數(shù)學(xué)證明思維模型的建構(gòu)與應(yīng)用

數(shù)學(xué)證明思維模型的建立，表明了數(shù)學(xué)證明思維活動(dòng)的實(shí)質(zhì)性內(nèi)涵與組成環(huán)節(jié)，從而為數(shù)學(xué)證明的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一套可以參考的程序，增加教學(xué)的有效性。利用數(shù)學(xué)證明的教育資源可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用證據(jù)說(shuō)話的能力，這是生活在民主社會(huì)中的人必備的素質(zhì);可以促進(jìn)學(xué)生將適應(yīng)生存的“短時(shí)間的思考”轉(zhuǎn)化為實(shí)現(xiàn)自我、實(shí)現(xiàn)目的所需要思維基礎(chǔ)“長(zhǎng)時(shí)間的思考”的能力，為發(fā)揮學(xué)生的智力潛能提供了現(xiàn)實(shí)性。

數(shù)學(xué)證明模型 ?數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì) ?長(zhǎng)時(shí)間的思考

一、數(shù)學(xué)證明的內(nèi)涵與方式

關(guān)于“證明”的釋義，《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》將其界定為“用可靠的材料來(lái)表明或斷定人或事的真實(shí)性”。由此，我們可以將數(shù)學(xué)證明刻畫(huà)為：從真理性的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)、運(yùn)用演繹推理的形式說(shuō)服別人接受從命題的題設(shè)條件過(guò)渡到題斷結(jié)論的真實(shí)性的一種信念。演繹推理的形式只有在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，才被認(rèn)為是唯一有效的證明方式;其他情況下，證明過(guò)程大部分是以個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和接受權(quán)威的證實(shí)為基礎(chǔ)的。數(shù)學(xué)證明過(guò)程，是經(jīng)過(guò)主體的思維活動(dòng)，選擇合適的真理性的數(shù)學(xué)知識(shí)，把作為外在信息的題設(shè)條件中的雜亂無(wú)章的元素，通過(guò)演繹推理，組織成為具有因果關(guān)系序列結(jié)構(gòu)的題斷結(jié)論要求的過(guò)程。

外在于主體的客體信息，是由人類(lèi)心理已經(jīng)具有的觀念（源于真理性的知識(shí)或曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，提供給主體處理面臨新信息時(shí)的活動(dòng)意向或指令）而賦予了外在信息以知識(shí)結(jié)構(gòu)的意義，否則，客體就是無(wú)意義的“物自體”[1]。而這種賦予外在信息以意義的過(guò)程就是一系列的合情推理的心理活動(dòng)過(guò)程，將這些合情推理的真實(shí)性結(jié)論轉(zhuǎn)化為條分縷析的演繹推理及其表達(dá)的過(guò)程就構(gòu)成了數(shù)學(xué)證明。

二、數(shù)學(xué)證明思維模型建構(gòu)

在發(fā)生數(shù)學(xué)證明的思維活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)證明思路的信息元素序列結(jié)構(gòu)的本質(zhì)，勢(shì)必通過(guò)設(shè)法使題設(shè)條件元素組成正確率比較高的信息脈絡(luò)輪廓（與知識(shí)框架相比較）——元素序列結(jié)構(gòu)的雛形，借此信息脈絡(luò)輪廓的中介才能選擇出成功性比較高的數(shù)學(xué)知識(shí)（定義、公理或定理）組織信息，從而決定選擇與利用數(shù)學(xué)知識(shí)作為封裝信息的結(jié)構(gòu)框架（其實(shí)是知識(shí)結(jié)構(gòu)框架與信息輪廓的互相吸引與適應(yīng)的過(guò)程），生成有價(jià)值的信息結(jié)構(gòu)（類(lèi)似于主體所選用的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)）。

