英國(guó)數(shù)學(xué)英才選拔考試MAT綜合難度分析

盧建川，廖運(yùn)章，王華嬌，2

（1．廣州大學(xué)　數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東　廣州　510006；2．廣州大學(xué)附屬東江中學(xué)，廣東　河源　517500）

英國(guó)數(shù)學(xué)英才選拔考試MAT綜合難度分析

盧建川1，廖運(yùn)章1，王華嬌1，2

（1．廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510006；2．廣州大學(xué)附屬東江中學(xué)，廣東河源517500）

數(shù)學(xué)入學(xué)考試MAT是英國(guó)重要的數(shù)學(xué)英才選拔考試，是牛津等大學(xué)數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)及相關(guān)專業(yè)的入學(xué)條件之一，數(shù)學(xué)知識(shí)與方法相當(dāng)于A水平核心數(shù)學(xué)C1和C2模塊水平，但問題設(shè)計(jì)卻不同，重在考查考生理解A水平數(shù)學(xué)的深度而非廣度.利用鮑建生建立的綜合難度模型，從數(shù)學(xué)認(rèn)知、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量等維度，定量、定性地分析影響MAT試題難度因素及其特征，為中國(guó)培育數(shù)學(xué)英才提供借鑒.

英國(guó)；數(shù)學(xué)英才；MAT；綜合難度

數(shù)學(xué)入學(xué)考試MAT（Mathematics Admissions Test）與第六學(xué)期考試STEP（Sixth Term Examination Papers）是英國(guó)兩項(xiàng)久負(fù)盛名的數(shù)學(xué)英才選拔考試，分別是牛津大學(xué)和劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)及相關(guān)專業(yè)的入學(xué)條件之一（其他大學(xué)如帝國(guó)理工學(xué)院等也鼓勵(lì)申請(qǐng)者參加該兩項(xiàng)附加入學(xué)考試）.目前，國(guó)內(nèi)評(píng)介主要集中于后者STEP[1]，對(duì)前者M(jìn)AT鮮有關(guān)注.

1　MAT的基本信息

MAT是主要針對(duì)牛津大學(xué)本科數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)及相關(guān)專業(yè)申請(qǐng)者在面試前設(shè)置的紙筆附加考試，由劍橋大學(xué)招生考試服務(wù)中心（Admissions Testing Service, ATS）與牛津大學(xué)聯(lián)合管理，牛津大學(xué)負(fù)責(zé)命題、閱卷和評(píng)價(jià)考試有效性等，ATS承擔(dān)考生注冊(cè)、考試、試卷印刷分派回收等具體性事務(wù).MAT設(shè)立于1996年，時(shí)稱數(shù)學(xué)能力測(cè)試（Mathematics Aptitude Test），從2007年起，申請(qǐng)者可以在各自學(xué)校/學(xué)院或ATS任何一家全球開放中心參加考試，一般在每年10月末或11月初進(jìn)行，有關(guān)MAT考綱、樣題、歷年試題及解答等，可參考MAT官方網(wǎng)站提供的實(shí)時(shí)更新信息.從2013年開始（2014年入學(xué)），選讀帝國(guó)理工學(xué)院本科任何數(shù)學(xué)課程的申請(qǐng)者，都需參加MAT考試并取得一定的合格等級(jí).值得注意的是，牛津大學(xué)鼓勵(lì)申請(qǐng)者參加STEP考試，但不能替代MAT，帝國(guó)理工學(xué)院兩者都認(rèn)可[2].

1.1需MAT的專業(yè)/課程和合格成績(jī)

牛津大學(xué)（O33）需參加MAT的專業(yè)/課程分為3類：I類包括G100數(shù)學(xué)、GV15數(shù)學(xué)與哲學(xué)、GG13數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)，II類為GG14數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)，III類含G400計(jì)算機(jī)科學(xué)、IV15計(jì)算機(jī)科學(xué)與哲學(xué).

