關(guān)于矩陣特征值理論的教學(xué)新設(shè)計(jì)

鄧　勇

（喀什大學(xué)　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆　喀什　844006）

關(guān)于矩陣特征值理論的教學(xué)新設(shè)計(jì)

鄧勇

（喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什844006）

基于現(xiàn)行高等代數(shù)教材中關(guān)于矩陣特征值理論的行列式分析法，以Sheldon Axler的教材Linear Algebra Done Right為藍(lán)本，介紹了矩陣特征值理論的非行列式觀點(diǎn)，修改或重寫(xiě)了部分定理和證明.這種不使用行列式的簡(jiǎn)單證明不僅直觀，而且開(kāi)辟了一條通往高等代數(shù)主要目標(biāo)——線性算子結(jié)構(gòu)的新途徑.

矩陣；特征值；行列式；特征子空間；教學(xué)設(shè)計(jì)

1　引　言

近幾年，圍繞高等代數(shù)課程的教學(xué)改革，許多學(xué)者都提出要加強(qiáng)高等代數(shù)與幾何融合、推行問(wèn)題型、體驗(yàn)式教學(xué)模式和堅(jiān)持并加強(qiáng)教學(xué)工作的再創(chuàng)造性等教改新觀點(diǎn).其中，文獻(xiàn)[1～3]緊扣幾何為代數(shù)提供直觀背景，代數(shù)為幾何提供研究方法，論述了高等代數(shù)與解析幾何課程一體化教學(xué)過(guò)程中的若干教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，主張?jiān)陉P(guān)注代數(shù)思維的同時(shí)，突出幾何直觀教學(xué)來(lái)幫助學(xué)生理解和掌握抽象的代數(shù)概念和理論；文獻(xiàn)[4]結(jié)合作者的教學(xué)實(shí)踐，提出從內(nèi)容與結(jié)構(gòu)上對(duì)高等代數(shù)教材進(jìn)行改革的設(shè)想；文獻(xiàn)[5～6]立足于提升學(xué)生在獨(dú)立的主動(dòng)思考和實(shí)踐研究過(guò)程中培養(yǎng)科學(xué)思維、嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)及創(chuàng)新能力，倡導(dǎo)“問(wèn)題探究——學(xué)生主體”和“教學(xué)雙中心”、“過(guò)程結(jié)果并重”的教學(xué)理念，并進(jìn)行了一些大膽的有益嘗試，效果明顯.基于這些觀點(diǎn)，近30年來(lái)，國(guó)內(nèi)陸續(xù)出版了許多比較經(jīng)典的高等代數(shù)教材.如，北京大學(xué)丘維聲編著的《高等代數(shù)》；中國(guó)科技大學(xué)李炯生、查建國(guó)編著的《線性代數(shù)》；復(fù)旦大學(xué)姚慕生編著的《高等代數(shù)學(xué)》和清華大學(xué)張賢科編著的《高等代數(shù)》等.這些教材都比較全面地論述了矩陣?yán)碚摵途€性空間及其變換理論，而且表述形式非?，F(xiàn)代化，反映出的核心觀點(diǎn)就是強(qiáng)調(diào)高等代數(shù)與幾何的融合，非常有見(jiàn)地[7].然而，在闡述矩陣的特征值理論時(shí)，它們卻毫無(wú)例外地都以行列式為工具.這些教材為何如此處理，難道矩陣的特征值理論非要借助行列式嗎？美國(guó)數(shù)學(xué)教授Sheldon Axler在1994年發(fā)表文章宣稱“Down with determinants！”具體明白地表達(dá)了“反行列式”的革命思想.他的理由是行列式難理解、不直觀，且是在缺乏動(dòng)機(jī)的情況下被定義出來(lái)的.研究者對(duì)此頗有同感，因?yàn)榫仃囂卣髦道碚摰男纬刹⒎蔷売谛辛惺?，所以要使學(xué)生正確理解知識(shí)的形成過(guò)程，這種徹底拋開(kāi)行列式的教學(xué)觀點(diǎn)應(yīng)該被提倡.

2　新教學(xué)設(shè)計(jì)的線路

矩陣的特征值理論必須圍繞5個(gè)方面的基本問(wèn)題展開(kāi)：（Ⅰ）任意方陣A必有一特征值λ；（Ⅱ）方陣A的相異特征值個(gè)數(shù)小于等于n，即m≤n；（Ⅲ）確定特征值jλ的代數(shù)重?cái)?shù)βj；（Ⅳ）任意特征值λj的幾何重?cái)?shù)不大于其代數(shù)重?cái)?shù)；（Ⅴ）定義特征多項(xiàng)式.

