框架

716000）框架理論是小波分析的主要研究內(nèi)容之一。框架具有類似于基的性質(zhì)，它比基有更好的靈活性。Hilbert空間H中的框架{?j}可以將H中的任意元素表示成的形式，但其系數(shù)cj一般不是唯一的。框架概念首先由DUFFIN等［1］在1952年為解決非調(diào)和Fourier級數(shù)的深層次問題而提出的，直到1986年，DAUBECHIES等［2］取得突破性研究。框架理論被應(yīng)用到許多領(lǐng)域，如濾波器理論［3］、信號處理［4］、量子計算［5］等，從而開創(chuàng)了框架理論研究的

bert空間中的框架作為標(biāo)準(zhǔn)正交基的一種推廣, 兩者不同的關(guān)鍵在于空間中的元素用框架展開的表達(dá)式是不唯一的. 目前, 框架理論已廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域, 參見文獻(xiàn)[1-3].雖然框架重構(gòu)表達(dá)式的形式看起來不復(fù)雜, 但計算量稍大.而緊框架比框架的重構(gòu)表達(dá)式的形式更簡潔, 計算更簡單, 因此緊框架比框架應(yīng)用領(lǐng)域更廣泛.每個框架都可以延拓為緊框架.是否每個K-框架也可以延拓為緊K-框架? 答案是不行, 具體參見命題1.但是雙K-框架卻可以延拓為緊K-框架, 所以研究雙

模M本身上引入了框架的框架變換,只從框架變換的值域這個角度研究了框架的(強)不相交性[5-6].由于HilbertK-模無法膨脹,因此,本文在HilbertK-模M的子模M1(M1?M)到M之間引入框架的框架變換θ,在M到θ(M1)上引入正交投影P,在研究了θ和P之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上(見定理1),得到了HilbertK-模M的有限個子模上框架的(強)可補的充要條件.下面引入本文用到的預(yù)備知識.定義1[4]設(shè)K為作用在Hilbert空間Η上的全體緊算子組成的C

析問題時，提出了框架的概念.但直到1986年，Daubechies等人的工作才使得人們開始真正地關(guān)注到框架理論.框架作為基的推廣，由于它的冗余性，使得框架的設(shè)計更加地靈活，從而比基能夠更好地解決信號處理和傳輸過程中產(chǎn)生的一些問題，因而框架理論在信號處理，無線通信等領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用和發(fā)展.經(jīng)過學(xué)者們多年的努力，框架理論取得了豐碩的成果，如：Daubechies和Bin[2]研究了小波框架的典范對偶框架，Gr?chenig[3]提出了Banach空間上

bert空間中的框架是標(biāo)準(zhǔn)正交基的一種推廣, 框架的一些性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)正交基類似, 但是也有明顯的區(qū)別. 比如: Hilbert空間中的元素用框架展開的表達(dá)式是不唯一的, 而用標(biāo)準(zhǔn)正交基展開的表達(dá)式是唯一的, 因此框架和標(biāo)準(zhǔn)正交基本質(zhì)上是不同的, 從而研究框架的性質(zhì)是很有必要的. 國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者對框架理論進(jìn)行系統(tǒng)研究, 具體成果可參見文獻(xiàn)[1-2]. 框架在諸如采樣理論[3]、 壓縮感知[4]等應(yīng)用領(lǐng)域也起著重要的作用.文獻(xiàn)[5]在Hilbert空間中研究有界

級數(shù)問題，引入了框架的概念.但在后來幾十年中，并未受到人們的重視，直到1986年，Daubechies，Grossman與Meyer的再次引入，使得框架重新進(jìn)入大眾的視野.在實際應(yīng)用中，框架作為一個有用的工具，在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，如信號處理、信號采樣、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號重構(gòu)等.隨著對框架深入的研究，擴(kuò)充原理引起很多研究者的關(guān)注.許多作者圍繞這一方面進(jìn)行研究：1997年，Ron與Shen[2-3]對任意的一個小波序列可通過添加一個元素，把小波Bessel序列擴(kuò)充