帝國(guó)理工學(xué)院（I50）要求MAT的專業(yè)/課程有：G100數(shù)學(xué)（3年制）、G103數(shù)學(xué)（4年制）、G125數(shù)學(xué)（純數(shù)學(xué)）、GG31數(shù)學(xué)、最優(yōu)化與統(tǒng)計(jì)學(xué)、G104數(shù)學(xué)（在歐洲1年）、G1F3數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)/數(shù)學(xué)物理、G102數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)、G1G3數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)、G1GH數(shù)學(xué)與金融統(tǒng)計(jì).

牛津大學(xué)2010—2014年數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)及相關(guān)專業(yè)的錄取人數(shù)與報(bào)考人數(shù)比依次是：264∶1540、261∶1321、252∶ 1289、263∶1394、270∶1672，年錄取率不超過20%.牛津大學(xué)2010—2014年MAT平均分/錄取最低分～最高分分別為49/61.4～69.3、50.3/63.3～71.3、52.1/63～68.2、44.8/54.2～60.6、48.4/63.1～71.5，最近5年全球年平均分在44～53分間波動(dòng)，錄取成績(jī)介于55～64分之間，2013年平均分最低，2012年平均分最高，歷年最高分不超過71.5，考慮到參加MAT的考生大多已參加A水平數(shù)學(xué)考試（相當(dāng)于中國(guó)高考）并取得優(yōu)秀成績(jī)，總體而言試題難度較大，著力于數(shù)學(xué)英才選拔.

1.2MAT試卷結(jié)構(gòu)

MAT考試時(shí)長(zhǎng)為2.5小時(shí)，全卷滿分100分，共7道大題.2007—2013年第1大題為選擇題，包含A～J共10小題，每小題4分，共40分.2014年起選擇題選項(xiàng)由4個(gè)變?yōu)?個(gè)，每小題有且僅有一個(gè)正確答案；第2～7大題為解答題，考生需根據(jù)申請(qǐng)專業(yè)選做其中的4題，每題15分，并寫出解題過程，多做或做其他專業(yè)的題不得分；牛津大學(xué)的I類專業(yè)/課程做1、2、3、4、5大題，II類做1、2、3、5、6大題，III類做1、2、5、6、7大題，帝國(guó)理工學(xué)院做1、2、3、4、5大題.考試不能使用計(jì)算器、公式表、詞典，考生是否修讀A水平進(jìn)階數(shù)學(xué)均可報(bào)考.

1.3MAT考試大綱

MAT考查所需的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，大致相當(dāng)于A水平核心數(shù)學(xué)C1、C2模塊的內(nèi)容范圍，但問題設(shè)計(jì)卻大不相同，重在考核考生對(duì)A水平數(shù)學(xué)的理解深度而不是知識(shí)廣度.表1為2007年啟用至今的MAT考試大綱[3].

表1　MAT考試大綱（2007年4月發(fā)布）

表1?。ɡm(xù)）　MAT考試大綱（2007年4月發(fā)布）

2　MAT試題的綜合難度評(píng)析

從MAT官方網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)顯示，2007—2014年MAT（1～5題）年平均得分率為411.5/800≈0.514（56.9+58.7+ 51.3+49.0+50.3+52.1+44.8+48.4=411.5），題目偏難.為析其原因，現(xiàn)利用鮑建生建立的綜合難度模型[4]，從數(shù)學(xué)認(rèn)知、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量等方面，定量、定性地分析影響MAT試題的難度因素及綜合難度的變化.

表2　MAT試題難度因素的量化指標(biāo)（2007—2013）

2.1數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的差異

2007—2013年MAT試題在數(shù)學(xué)認(rèn)知水平上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖1.可以看到，理解層次的試題居多，每年所占比例均處于較高水平，2012年最高達(dá)81.25%，2013年最低也達(dá)到31.25%.除2013年外，每年的理解層次百分比差別不大；識(shí)記水平試題，每年都處于10%～30%之間，2008年最多，2007年最少；探究水平試題，2013年比例最大，2007—2012年較為穩(wěn)定；只有2013年試題“識(shí)記→理解→探究”逐次上升，難度增加，其他則以理解為中心的正態(tài)型趨勢(shì).考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式等的記憶較少，理解運(yùn)用的較多，且每年都設(shè)有探究性、開放性試題考核數(shù)學(xué)思維，這是MAT試題在數(shù)學(xué)認(rèn)知水平上的基本特征.