本研究試圖建立證明的思維模式，這一過(guò)程可以概略地?cái)⑹鰹椋菏紫?，主體從題設(shè)條件信息元素中選擇并確定出“支點(diǎn)信息”，選擇“支點(diǎn)信息”的心理活動(dòng)又是由外在信息與已經(jīng)內(nèi)化并保存在意識(shí)中的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的互相吸引、相互誘導(dǎo)、相互調(diào)整而獲得的;其次，基于“支點(diǎn)信息”，并在“支點(diǎn)信息”這一“凝聚核”的作用下，使外在諸多的外圍信息元素組織成一種脈絡(luò)輪廓;最后，由這種信息輪廓提示主體選擇數(shù)學(xué)知識(shí)框架來(lái)封裝題設(shè)條件的信息元素，獲得某種結(jié)構(gòu)，從而賦予題設(shè)條件信息以某種知識(shí)結(jié)構(gòu)的意義（如圖1所示[2]）。

從這一模型中可以看出，在分析題設(shè)條件信息元素伊始，主體不可能迅速確定地把握信息元素所能組成具有結(jié)論意義上的結(jié)構(gòu)，就勢(shì)必動(dòng)用自己的知識(shí)庫(kù)中的知識(shí)框架猜想信息元素可能具有某種結(jié)構(gòu)。依據(jù)信息的某個(gè)側(cè)面（“支點(diǎn)信息”）賦予“支點(diǎn)信息”決定的知識(shí)結(jié)構(gòu)，再將信息元素組織成具有知識(shí)結(jié)構(gòu)的意義，如果不成功，就會(huì)更換“支點(diǎn)信息”，再做一輪循環(huán)。在這一系列思維活動(dòng)環(huán)節(jié)中，一定離不開(kāi)猜想（即合情推理）的作用。因此，證明的思維活動(dòng)過(guò)程環(huán)節(jié)就是不斷地生成猜想（合情推理）與檢驗(yàn)猜想、證實(shí)或證否猜想，證實(shí)了就可以轉(zhuǎn)化為演繹推理，形成證明過(guò)程，證否就要更換“支點(diǎn)信息”，再生信息輪廓的又一輪循環(huán)。

三、例示數(shù)學(xué)證明思維模式在教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

教師產(chǎn)生合適的教學(xué)行為，并非完全從現(xiàn)代教育理念中演繹來(lái)的，而是重在觀照現(xiàn)代教育理論，分析具體的知識(shí)性質(zhì)特點(diǎn)，分析學(xué)生發(fā)生具體知識(shí)的心理活動(dòng)的特點(diǎn)中獲得的;從反思與分析自己的課堂教學(xué)行為的實(shí)踐中獲得的[3]。證明模式的建立為數(shù)學(xué)證明教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)教師優(yōu)化分析活動(dòng)的教學(xué)行為提供了方向。

數(shù)學(xué)教學(xué)行為構(gòu)成要素的基礎(chǔ)主要體現(xiàn)在互相關(guān)聯(lián)的三個(gè)側(cè)面：對(duì)要傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其連接中介組成序列的理解（“教材分析”），對(duì)學(xué)生萌發(fā)數(shù)學(xué)知識(shí)（環(huán)節(jié)及其連接中介）的心理環(huán)節(jié)（呈現(xiàn)的是觀念形態(tài)）及其過(guò)渡性中介的把握（“學(xué)情分析”），通過(guò)創(chuàng)造性工作找到這二者之間的聯(lián)系（“關(guān)聯(lián)分析”）。由此設(shè)計(jì)出合適的教學(xué)過(guò)程，使知識(shí)的環(huán)節(jié)及其連接中介適應(yīng)于學(xué)生發(fā)生知識(shí)的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)（觀念形態(tài)）及其過(guò)渡性中介的辨證運(yùn)動(dòng)過(guò)程。下面的框架圖（圖2[4]）是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的一般分析模型。

圖2 ?數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)框架圖

要發(fā)揮證明的思維模型的教育價(jià)值，就要教師在第三項(xiàng)“關(guān)聯(lián)分析”上做足功夫，而“關(guān)聯(lián)分析”效果如何取決于“學(xué)情分析”與“教材分析”的效果，因此，“三項(xiàng)分析”構(gòu)成了證明教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)證明思維活動(dòng)的“關(guān)聯(lián)分析”過(guò)程主要在于認(rèn)真研究學(xué)生選擇“支點(diǎn)信息”，確定知識(shí)框架，由知識(shí)框架把外圍信息組織成有序的邏輯環(huán)節(jié)序列，從而，貫通從題設(shè)條件到題斷結(jié)論的過(guò)程。學(xué)生正是在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)由這種過(guò)程將學(xué)生的“短時(shí)間的思考”方式轉(zhuǎn)化為“長(zhǎng)時(shí)間的思考”方式，發(fā)展一系列的思維品質(zhì)。證明思維模式建構(gòu)，為教學(xué)設(shè)計(jì)“三項(xiàng)分析”活動(dòng)的展開(kāi)提供了可以參考的程序序列。

