就常常會(huì)通過(guò)猜想來(lái)論證問(wèn)題，解決問(wèn)題。

計(jì)算：22×23=2×2×2×2×2=25

103×104=10×10×10×10×10×10×10=107

a2×a3=a·a·a·a·a=a5

猜想：am·an =am+n

怎么證明呢？

再如：八年級(jí)數(shù)學(xué)“怎樣判定三角形全等”這節(jié)的教學(xué)中，三角形全等的判定方法都是利用以下方式得出：操作構(gòu)造問(wèn)題情景——提出問(wèn)題——解決問(wèn)題——得出結(jié)論。這樣通過(guò)設(shè)置n個(gè)密切相關(guān)而又各具特色的問(wèn)題，使得探究過(guò)程自然如一而又不落欲套，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力。

學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)除以教材內(nèi)容為素材以外，還有很多活動(dòng)也能有效地發(fā)展學(xué)生的推理能力。例如：在勾股定理的教學(xué)中設(shè)計(jì)在方格紙上通過(guò)計(jì)算面積的方法探索勾股定理活動(dòng)，在問(wèn)題設(shè)置上鼓勵(lì)學(xué)生充分經(jīng)歷這一觀察、歸納、猜想的過(guò)程，嘗試求出三個(gè)正方形的面積，比較這三個(gè)正方形的面積，猜想得到三個(gè)正方形面積的關(guān)系。初步發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊存在的關(guān)系，再通過(guò)上述過(guò)程歸納出猜想，在學(xué)生動(dòng)手做一做，試一試，想一想的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的推理能力。又如：在學(xué)習(xí)“由邊長(zhǎng)判定直角三角形”時(shí)，設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)：通過(guò)選擇特定長(zhǎng)度的繩子圍成三角形，然后計(jì)算長(zhǎng)度，度量角度，而后再取不同長(zhǎng)度的繩子圍成另一種特定邊長(zhǎng)的三角形，重復(fù)上面的步驟;這就是實(shí)驗(yàn)和問(wèn)題有明顯的“勾股”背景。這個(gè)實(shí)驗(yàn)從數(shù)和形兩方面得到了直觀印象，從而形成了數(shù)學(xué)思維，從潛移默化中培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力。

總之，面對(duì)新課程的挑戰(zhàn)，我們要努力營(yíng)造和諧的氛圍，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與的興趣，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)主動(dòng)參與的條件，讓學(xué)生真正地參與到知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程中，把數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各個(gè)具體環(huán)節(jié)中，從而達(dá)到學(xué)生整體素質(zhì)的全面提高，為學(xué)生的終生發(fā)展打下良好的基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012

[2]G·波利亞.怎樣解題——數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌[M] 上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?002endprint