圖1　2007—2013年MAT試題的數(shù)學(xué)認(rèn)知比較

2.2背景水平的差異

在背景因素上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2所示.無背景試題最多，均在80%～90%之間，所占百分比差異不大，每年在背景水平的4個(gè)層次上分布都比較穩(wěn)定.其中，以個(gè)人生活為主，科學(xué)情境試題共3道，公共生活試題迄今尚未出現(xiàn).反映出MAT試題考核數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的偏好，這與MAT重在選拔數(shù)學(xué)英才以進(jìn)一步學(xué)習(xí)大學(xué)高等數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的取向不無關(guān)系.

圖2　2007—2013年MAT試題的背景因素比較

2.3運(yùn)算水平的差異

在運(yùn)算水平上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖3所示.總體而言，無運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算、簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算、復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算4個(gè)層次上分布較為均勻，在15%～40%之間波動(dòng)，略顯上升趨勢(shì)，簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算和復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算試題較多，無運(yùn)算和數(shù)值運(yùn)算試題較少.2011年、2012年數(shù)值運(yùn)算低于10%，2010年、2013年復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算比重大且“無運(yùn)算→數(shù)值運(yùn)算→簡(jiǎn)單符號(hào)運(yùn)算→復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算”持續(xù)上升.

圖3　2007—2013年MAT試題的運(yùn)算水平比較

2.4推理水平的差異

在推理水平上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖4所示.每年試題在無推理、簡(jiǎn)單推理、復(fù)雜推理3個(gè)推理水平上的走勢(shì)是相似的，簡(jiǎn)單推理水平試題所占比例最大，但每年變化不大，在43%～55%之間波動(dòng)，復(fù)雜推理水平試題介于30%～45%之間，2013年復(fù)雜推理試題最多占50%，提升了試卷的整體難度.

圖4　2007—2013年MAT試題的推理水平比較

2.5知識(shí)含量水平的差異

在知識(shí)含量上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖5所示.從總體看，MAT試題每年在知識(shí)綜合水平的3個(gè)層次上的分布大致相似，都是單個(gè)知識(shí)點(diǎn)和兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)試題較多，除2008年外，這2個(gè)層次的試題每年分別在35%～45%、35%～50%之間波動(dòng)，2008年試題單個(gè)知識(shí)點(diǎn)所占比例最大，達(dá)60%以上，而2013年試題多個(gè)知識(shí)點(diǎn)最多，占31.25%.

圖5　2007—2013年MAT試題的知識(shí)含量比較

2.6綜合難度的差異

綜合數(shù)學(xué)認(rèn)知、背景、運(yùn)算、推理和知識(shí)含量5個(gè)難度因素，得到2007—2013年MAT試題的綜合難度雷達(dá)圖，見圖6.不難發(fā)現(xiàn)，這7年試題難度總體穩(wěn)定、稍有變化，推理、知識(shí)含量、背景因素變化小，加權(quán)平均值在推理2.1～2.4、知識(shí)含量1.5～1.8、背景1～1.3之間波動(dòng)，略有變化的是數(shù)學(xué)認(rèn)知與運(yùn)算因素，加權(quán)平均值介于數(shù)學(xué)認(rèn)知1.8～2.5、運(yùn)算2.3～3.0之間；數(shù)學(xué)認(rèn)知、運(yùn)算、推理3因素的加權(quán)平均值接近或高于2以上，說明試卷側(cè)重考查考生的數(shù)學(xué)探究能力、推理能力和運(yùn)算能力，知識(shí)含量平穩(wěn)、無背景試題是常態(tài)，這與MAT之目的——考查學(xué)生對(duì)核心數(shù)學(xué)的理解深度而非廣度相符；從年度看，無論是數(shù)學(xué)認(rèn)知、知識(shí)含量、推理還是運(yùn)算，2008年的加權(quán)平均值都較小，因此2008年是歷年試題難度最小的，相反2013年則最高，次之為2010年，2012年背景因素的加權(quán)平均值最高.