例題：已知，如圖3，在矩形ABCD中，從點(diǎn)A向?qū)蔷€BD作垂線，P為垂足，從點(diǎn)P向BC，CD分別作垂線，垂足分別為E、F。求證：

①

圖3

教材分析：由數(shù)學(xué)證明思維模式可知，證明過(guò)程就是運(yùn)用已經(jīng)掌握了的數(shù)學(xué)知識(shí)框架將題設(shè)條件組織成題斷結(jié)論的過(guò)程。如何選擇知識(shí)框架構(gòu)成探究證明思路可否實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它取決于“支點(diǎn)信息”的選擇，本例的“支點(diǎn)信息”應(yīng)該是什么？由于題設(shè)條件是如圖3的一個(gè)圖形，線條多，組成了龐雜的系統(tǒng)，難于從題設(shè)條件中確定“支點(diǎn)信息”。于是，我們轉(zhuǎn)而從結(jié)論式①出發(fā)，即將結(jié)論式①作為“支點(diǎn)信息”來(lái)進(jìn)行試探，那么，它所決定的知識(shí)框架該是什么？通過(guò)聯(lián)想，檢索我們已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，由sin2？琢+cos2？琢=1②的形式與等式①的形式具有相似性，可以將其確定為封裝題設(shè)條件信息的知識(shí)框架加以試探。下面，我們只需檢驗(yàn)，由題設(shè)條件的相關(guān)信息的設(shè)定，從等式①可以過(guò)渡到等式②就可以了。

學(xué)情分析：“教材分析”由證明思維模式出發(fā)，可以找到一條從題設(shè)到題斷的可能通路，這條思路確保教師可以順利地利用一種辦法解決這道題。但是，教師的想法與論證能否轉(zhuǎn)化為學(xué)生發(fā)生證明思路的有序的心理活動(dòng)過(guò)程呢？這就需要教師進(jìn)行“學(xué)情分析”，即從學(xué)生心理活動(dòng)的角度來(lái)考察證明思路發(fā)生的可能性，從而在教學(xué)中進(jìn)行層層鋪墊，啟導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)證明思路。發(fā)生這條思路具有兩個(gè)方面的疑難：其一，由“支點(diǎn)信息”①?zèng)Q定知識(shí)框架②的選擇，這是學(xué)生思維活動(dòng)的疑難;其二，實(shí)現(xiàn)從“支點(diǎn)信息”①?zèng)Q定知識(shí)框架②的學(xué)生思維活動(dòng)的可能性，這是學(xué)生獲得技術(shù)性手段的疑難，即技能技巧的疑難。兩項(xiàng)疑難對(duì)于一般學(xué)生來(lái)說(shuō)，都必須要經(jīng)過(guò)“長(zhǎng)時(shí)間的思考”才能解決，正因如此，數(shù)學(xué)證明可以嚴(yán)格地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化多方面思維品質(zhì)。

關(guān)聯(lián)分析：從“教材分析”與“學(xué)情分析”所得到了的結(jié)論中找出溝通這兩項(xiàng)分析所得到結(jié)論的元素，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。下面是筆者證明這道題的真實(shí)課堂教學(xué)過(guò)程實(shí)錄（其中，省略號(hào)表示學(xué)生思維的中斷處）。

師：題設(shè)條件中具有幾個(gè)直角三角形，并且這些直角三角形都相似，因此，可以得到許多比例式，也可以得到許多相等的角，但是，并不能明確地知道我們可以選擇與組合哪些條件，從而可以過(guò)渡到結(jié)論式①。怎么辦？（注：提示學(xué)生選擇“支點(diǎn)信息”）