2.1特征分析的行列式法回顧

2.2特征分析的非行列式法設(shè)計(jì)

描述線性算子的結(jié)構(gòu)是高等代數(shù)的中心任務(wù)之一.下面對(duì)矩陣特征值理論5個(gè)方面問(wèn)題的基本闡述均不使用行列式，由此也開(kāi)辟了一條理解線性算子結(jié)構(gòu)的新途徑.

第一，回答問(wèn)題（Ⅰ）.為此，需先證明定理1，然后將定理1中的不變子空間X替換為后，實(shí)際上就回答了問(wèn)題（Ⅰ）.

令s是使cs≠0的最大下標(biāo)，顯然0＜s≤r.以ci為系數(shù)構(gòu)造一個(gè)r次多項(xiàng)式并分解因式，設(shè)為

上式說(shuō)明，等號(hào)右邊的矩陣乘法算式中至少有一個(gè)μj和某個(gè)向量v≠0滿足(A-μJI)v=0.換句話說(shuō)，A必定有一個(gè)特征向量v∈X對(duì)應(yīng)于特征值μj.

第二，回答問(wèn)題（Ⅱ）.同樣，問(wèn)題（Ⅱ）的解決也是建立在如下定理2基礎(chǔ)之上的.

定理2對(duì)應(yīng)相異特征值λ1,λ2,…,λm的特征向量x1，…， xm必定線性無(wú)關(guān)[9].

因?yàn)閷?duì)應(yīng)于相異特征值λ1,λ2,…,λm的特征向量xj∈□n, (j=1,…,m)線性無(wú)關(guān)，而線性無(wú)關(guān)的n維向量總數(shù)不大于n，所以相異特征值總數(shù)m不大于n.這就回答了問(wèn)題（Ⅱ）.

第三，回答問(wèn)題（Ⅲ）.問(wèn)題（Ⅲ）看似簡(jiǎn)單，其實(shí)不然.它不僅需要定義廣義特征向量，還需討論其性質(zhì)特征.

定義1向量x≠0稱為對(duì)應(yīng)于特征值λ的廣義特征向量，如果(A-λI)kx=0成立.其中k為滿足此式的最小正整數(shù)，稱為指標(biāo).特別地，當(dāng)k=1時(shí)，廣義特征向量即為一般特征向量.

如同特征向量構(gòu)成特征子空間一樣，廣義特征向量與零向量所形成的集合N(A-λI)k也是□n的一個(gè)子空間，稱為廣義特征子空間[9].之所以不考慮k＞n的情況，是因?yàn)椋?/p>

定理3若λ為n階方陣A的一個(gè)特征值，則N(A -λI )k=N(A-λI )n.

證明設(shè)x≠0是對(duì)應(yīng)于λ的（指標(biāo)為k）廣義特征向量.運(yùn)用處理問(wèn)題（Ⅰ）的相同手法，可以證明當(dāng)(A-λI)kx=0時(shí)，{x, (A-λI)x, …, (A-λI)k-1x}是一線性無(wú)關(guān)向量組.于是，必有k≤n.考慮線性組合式

等號(hào)兩邊同乘(A-λI)k-1，并利用已知條件可得推出等號(hào)兩邊同乘(A-λI)k-2可得又可推出.連續(xù)運(yùn)用這種方式，最終可證得

定義2特征值λj的廣義特征向量組的維數(shù)稱為其代數(shù)重?cái)?shù)βj，即

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定理6子空間N(A-λI)n僅存在唯一的特征值λ.

證明設(shè)0≠x∈N( A-λI)n.若λ≠λ＇且Ax=λ＇x，則因此，但因此矛盾！故

既然廣義特征子空間僅存在唯一的特征值，由此可推知對(duì)應(yīng)于相異特征值的廣義特征子空間互不相交.進(jìn)而對(duì)應(yīng)于相異特征值的廣義特征向量必線性無(wú)關(guān).這個(gè)結(jié)果是定理2的自然推廣.

進(jìn)而有

又因

第四，回答問(wèn)題（Ⅳ）.由N(A -λI)?N(A -λI )n可推出對(duì)應(yīng)于特征值λ的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)必少于線性無(wú)關(guān)的廣義特征向量個(gè)數(shù).而對(duì)應(yīng)λ的幾何重?cái)?shù)就是線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)，代數(shù)重?cái)?shù)則等于線性無(wú)關(guān)廣義特征向量的總數(shù).因此，特征值λ的幾何重?cái)?shù)必不大于其代數(shù)重?cái)?shù).