圖6　2007—2013年MAT試題的綜合難度比較

總而言之，MAT試題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)不多，背景單純，試題解答需具備一定的運(yùn)算技能，主要考查對(duì)數(shù)學(xué)理解的深度，重視數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)探究.決定試題難度的主要因素是數(shù)學(xué)認(rèn)知中的探究水平、推理中的復(fù)雜推理水平以及運(yùn)算中的復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算水平，這些恰恰是修讀大學(xué)STEM（科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)）課程所必需的.試題難度維持在0.45～0.50應(yīng)當(dāng)是MAT試題今后的命題趨勢(shì)，這也說明英國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)英才的數(shù)學(xué)要求越來越高.

3　結(jié)　語

近年來，英國(guó)學(xué)生在A水平數(shù)學(xué)考試中獲得A與*A成績(jī)呈上升趨勢(shì)，而在國(guó)際數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)PISA和TIMSS中卻裹足不前，設(shè)置數(shù)學(xué)入門附加考試就成為各一流大學(xué)選拔數(shù)學(xué)英才的初衷.MAT的重要亮點(diǎn)是根據(jù)大學(xué)數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)及相關(guān)專業(yè)的要求，有針對(duì)性地分層設(shè)計(jì)試題，既有各專業(yè)公共的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1、2、5題），又有不同專業(yè)分類作答的問題（3、4、6、7題），如數(shù)學(xué)與哲學(xué)需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯思維，因此設(shè)置第6題時(shí)主要以邏輯推理題為主（如判斷誰為說謊者），以考查學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力.

中國(guó)也有類似MAT的重點(diǎn)大學(xué)自主招生（數(shù)學(xué)）考試，但沒有專業(yè)針對(duì)性，最多分文理科進(jìn)行，缺乏公開透明、持續(xù)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)考綱，對(duì)歷屆試題也很少規(guī)范公開，不利于選拔數(shù)學(xué)英才，特別是目前取消數(shù)學(xué)奧林匹克獲獎(jiǎng)?wù)吒呖技臃终吆?，如何營(yíng)造正常的數(shù)學(xué)英才培育環(huán)境、激勵(lì)喜歡數(shù)學(xué)的未來專業(yè)數(shù)學(xué)工作者及其相關(guān)專業(yè)工作者；怎樣優(yōu)化中國(guó)現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材、使學(xué)生聚焦核心數(shù)學(xué)；如何在保證一定數(shù)學(xué)知識(shí)廣度前提下，著力提升數(shù)學(xué)英才理解數(shù)學(xué)的深度[6～12]；怎樣科學(xué)命制數(shù)學(xué)試題，合理控制其難度[13～18]，等等，MAT的做法不失為一個(gè)值得借鑒的范例.

[1]陳昂，任子朝.英國(guó)數(shù)學(xué)英才選拔考試——第六學(xué)期數(shù)學(xué)考試簡(jiǎn)介[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（4）：64-67.

[2]ATS. MAT [EB/OL]. http://www.admissionstestingservice.org/for-test-takers/mat/about-mat/, 2015.

[3]MAT. Syllabus [EB/OL]. https://www.maths.ox.ac.uk/study-here/undergraduate-study/maths-admissions-test, 2015.

[4]鮑建生.中英兩國(guó)初中數(shù)學(xué)期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002，（9）：48-52.

[5]王建磐，鮑建生.高中數(shù)學(xué)教材中例題的綜合難度的國(guó)際比較[J].全球教育展望，2014，（8）：48-52.