生1：我們可以從結(jié)論式①反過(guò)來(lái)求索條件（注：學(xué)生確定了“支點(diǎn)信息”），即用分析法試探，……

師：一個(gè)很好的想法，如何試探？

生2：將結(jié)論①轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知的數(shù)學(xué)公式：sin2？琢+cos2？琢=1②（注：從“支點(diǎn)信息”確定知識(shí)框架，解決了確定知識(shí)框架的疑難），再?gòu)囊阎獥l件出發(fā)，獲得公式②，……

師：又是一個(gè)很好的想法，如何從題設(shè)條件出發(fā)，構(gòu)造公式②？

生3：我們假設(shè)

師：③、④成立嗎？怎么辦？

生4：重點(diǎn)研究等式③，由于③左邊是兩個(gè)線段之比，右邊是一個(gè)數(shù)的三次方，兩邊的指數(shù)不和諧一致，于是，考慮將左邊也變成一個(gè)數(shù)的三次方的形式，首先把左邊變成三個(gè)數(shù)積的形式：……

師：生4提出了非常合理的想法，可以從圖3中選擇出線段x，y，從而得到等式⑥嗎？

生5：我想這樣選擇線段x，y：在Rt△ABP中，知等式⑦顯然成立（注：解決了從題設(shè)條件信息到知識(shí)框架途徑的疑難），從而等式③成立，同理，等式④成立，于是，等式①成立。

這種教學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程，旨在通過(guò)啟發(fā)法，促進(jìn)學(xué)生自己探究問(wèn)題解決的思路活動(dòng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)不是經(jīng)過(guò)直接授受、機(jī)械記憶的方式發(fā)生的，教師通過(guò)自己的探究活動(dòng)，將數(shù)學(xué)知識(shí)融入主觀意向的因素，進(jìn)而由這種意向的作用產(chǎn)生相應(yīng)的“數(shù)學(xué)觀念”，形成相應(yīng)的假設(shè)，教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)想方設(shè)法使這些數(shù)學(xué)觀念在教師與學(xué)生之間、在主觀與客觀之間相交相融，甚至移植。教師將探究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)所生成的情感中裹夾著的“數(shù)學(xué)觀念”先在地移入學(xué)生的思維框架中。使學(xué)生在發(fā)生某特定的數(shù)學(xué)知識(shí)以前，他們的思維結(jié)構(gòu)中先在地建立奧蘇貝爾意義上的“錨基”，或維果斯基意義上的“最近發(fā)展區(qū)”，使學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生找到相應(yīng)的憑依。

從這個(gè)例子中可以看出，這些理念的實(shí)現(xiàn)，需要教師的三項(xiàng)分析能力。證明思維模式提供教師“教材分析”與“學(xué)情分析”的心理意向，由于證明的過(guò)程就是尋找知識(shí)框架封裝題設(shè)信息、形成題設(shè)信息元素的序列、構(gòu)成邏輯因果關(guān)系的過(guò)程，而知識(shí)框架的選擇取決于“支點(diǎn)信息”的確定。這個(gè)思維模型對(duì)這兩點(diǎn)揭露無(wú)疑，為教師的“三項(xiàng)分析”提供了非常明確的程序，從而為教師的有效教學(xué)設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。這是它提供了教學(xué)設(shè)計(jì)的價(jià)值所在。

數(shù)學(xué)證明思維模型的建立，使我們發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)證明思維活動(dòng)的實(shí)質(zhì)性內(nèi)涵與組成環(huán)節(jié)，從而為教師關(guān)于數(shù)學(xué)證明的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一套可以參考的程序，增加教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性。利用數(shù)學(xué)證明的教育資源可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用證據(jù)說(shuō)話的能力，這是生活在民主社會(huì)中的人必備的素質(zhì);可以促進(jìn)學(xué)生將適應(yīng)生存的“短時(shí)間的思考”轉(zhuǎn)化為實(shí)現(xiàn)自我實(shí)現(xiàn)目的所需要思維基礎(chǔ)“長(zhǎng)時(shí)間的思考”的能力，為發(fā)揮學(xué)生的智力潛能作出貢獻(xiàn)。

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參考文獻(xiàn)

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[作者：張昆（1965-），男，安徽合肥人，淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院中學(xué)高級(jí)教師，博士。]

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