bert空間中的框架是文獻(xiàn)［1］于1952年在研究非調(diào)和級數(shù)時引入的概念，是標(biāo)準(zhǔn)正交基的推廣，能夠?qū)⒖臻g中的元素用多種重構(gòu)表示式線性表出，這種冗余性使其有較高的實際應(yīng)用價值.目前，框架理論已經(jīng)在無線電通訊［2］、信號處理［3］等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.隨著對Hilbert空間中框架理論及其應(yīng)用研究的不斷深入，出現(xiàn)了框架的不同形式的推廣.1996年，文獻(xiàn)［4］在框架和Riesz基的基礎(chǔ)上提出了Riesz框架的概念，并指出利用Riesz框架重構(gòu)框架系數(shù)，可避免無限維

中職學(xué)生在初學(xué)框架網(wǎng)頁時，往往效率不高。通常表現(xiàn)為框架結(jié)構(gòu)建立不正確，框架網(wǎng)頁文件保存混亂，框架代碼看不懂。從手繪框架結(jié)構(gòu)圖建立框架網(wǎng)頁、根據(jù)關(guān)鍵字符命名并保存框架網(wǎng)頁、利用框架面板辨析框架代碼這三方面來論述框架網(wǎng)頁的學(xué)習(xí)。[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 手繪框架圖;關(guān)鍵字符;框架面板[中圖分類號]? G712 ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）36-0208-0

bert空間中的框架概念發(fā)展到現(xiàn)在有著十分廣泛的應(yīng)用，它不僅在處理信號、壓縮數(shù)據(jù)、采樣等數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身的學(xué)科上，而且在光學(xué)，通信工程等其它學(xué)科，都發(fā)揮了巨大作用.Ehler結(jié)合測度和積分提出的一種比經(jīng)典框架更一般的框架，并命名為測度框架，它是利用測度，建立在測度集上積分而得到的一種框架.本文將在文獻(xiàn)[1-3]的基礎(chǔ)上，通過K-框架理論給出測度K-框架的定義，討論測度K-框架與測度框架的關(guān)系，對測度K-框架的最優(yōu)界利用測度框架的分析算子、合成算子以及算子K對測

lbert空間中框架概念最早是Duffin和Schaeffer［1］在1952年提出，當(dāng)時主要用來研究非調(diào)和Fourier分析．1986年，Daubechies，Grassmann［2］等把框架理論應(yīng)用于小波分析的研究并取得了突破性的進(jìn)展，使得框架理論受到廣泛的關(guān)注，也吸引了眾多學(xué)者投身這一領(lǐng)域的研究．Han，Larson［3］等把算子理論的方法應(yīng)用到框架的研究上，得到了豐碩的成果，也形成了一個主要的研究方向．目前，框架不僅應(yīng)用在小波分析中，在信息編碼、量

ll Spark框架擾動的定理王亞飛，楊守志(汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東汕頭515063)框架擾動理論是框架研究中的一個活躍分支，本文針對Full Spark框架的擾動問題，首先研究了框架的擾動性質(zhì)，并說明框架與Full Spark框架區(qū)別.然后討論Full Spark框架擾動問題，給出了Full Spark框架擾動的定理.最后，進(jìn)一步研究了在算子意義下Full Spark框架的一些等價性質(zhì).框架；Full Spark框架；擾動；算子；等價0 引言框架的概念在1

ier級數(shù)時引入框架(離散框架)的概念[1].小波分析誕生以來，框架理論得到了迅速發(fā)展[2-3].它廣泛應(yīng)用于信號處理、圖像處理和抽樣理論等方面[4-7].連續(xù)框的概念由Kaiser[8],Ali等[9]分別獨立引入，它是離散框架的概括，是一般化的框架.Gabardo和韓德廣[10]稱其為“與可測空間相關(guān)的框架”；Askari等[11]稱其為“廣義框架”；而在數(shù)學(xué)物理中則稱其為“相干態(tài)”[9].目前，連續(xù)框架已廣泛應(yīng)用于連續(xù)小波變換及短時Fourier變換