[6]王光明，宋金錦，佘文娟，等.建立中學(xué)數(shù)學(xué)英才教育的數(shù)學(xué)課程系統(tǒng)——2014年中學(xué)英才教育數(shù)學(xué)課程研討會(huì)議綜述[J].課程·教材·教法，2014，（5）：122-125.

[7]廖運(yùn)章.述評(píng)美國(guó)高中數(shù)學(xué)焦點(diǎn)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（1）：61-65.

[8]李亞玲，張英伯.數(shù)學(xué)英才教育的國(guó)際比較[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（2）：102.

[9]倪明，熊斌，夏海涵.俄羅斯高中課程改革的特色——數(shù)學(xué)課程普通教育與英才教育并舉[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（5）：12-16.

[10] 游安軍.也論中國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的教育性質(zhì)——與羅增儒先生商榷[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（1）：48-51.

[11] 游安軍.如何正確認(rèn)識(shí)“奧數(shù)”的教育價(jià)值[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（5）：69-71.

[12] 張英伯，李建華.英才教育之憂——英才教育的國(guó)際比較與數(shù)學(xué)課程[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（6）：1-4.

[13] 梅俊雷.數(shù)學(xué)試題中的數(shù)學(xué)化原則[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（5）：19-22.

[14] 葉晶，陳清華.基于內(nèi)外部表征的數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014，23（4）：92-95.

[15] 趙思林，翁凱慶.高考數(shù)學(xué)命題“能力立意”的問題與對(duì)策[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（4）：85-89.

[16] 任子朝，王蕾，朱乙藝，等.標(biāo)準(zhǔn)參照考試?yán)碚撛诟呖贾械膽?yīng)用——以H省2010—2012年高考理科數(shù)學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（3）：1-4.

[17] 宋玉靖，趙巧花.編制調(diào)查測(cè)試題時(shí)必須認(rèn)真對(duì)待的一些問題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（5）：95-97.

[18] 廖運(yùn)章.開放性數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的差異性研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（3）：34-38.

Review on Composite Difficulties of Mathematics Admissions Test in British Mathematical Talent
Recruitment Examination

LU Jian-chuan1, LIAO Yun-zhang1, WANG Hua-jiao1,2
(1. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;
2. The Affiliated Dongjiang Middle School of Guangzhou University, Guangdong Heyuan 517500, China)

The Mathematics Aptitude Test (MAT) is one of the British mathematical talent recruitment examination, it also is a pre-interview test for applicants to the University of Oxford’s undergraduate courses in Mathematics, Computer Science and their joint schools. The mathematical knowledge and techniques required to do the questions are taken from a syllabus roughly corresponding to the C1 and C2 modules from A-level maths, though the questions are set more variously than A-level questions. It aims to test the depth of mathematical understanding of a student in the fourth term of their A-levels (or equivalent) rather than a breadth of knowledge. This paper uses a composite difficulty model to quantitative and qualitative analyze the difficulty levels of the questions in MAT with respect to 5 factors: the problem context, the mathematical cognition, the computation complexity, the reasoning difficulty, and the topic coverage. The results may provide model for cultivating mathematical geniuses in our country. Key words: England; mathematical talent; Mathematics Admissions Test (MAT); composite difficulties

G633.6

A

1004–9894（2015）06–0031–04

[責(zé)任編校：張楠]

2015–08–09

廣東省高?！皠?chuàng)新強(qiáng)校工程”特色創(chuàng)新項(xiàng)目（教育科研類）——英國(guó)GCSE與GCE-AS/A數(shù)學(xué)“社會(huì)化一年多考”機(jī)制研究（2014GXJK058）；廣州市高等學(xué)校第六批教項(xiàng)目——基于卓越數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)的《數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)》課程改革與實(shí)踐研究（2014-4）；廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度課題——中小學(xué)幼兒園數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的國(guó)際比較研究（2013A012）

盧建川（1966—），男，廣東揭陽人，副教授，博士研究生，從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．廖運(yùn)章為本文通訊作者．