第五，回答問(wèn)題（Ⅴ）.根據(jù)上面討論，一個(gè)n階方陣A的特征多項(xiàng)式可定義為p(t)=(t -λ)β1…(t -λ)βm.值得注意的是，這里特征多項(xiàng)式誕生的時(shí)間節(jié)點(diǎn)剛好與用行列式定義特征多項(xiàng)式相反.即先說(shuō)明A有n個(gè)特征值（含重?cái)?shù)），然后才根據(jù)這個(gè)事實(shí)定義了特征多項(xiàng)式.顯然，這才符合思維的邏輯順序規(guī)律.

3　結(jié)　語(yǔ)

以行列式為基礎(chǔ)的特征分析法以代數(shù)為導(dǎo)向，而非行列式的特征分析法卻以幾何（特征空間）為導(dǎo)向.上述研究提倡的非行列式的特征分析法不僅更清晰簡(jiǎn)單，而且能提供給學(xué)生更多的見(jiàn)識(shí).為何現(xiàn)行的多數(shù)教科書(shū)仍然采用行列式方法來(lái)發(fā)展矩陣特征值理論呢？初次接觸行列式的人多少對(duì)它詭異的計(jì)算方式感到困惑，想要掌握行列式的直觀意義確實(shí)不容易.但不論真懂假懂，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)行列式的計(jì)算及基本性質(zhì)還是生硬地接受了，這是既成的事實(shí).因此，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為用行列式定義特征多項(xiàng)式是最為直接簡(jiǎn)明的論述方式，而且對(duì)Axler提倡的“反行列式”方法卻不甚了解.由于教材的編寫(xiě)要充分考慮學(xué)生的知識(shí)背景與興趣，現(xiàn)行絕大多數(shù)教材還是選擇了利用行列式方法來(lái)發(fā)展矩陣的特征值理論.為有效彌補(bǔ)教學(xué)策略難以在課堂教學(xué)中完全實(shí)現(xiàn)的缺陷[10～13]，研究者結(jié)合個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)與體會(huì)，提出教學(xué)的幾點(diǎn)建議與各位同行和讀者商榷：一是在課堂教學(xué)中，應(yīng)注意結(jié)合幾何直觀來(lái)講授高度抽象的內(nèi)容；二是在傳授知識(shí)的過(guò)程中，為培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，應(yīng)注重思想與方法的提煉；三是在上習(xí)題課時(shí)，應(yīng)多給學(xué)生介紹相關(guān)的最新教研成果，以啟發(fā)他們系統(tǒng)地多維度思考問(wèn)題；四是應(yīng)增加課后作業(yè)量，以克服學(xué)生能動(dòng)口但不能動(dòng)手的問(wèn)題，因?yàn)閿?shù)學(xué)只能做著學(xué).

[1]郭民.高師院校代數(shù)與幾何課程改革的探索與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（4）：90–92.

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[3]郁金祥，劉錦萍.高等代數(shù)與解析幾何的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)[J].高等理科教育，2006，（3）：12–14.

[4]張志讓.線性代數(shù)教材內(nèi)容與體系結(jié)構(gòu)改革的思考與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，（2）：22–24.

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[7]莊瓦金.三十年來(lái)中國(guó)《高等代數(shù)》教材（教學(xué)）之管見(jiàn)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（3）：91–95.

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[13] 王玉行.高等代數(shù)教學(xué)對(duì)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)品質(zhì)的意義及教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（3）：92–94.

New Instructional Design on Matrix Eigenvalues Theory

DENG Yong
（College of Mathematics and Statistics, Kashgar University, Xinjiang Kashgar 844006, China）

The theory of matrix eigenvalues by determinant characteristic analysis in the current majority of advanced algebra textbooks was reviewed briefly, then based on linear algebra textbook “Linear Algebra Done Right” of Sheldon Axler, the non-determinant viewpoint of matrix eigenvalues analysis is described, and some proofs of theorems are modified or rewritten. This simple proof without determinant is not only more intuitive, and opens up a new way of understanding linear operator structure that leading to the main goal of advanced algebra.

matrix; eigenvalues; determinant; eigenvalue subspace; instructional design

G642

A

1004–9894（2015）06–0044–03

[責(zé)任編校：陳雋]

2018–08–10

新疆維吾爾自治區(qū)高?？蒲杏?jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目——體上依賴參數(shù)方程組的數(shù)值方法（XJEDU2008I31）；喀什師范學(xué)院教改立項(xiàng)課題——喀什師范學(xué)院2012年度精品課程“高等代數(shù)”建設(shè)（KJG200806）

鄧勇（1967—），男，四川遂寧人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．